1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义360tan, 145tan,3330tan2160cos,2245cos,2330cos2360sin,2245sin,2130sin学学习习目标目标 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.理解投影概念；理解投影概念； 3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 4.平面向量的数量积简单应用；平面向量的数量积简单应用； 5.掌握向量垂直的条件掌握向量垂直的条件. 教学重点：教学重点：平面向量的数量积定义平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的教学难点：
2、平面向量数量积的定义及运算律的理解和理解和平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用 问题问题1:1: 我们研究了向量的哪些运算？这些我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？运算的结果是什么？一一 探究？探究？ 问题问题2:2:我们是怎样引入向量的加法运算的？我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？ 问题问题3:3:如图所示，一物体在力如图所示，一物体在力F F的作用下产的作用下产生位移生位移S S，（）（）力力F F所做的功所做的功W= 。 （）请同学们分析这个公式的特点：（）请同学们分析这个公式的特点： W（功）
3、是（功）是 量，量， F F（力）是（力）是 量，量， S S（位移）是（位移）是 量量 是是 。FS探究数量积的含义探究数量积的含义功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 已知非零向量已知非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量 叫作叫作 与与 的的数量积（或内积），记作数量积（或内积），记作 ，即规定，即规定 | | |cosa b ababa b |cosa ba b 其中其中是是 与与 的夹角，的夹角， 叫做向量叫做向量 在在 方向上（方向上（ 在在 方向上）的投影方向
4、上）的投影. .并且规定，零向量与任一向量并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即的数量积为零，即 。ab| |cos (| |cos )bababa0 0a BB1OAab二、平面向量的数量积二、平面向量的数量积1、定义、定义|180. 0,cos|. |01bababababbOB，bab方向上的射影在时方向上的射影是负数在为钝角时方向上的射影是在为直角时方向上的射影是正数在为锐角时是方向上的射影在时1800（1）定义定义 ：（2）定义的简单说明：定义的简单说明：2 2、数量积的定义、数量积的定义 问题：问题：向量的数量积运算与线性运算的结果有什向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同
5、？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：cosbaba900 9018090的正负ba、研究数量积的几何意义、研究数量积的几何意义（1 1）给出向量投影的概念）给出向量投影的概念（2 2）问题：问题：数量积的几何意义是什么？数量积的几何意义是什么？A bcos B1BO4 4、研究数量积的物理意义、研究数量积的物理意义问题问题: :（1 1）功的数学本质是什么功的数学本质是什么？（2 2）尝试练习尝试练习 一物体质量是一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。的大小。 、在水平面上位移为、在水平面
6、上位移为10米；米； 、竖直下降、竖直下降10米；米； 、竖直向上提升、竖直向上提升10米米 、沿倾角为、沿倾角为30度的斜面向上运动度的斜面向上运动10米；米；SGGSSG)120cos(SGWSGW SGW0W、竖直下降、竖直下降10米；米；、竖直向上提升、竖直向上提升10米；米；、在水平面上位移为、在水平面上位移为10米；米；、沿倾角为、沿倾角为30的斜面向上运动的斜面向上运动10米；米；GS探究数量积的运算性质探究数量积的运算性质 问题问题： （1 1）将问题的结论推广到一般向量，将问题的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？你能得到哪些结论？ （2 2）比较比较 的大小，你有什的大小
7、，你有什么结论？么结论？1 1、性质的发现、性质的发现baba与2、数量积的性质 设向量设向量 与与 都是非零向量，则都是非零向量，则（1 1） =0 =0 （2 2）当）当 与与 同向时，同向时， =| | | =| | | 当当 与与 反向时，反向时， =-| | | 特别地，特别地， =或或= =（3 3） ababbaaabba babba | | |baaaaa2baaaba3、性质的证明探究数量积的运算律探究数量积的运算律1、运算律的发现 问题问题: : 我们学过了实数乘法的那些运算律？我们学过了实数乘法的那些运算律？ 这些这些 运算律对向量是否也适用？运算律对向量是否也适用？ 学
8、生可能的回答学生可能的回答: : ab= ba （ab）c= a (bc) （a + b）c=ac +b c2、运算律 已知向量 和实数，则：cba,abba )1(bababa(2)cbcacba(3)3、运算律的证明应用与提高应用与提高互相垂直？与向量为何值时，不共线，与，、已知例bkabkakbaba43 2例1 已知|a a|=5， |b b|=|=4，(1) a a与与b b的夹角=120o，求a ab b. .(2)ab(2)ab求a ab b. . (3)ab (3)ab求a ab b ？，求的夹角为与，、已知例 .3260463 babababaACBCCABCCbaABC,6
9、0, 8, 5,中在cbcabaababa则，若，有，则对任一非零向量若正确，并说明理由、判断下列各命题是否,0)2(00) 1 (1的形状。时，试判断或当中，、已知ABCbababACaABABC00,2学生练习)2()(,60, 1| , 2|:4?)()(60, 1| , 2|:3baba：bababkabakbaba求夹角是与已知为何值时夹角是与已知 120 | 4,| 2,|;|34 |.abababab2.已知 与 的夹角为， 求：,0 | 3,| 1,| 4,.a b ca bcabca bb cc a 3.已知 ,满足 +，求：的值4.,(23 )(4 ),.a babkabk
10、 若是互相垂直的单位向量，且求实数 的值225.1,2,()0,ababaab已知求 与 的夹角.0 | 3,| 5,| 7,.a bcabcab 6.已知 +，求 与 的夹角的夹角与求已知ba。ba，b，a、16|10|8|:|11.,60 ,3 |a bab 已知均为单位向量，它们的夹角为 求|2.,| 1 | 2,| 2,|a bababab 已知满足：， 求|3., ,| 2| 1,|3,A B CABBCCAAB BCBC CACA AB 已知平面上三点满足：， 求4.,:(2 ),(2 ),a babababa b 已知非零向量满足 求的夹角1.几何问题：求证：菱形的对角线互相垂直
11、ABCD2.求证：直径所对的圆周角为直角.ACBO3.求证：三角形的三条高交于一点.AEDCBFH基础练习 1、判断下列命题的真假:2、已知ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC CA ABC 3、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹角为 则 a在e方向上的投影为 ,3（1）平面向量的数量积可以比较大小 （2）（3）已知b为非零向量因为0a =0， a b = 0,所以a = 0 (4 ) 对于任意向量a、 b、 c，都有a b c = a（b c）0,.a bab 若则 与 的夹角为钝角 ,1:平行且方向相同与因为解BCAD.0的夹角为与BCAD91330cosBC
12、ADBCAD 且方向相反平行与,.2CDAB180的夹角是与CDAB16144180cosCDABCDAB ,60.3的夹角是与ADAB120的夹角是与DAAB62134120cosDAABDAAB进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。92ADBCAD或162ABCDAB或1204、 BCADDABADABABCD.1:,60, 3, 4,求已知中在平行四边形如图 CDAB.2 DAAB.3BACD60)(,1cbacaba；cba求证且是非零向量已知余弦两点坐标表示试用有两点单位长度为半径的圆上以原点为原心在直角坐标系中已知AOBBAB），A（，：,),sin,(cos,sincos2)sin,(cosA)sin,(cosB)()(,22222dcbabdacRa、b、c、：恒有不等式对任意证明
