1、二次函数的复习二次函数的复习对称性的应用对称性的应用XY1X=-1-3如图，是二次函数如图，是二次函数 yax2bx+c(a0)的图象的的图象的一部分，求抛物线与一部分，求抛物线与x 轴的另一个交点坐标轴的另一个交点坐标 课题再现此函数的对称轴为直线此函数的对称轴为直线_（用（用a a、b b表示）表示）若函数图象与若函数图象与X X轴相交于点轴相交于点A A（1 1，0 0），）， B B（ 5 5，0 0），则对称轴可表示为直线），则对称轴可表示为直线 _；若函数图象与若函数图象与X X轴相交于点轴相交于点A A（x x1 1，0 0），）， B B（ x x2 2，0 0），则对称轴可表
2、示为直线），则对称轴可表示为直线_；抛物线上还存在这样的一对点吗？抛物线上还存在这样的一对点吗？若点（若点（x1， n），（），（ x2 ， n）在抛物线上，则抛物线的对称轴）在抛物线上，则抛物线的对称轴可表示为可表示为_ 若二次函数若二次函数y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c为常数且为常数且a0a0) )的图的图象如下象如下：CD点点A A、B B 关于关于_ _ 对称；对称；xyA AB B 基础知识点回顾基础知识点回顾总结：总结：在抛物线上，关于对称轴对称的两个点的特征在抛物线上，关于对称轴对称的两个点的特征纵坐标相等纵坐标相等abx2x=3X=-1Y1-3x若
3、抛物线与若抛物线与x轴的两个交点为（轴的两个交点为（x1，0），），（x2，0），则有对称轴），则有对称轴 1212121x=(xx )2xx =2xx2xx推广:4、若已知抛物线与、若已知抛物线与 轴相交的其中一个交点是轴相交的其中一个交点是A（ ，0），且其对称轴是），且其对称轴是 ，则另一个交点，则另一个交点B的坐标可以用表示出来（注：应由的坐标可以用表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。画出）。 5、若抛物线与、若抛物线与 轴的两个交点是轴的两个交点是B（ ，0），），C（ ，0），其顶点是点），其顶点是
4、点A，则，则ABC是是 三角形，且三角形，且ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的上。物线的上。12xm等腰三角形等腰三角形对称轴对称轴 小结：若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是小结：若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A(x1,0)，且其对称轴是，且其对称轴是x=m，则另一个交点，则另一个交点B的坐的坐标可以用标可以用x1、m表示出来（注：应由表示出来（注：应由A、B两点处两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要画出图象）在对称轴的左右情况而定，在应用时要画出图象） x2=2m-x1x2=2m-x1mxx 221例例1抛物线经过抛物线经过A、B、C三点，顶点为
5、三点，顶点为D，且与且与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为E，则，则E点坐标点坐标 .OyAB 3 C (2,3)DE-1x1(3,0)(题型一题型一)求点的坐标求点的坐标(函数值函数值)1、如图、如图,抛物线的对称轴是抛物线的对称轴是x=1,与与x轴交于轴交于A、B两点，两点，B的坐标为（的坐标为（ ，0），则点），则点A的坐标是的坐标是_3)0 , 32( 2、已知关于、已知关于x的方程的方程ax2+bx+c=3的一个根为的一个根为x1=2，且二次函数，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴直线是的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（则抛物线的顶点坐标是（ ）A(2，-3 ) B(2
6、，1) C(2，3) D(3，2)C 3、抛物线、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，的一部分如图所示，那么该抛物线在那么该抛物线在y轴右侧与轴右侧与x轴交点的坐标是轴交点的坐标是( )A(0.5，0) B(1，0) C(2，0) D(3，0)1222 aaabxBy1 13x练习1.如图，抛物线如图，抛物线 的对的对 称轴是直线称轴是直线 ，且经过点，且经过点P（3，0），）， 则则 的值为的值为 ( ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2cba02acbxaxy1x2.2.如图，菱形如图，菱形ABCDABCD的三个顶点在二次函数的三个顶点在二次函数y y= =axax
7、2 22 2axax+ + 1.51.5 （a a0 0）的图象上，点）的图象上，点A A、B B分分别是该抛物线的顶点和抛物线与别是该抛物线的顶点和抛物线与y y轴轴的交点，则点的交点，则点D D的坐标为的坐标为 A(2,1.5)题型二：利用对称性求二次函数的解析式题型二：利用对称性求二次函数的解析式例2. 已知二次函数的最大值为3，其图象经过A（-1，0）、B（5，0）两点，求此二次函数的表达式-1XY52题型三：利用对称性结合增减性比较题型三：利用对称性结合增减性比较函数值函数值 例例3 3若若 为二次函数为二次函数 的图象上的两点，的图象上的两点，1,413yA2,32yB245yxx
8、 则y1、y2的大小关系是 .y 0654321897-1-2213-3-5 -41,413yA2,32yBAB245yxx 4332 1y2y 关于对称轴的关于对称轴的对称点是对称点是1,413yA11,43yA明察秋毫明察秋毫 快速反应快速反应 如图是二次函数如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的的 函数值函数值y与自变量与自变量x的对应值的对应值.找出抛物线上关于对称轴对称的两点找出抛物线上关于对称轴对称的两点 。 写出抛物线的对称轴写出抛物线的对称轴 。 抛物线与抛物线与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是 。(-3,7)、(5,7)x=1(-2,0)、(4,0)抛物线上一点抛物线上
9、一点 (m,n) 关于对称轴对称的点为：关于对称轴对称的点为： 。(2-m, n)例例4 4 已知二次函数已知二次函数y=xy=x2 2+bx+c+bx+c中，函数中，函数y y与自与自变量变量x x的部分对应值如下表：的部分对应值如下表： (1)(1)求该二次函数的关系式求该二次函数的关系式(2)(2)当当x x为何值时，为何值时，y y有最小值，最小值有最小值，最小值是多少是多少? ? (3)若若A( -0.5 ,y1)，B(3.8，y2) 两点在该函数两点在该函数 的图象上，试比较的图象上，试比较y1、y2的大小的大小2ABA(-0.5，y1) 关于对称轴关于对称轴的对称点是的对称点是A
10、1(4.5，y1)y=x2-4x+5 3.84.5 y2 y1(4)(4)若若A(mA(m，y y1 1) )，B(m+1B(m+1，y y2 2) )两点都在该函两点都在该函数的图象上，试比较数的图象上，试比较y y1 1与与y y2 2的大小的大小y0 x321321AB方法一：若点A(m， y1 ) 与点B(m+1，y2)关于对称轴对关于对称轴对称，则称，则y1= y2y1=m24m+5， y2=(m+12)2+1=m22m+2所以所以m22m+2 =m24m+5解之，得解之，得m=1.5，观察图像，由增减性知，观察图像，由增减性知当当my2；当当m=1.5时，时，y1=y2；当当m1.
11、5时，时，y1y2方法二：方法二： 因为因为A(mA(m，y y1 1) )，B(m+1B(m+1，y y2 2) )两点都在函数两点都在函数 y=xy=x2 24x+5 4x+5 的图象上，所以的图象上，所以 y y1 1=m=m2 24m+54m+5， y y2 2=(m+1=(m+12)2)2 2+1=m+1=m2 22m+22m+2， y y2 2y y1 1=(m=(m2 22m+2)2m+2)(m(m2 24m+5)=2m4m+5)=2m3 3 所以所以 当当2m2m3030，即，即m1.5myy2 2； 当当2m2m3=03=0，即，即m=1.5m=1.5时，时，y y1 1=y
12、=y2 2； 当当2m2m3030，即，即m1.5m1.5时，时，y y1 1y0)的对称轴是的对称轴是直线直线 x=1 ，且经过点，且经过点 P（3，0），则），则ab+c 的值为的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 A若将对称轴改为若将对称轴改为直线直线x=2，其余条件不变，其余条件不变， 则则 a+b+c= .02、若、若y=ax2+5 与与x轴两交点分别为（轴两交点分别为（x1 ,0),(x2 ,0) ，则当，则当x=x1 +x2时，时，y值为值为_5(题型六题型六)求函数解析式求函数解析式 1、已知抛物线、已知抛物线y=ax+bx+c的对称轴为直线的对称轴为直线x=
13、2，且经过点（，且经过点（1，4）和点（）和点（5，0），则该），则该抛物线与抛物线与x轴相交的另一个交点坐标为轴相交的另一个交点坐标为_;函数解析式为函数解析式为 。(-1,0)252212 xxy 2、已知二次函数的图像经过、已知二次函数的图像经过A（-1,0）、）、 B（3,0），且函数有最小值），且函数有最小值-8，试求，试求 二次函数解析式二次函数解析式.对称轴对称轴x=1设解析式为设解析式为y=a(x+1)(x-3)或或y=a(x-1)2-8y=2x2-4x-6(五五)比较函数值的大小比较函数值的大小 1、小颖在二次函数小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，的图象上，依横坐标
14、找到三点依横坐标找到三点(-1，y1),(0.5，y2 ),(-3.5，y3)则你认为则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（）的大小关系应为（） A、y1y2y3 B、y2y3y1 C、y3y1y2 D、y3y2y1离对称轴越近离对称轴越近函数值越小函数值越小D 2、设、设A(2, y1)、B(1, y2)、C(2, y3)是抛物线是抛物线 y= (x+1)2+m上的三点，则上的三点，则 y1、y2、y3的大小的大小关系为关系为( ) A.y1y2y3 B. y1y3 y2 C. y3y2y1 D. y3y1y2离对称轴越近离对称轴越近函数值越大函数值越大A离对称轴越近离对称轴越近函数值越小
15、函数值越小 1、如图函数、如图函数 y=x2x+m(m为常数为常数)的图象的图象如图，如果如图，如果x= a 时，时，y0；那么；那么x= a1时，时，函数值（函数值（ ）Ay0 B0ym Cym Dy=m211a-1mCa(六六)判断命题的真伪判断命题的真伪2、老师出示了小黑板上的题后、老师出示了小黑板上的题后(如图如图)，小华小华说：说：过点过点(3，0)；小彬小彬 说：过点说：过点(4，3)；小明小明说：说：a=1；小颖小颖说：抛物线被说：抛物线被x轴截轴截 得的线段长为得的线段长为2你认为你认为四人的说法中，正确的有四人的说法中，正确的有( )A1个个B2个个 C3个个 D4个个已知抛
16、物线已知抛物线 y=ax2+bx+3与与x轴交于轴交于(1,0).试添加试添加一个条件，使它的对称一个条件，使它的对称轴为直线轴为直线x=2.C抛物线过抛物线过(1,0),(3,0)(1+3) 2=2.小华小华正确正确抛物线过抛物线过(0,3),(4,3)(0+4) 2=2.小彬正确小彬正确a=1时，时，0=1+b+3,b=-422 ab小明正确小明正确被被x轴截轴截 得的线段长为得的线段长为2抛物线过抛物线过(1,0)、(-1,0)或过或过(1,0)、(3,0)小颖错误小颖错误巧用巧用“对称性对称性” 化线为点化线为点1、 求抛物线求抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴轴对称的抛物线。对称
17、的抛物线。 方法一：方法一： 将一般形式化为顶点式将一般形式化为顶点式y=a(x-h)2+ky=2(x-1)2-7抛物线抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴轴对称的抛物线对称的抛物线 的解析式为：的解析式为：y=-2(x-1)2+7开口向上变为开口向下开口向上变为开口向下顶点（顶点（1，-7）变为（）变为（1,7）点点（x,y)关于关于x轴的对称点为轴的对称点为(x,-y)抛物线抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴轴对称的对称的 抛物线解析式为：抛物线解析式为：y=-2x2+4x+5 y=-ax2-bx-c1、 求抛物线求抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴轴对称的抛物线。对称的抛物线。
18、 方法二：方法二：在抛物线在抛物线 y=ax2+bx+c上任取一点上任取一点(x,y)抛物线抛物线 y=ax2+bx+c关于关于x轴轴对称的抛物线对称的抛物线 的解析式为：的解析式为：-y=ax2+bx+c若原抛物线是顶点形式：选用方法一简便若原抛物线是顶点形式：选用方法一简便若原抛物线是一般形式：选用方法二简便若原抛物线是一般形式：选用方法二简便2、求抛物线、求抛物线y=2x2-4x-5关于关于y轴对称的抛物线。轴对称的抛物线。在抛物线上任取一点在抛物线上任取一点(x,y)，(x,y)关于关于y轴对称的点为轴对称的点为(-x,y)y=2x2-4x-5关于关于y轴对称的抛物线位轴对称的抛物线位
19、y=2 (-x)2-4(-x)-5即：即：y=2 x2+4x-5在抛物线上任取一点在抛物线上任取一点(x,y)，(x,y)关于原点对称的点为关于原点对称的点为(-x,-y)3、求抛物线、求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成关于原点成 中心对称的抛物线。中心对称的抛物线。y=2x2-4x-5关于原点对称的抛物线为关于原点对称的抛物线为-y=2 (-x)2-4(-x)-5即：即：y=-2 x2-4x+54、求抛物线、求抛物线 y=2x2-4x-5绕着绕着 顶点旋转顶点旋转180 得到的抛物线得到的抛物线y=2(x-1)2-7化为顶点式：化为顶点式：顶点坐标（顶点坐标（1，-7）开口相反，顶点不变
20、开口相反，顶点不变y=2x2-4x-5绕着绕着 顶点旋转顶点旋转180得到的抛物线为得到的抛物线为y=-2(x-1)2-7“将军饮马将军饮马” 问题问题唐朝诗人李欣的诗唐朝诗人李欣的诗古从军行古从军行开头两句说：开头两句说： “ 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河”作点作点A关于河流的对称点关于河流的对称点AAB交河流于点交河流于点P则则AP+BP=AB最短最短巧用巧用“对称性对称性” 求距离和差最值求距离和差最值如图如图,抛物线抛物线y0.5x2bx2与与x轴交于轴交于A，B两两点，与点，与y轴交于轴交于C点，顶点为点，顶点为D,且且A(1，0).若点若点 M（m,
21、0)是是x轴上的一个动点，当轴上的一个动点，当MCMD的值的值最小时，求最小时，求m的值的值在抛物线的对称轴上是否存在点在抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得使得ACQ周长最小？周长最小？48写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
