1、1第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 22.1 2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型3数学模型数学模型1.定义定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。 2.为什么要建立数学模型：为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只是定性地了解对于控制系统的性能，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计
2、算。要做到这一点，首先要建立系系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。4 另一个原因：另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任
3、何系统，因此需建立控制系统的数学模型。因此需建立控制系统的数学模型。 比如机械平移系统和比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以进行析，具有相同的数学模型（可以进行仿真仿真研究）。研究）。52. 1 系统微分方程的建立系统微分方程的建立控制系统的数学模型数学模型是指描述系统或元件输入量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式。而把描述各变量动态关系的数学表达式称为动态模型。常用的动态数学模型有微分方程、传递函数及动态结构图。建立数学模型，可以使用解析法和实验法 解析法建立微分方程的一般步骤是解析法建立微分方程的一般步骤是
4、 6 表示形式表示形式 （经典控制理论中最常用的）（经典控制理论中最常用的） a.微分方程；微分方程；b.传递函数传递函数； c.频率特性频率特性三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系线性系统线性系统微分方程微分方程传递函数传递函数频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换同一个系统，可以选用不同的数学模型，同一个系统，可以选用不同的数学模型，如研究时域响应时可以用传递函数，如研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。研究频域响应时则要用频率特性。7建立方法建立方法a.分析计算法分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构分析计算法是根据支配系
5、统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型学模型适用于简单的系统。适用于简单的系统。b.工程实验法工程实验法 工程实验法是利用系统的输入工程实验法是利用系统的输入-输出信号来建立数学模型的输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。黑盒黑盒输入输入输出输出8 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位
6、移称为线位移）和转动（相律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。应的位移称为角位移）两种。例例 一个由弹簧一个由弹簧-质量质量-阻尼器组成的机阻尼器组成的机械平移系统如图所示。械平移系统如图所示。m为物体质量，为物体质量，k为弹簧系数，为弹簧系数，f 为粘性阻尼系数，外为粘性阻尼系数，外力力F(t)为输入量，位移为输入量，位移x(t)为输出量。为输出量。列写系统的运动方程。列写系统的运动方程。 xmFk例例 1 机械系统机械系统9解：在物体受外力解：在物体受外力F的作用下，质量的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速度、相对于初始状态的位移、速度、加
7、速度分别为加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力。设外作用力F为输入量，位移为输入量，位移 x 为输为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为 )()()()(22tFtkxdttdxfdttxdmkxdtdxfFdtxdm22xmFkk和和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性
8、摩擦力的方向和速度的方向相反。粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。10例例2 电气系统电气系统w 电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、电容等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、电容(无源无源器件器件)组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含运算放组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含运算放大器大器(有源器件有源器件)，就称为有源网络。，就称为有源网络。例例 由电阻由电阻R、电感、电感L和和电容电容C组成无源网络。组成无源网络。ui输入，输入，uo输出，求
9、微输出，求微分方程。分方程。LCui(t)uo(t)i(t)+R11( )( )( )( )oidi tLRi tututdt( )( )oduti tCdt)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo解解 设回路电流为设回路电流为 i ( t ) 如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到式中式中i ( t )是中间变量。是中间变量。i ( t )和和u o( t )的关系为的关系为消去中间变量消去中间变量i (t )，可得，可得LCui(t)uo(t)i(t)+R12 比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系统，比较上面两个例子可见，虽
10、然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为的不同物理系统称为相似系统相似系统，例如上述，例如上述RLC串联网络系统和弹串联网络系统和弹簧簧-质量质量-阻尼器系统即为一对相似系统，故可用电子线路来模拟阻尼器系统即为一对相似系统，故可用电子线路来模拟机械平移系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为机械平移系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似相似量量。)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm1
11、3UrUciRC 试列写图示的RC无源网络的微分方程 idtCRiUr1idtCUc1根据电路理论的克希霍夫定律，列写方程 其中i为中间变量，Ur为输入量，Uc为输出量，消去中间变量得： UrUcdtdUcRC令RC=T（时间常数），则有：UrUcdtdUcT RC无源网络的动态数学模型为一阶常系数线性无源网络的动态数学模型为一阶常系数线性微分方程。微分方程。14解析法建立微分方程的一般步骤是 根据实际工根据实际工作情况，确定系统作情况，确定系统和各元件的输入、和各元件的输入、输出量；输出量； 标准化工作标准化工作:将与输入有关的各项放在将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输出有关的各项放
12、在等等号的右侧，即将与输出有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。号的左侧，并按照降幂排列。 从输入端开始，按照信号的传递时序从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各变量所遵循的物理、化学及方向，根据各变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程中的微分定律，列写出变化（运动）过程中的微分方程组；方程组； 消去中间变消去中间变量，得到只包含量，得到只包含输入、输出量的输入、输出量的微分方程；微分方程； 最后将系数归化为具有一定物理意最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。义的形式。12345152 线性微分方程的求解线性微分方程的求解js0)(dtetfst0)()()(dtet
13、ftfLsFst为复变量，其线性积分如果存在，就称其为函数 f(t) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记作并称 F(s) 为 f(t) 的象函数或变换函数，f(t) 称为 F(s) 的原函数。有函数f(t)，t为实变量几种典型函数几种典型函数的拉氏变换的拉氏变换)()()()()()(212121sbFsaFtfbLtfaLtbftafL线性定理2.微分定理F(t) 及其各阶导数在t-0 时的值都为零则有)()(sFsdttfdLnnn)(1)(.sFsdttfLnnn 3.积分定理F(t) 及其各重积分在t-0时的值都为零则有4.位移定理)()(sFetfLs)()(asFtfeLat实域位
14、移定理 复域位移定理5.终值定理)()(limlim0ssFtfst函数名称时间曲线数学表达式拉氏变换阶跃函数F(s)=1/s斜坡函数F(s)=1/s2加速函数F(s)=1/s3指数函数F(s)=1/(s-a)正、余弦函数F(s)=/(s2-2)F(s)=s/(s2-2)0001)( 1)(ttttf0f(t)t10f(t)t000)(ttttf000)(221ttttf000)(ttetfat000sin)(ttttf000cos)(ttttf0f(t)t0f(t)t0f(t)t1正弦余弦16Atf)(sAtALtALsF)( 1 )( 1)( ttf)(2)( 1)()(settLsFst
15、etftsin)(22)(sin)(steLsFt已知已知，求，求F(s)。这里。这里A是常数。是常数。解：因为解：因为A是常数，所以是常数，所以，根据线性定理则有，根据线性定理则有已知已知，求，求F(s)。解：根据实域位移定理则有解：根据实域位移定理则有例二例二17拉拉氏氏反反变变换换拉氏变换的逆运算 jjstdsesFjsFLtf)(21)()(1称为拉氏反变换，该式是拉氏反变换的数学定义，而在实际应用中常常采用的方法是： 先将先将F(s)分解为一些简单的有理分式函数之和，这些函分解为一些简单的有理分式函数之和，这些函数基本上都是前面介绍过的典型函数形式；数基本上都是前面介绍过的典型函数形
16、式； 然后由拉氏变换求出其反变换函数，即原函数然后由拉氏变换求出其反变换函数，即原函数f(t)。nnnnmmmmasasasbsbsbsbsAsBsF1111110.)()()(设F(s)的一般表达式为(通常都是s的有理分式函数)式中的a1、a2. an以及b1、b2. bm为实数，m、n为正数，且mn。根据上式分母的根，分为以下两种情况来讨论18A(s)=0有重根有重根19用拉氏变换求解系统微分方程或方程组的步骤如下：用拉氏变换求解系统微分方程或方程组的步骤如下：20345)(2ssssF13) 1)(3(5)(21sCsCssssF115)()3(limlim331sssFsCss235)
17、() 1(limlim112sssFsCss已知：，求其拉氏反变换。接下来是确定两个待定系数确定两个待定系数，解：将将F(s)进行因式分解后得到进行因式分解后得到1231) 1)(3(5)(ssssssFtteetf32)(这时有将上式进行拉氏反变换拉氏反变换得到21)3() 1(2)(2sssssF)(tf31) 1()(43122sCsCsCsCsF32)3() 1(2)(2003limlimssssFsCss121) 1(2)()3(2334limlimssssFsCss21)3(2)() 1(limlim111212ssssFsCss43)3(2)() 1(limlim111211ss
18、sdsdsFsdsdCss311211321143) 1(121)(2sssssFttteetetf3121324321)( 已知：，求原函数解：将F(s)进行因式分解进行因式分解后得到将所求得的系数代入F(s)中这时将上式进行反拉氏变换得到22)(2222txdtdxdtxdccc12)(2)(2cccXssXsXs1) 1(1221)(22ssssXctesXLtxtccsin)()(1已知系统微分方程为Xc在t=0时刻的各阶导数均为零。求系统的输出Xc(t)。解：对该系统的微分方程进行拉氏变换得到输出量的拉氏变换表达式为所以使用复域位移定理求出系统的输出为23 3 非线性方程的线性化处理
19、非线性方程的线性化处理 非线性微分方程的求解很困难。忽略弱非线性环节（如果元非线性微分方程的求解很困难。忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）系统的影响很小，就可以忽略）。 在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。决许多工程问题，有很大的实际意义。24小偏差线性化
20、的概念小偏差线性化的概念 （小偏差法，切线法，增量线性化法小偏差法，切线法，增量线性化法） 偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以以各元件只能工作在平衡点附近各元件只能工作在平衡点附近。 因此，对于不太严重的
21、非线性系统，可以在一定的工作范围因此，对于不太严重的非线性系统，可以在一定的工作范围内线性化处理。工程上常用的方法是将非线性函数在内线性化处理。工程上常用的方法是将非线性函数在平衡点平衡点附附近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函数。近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函数。25举例举例 一个自变量一个自变量 y=f(r)r元件的输入信号，元件的输入信号，y元件的输出信号元件的输出信号0r0r0+ry0y0+yyAB略去高次项，略去高次项，00220002( )1( )()()()2!rrrrdf rd f ryf rrrrrdrdr000( )()rrdf ryyrrdr设原运行于某平衡
22、点（静态工作点）设原运行于某平衡点（静态工作点）A A点：点：r=r0 , , y=y0 , ,且且y0=f(r0)B B点：点：当当r变化变化 r， y=y0+ + y函数在（函数在（r0 , , y0 ）点连续可微，在）点连续可微，在A A点展开成泰勒级数，即点展开成泰勒级数，即0( ),rrdf rKdryKr26 两个自变量两个自变量 y=f(r1， r2) 静态工作点：静态工作点： y0=f(r10， r20) 在在y0=f(r10， r20) 附近展开成泰勒级数，即附近展开成泰勒级数，即10201102201222221102202212(,)()()1()()2!ffyf rrr
23、rrrrrffrrrrrr1122yKrKr 函数变化与自变量变化成线性比例关系。函数变化与自变量变化成线性比例关系。272.2.3 系统线性化的条件及步骤系统线性化的条件及步骤 1.1.条件条件 系统工作在正常的工作状态，有一个稳定的工作点系统工作在正常的工作状态，有一个稳定的工作点; 在运行过程中偏离且满足小偏差条件在运行过程中偏离且满足小偏差条件; 在工作点处，非线性函数各阶导数均存在，即函数属在工作点处，非线性函数各阶导数均存在，即函数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。 28建立步骤建立步骤 按系统数学模型的建立方法，列出系统各个部分的微分方
24、程。按系统数学模型的建立方法，列出系统各个部分的微分方程。 确定系统的工作点，并分别求出工作点处各变量的工作状态。确定系统的工作点，并分别求出工作点处各变量的工作状态。 对存在的非线性函数，检验是否符合线性化的条件，若符合就对存在的非线性函数，检验是否符合线性化的条件，若符合就进行线性化处理。进行线性化处理。 将其余线性方程，按增量形式处理，其原则为：对变量直接用将其余线性方程，按增量形式处理，其原则为：对变量直接用增量形式写出；对常量因其增量为零，故消去此项。增量形式写出；对常量因其增量为零，故消去此项。 联立所有增量化方程，消去中间变量，最后得只含有系统总输联立所有增量化方程，消去中间变量
25、，最后得只含有系统总输入和总输出增量的线性化方程。入和总输出增量的线性化方程。 29关于线性化的几点说明关于线性化的几点说明 线性化方程中的参数与选择的工作点有关，因此，在进行线性线性化方程中的参数与选择的工作点有关，因此，在进行线性化时，应首先确定系统的静态工作点。化时，应首先确定系统的静态工作点。 实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量只能在小范围内变实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量只能在小范围内变化。化。 若非线性特性是不连续的不能采用上述方法。若非线性特性是不连续的不能采用上述方法。 线性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。线性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。302.2
26、2.2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型31 一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。对系统输出响应进行分析。 传递函数传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分
27、方程一一对应的一种数学模型，输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。321. 定义定义 零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数传递函数，记，记为为G(s)，即：，即： ( )( )( ) ( )( )L y tY sG sL r tR s意义意义：( )( )( )Y sRGss( )Y s)(sG( )R s33 传递函数的求法传递函数的求法 线性定
28、常系统（环节）的一般表达式线性定常系统（环节）的一般表达式（零初始条件零初始条件）1110111101( )( )( ).( )( )( )( ).( )nnnnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaa y tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdt11101110. ( ). ( )nnnnmmmma sasa sa Y sb sbsb sb R s11101110.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsb sbY sG sR sa sasa sa34当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递
29、函数为( )1( )( )1oiUsG sUsRCs例例 求图示求图示RC电路的传递函数，其中电路的传递函数，其中ui(t)是输入电压，是输入电压， uo(t)是输出电压是输出电压 ( )( )( )ooidutRCututdt(1)( )( )oiRCsUsUs解解 由基尔霍夫电压定律可得由基尔霍夫电压定律可得iCiuouR35关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明)()()()()()()(1)()(11sGLsCLtgsGsRsGsCtLsR361110111011.()( )( )( )().mimmmmnnnnignjjszMb sbsb sbsG sKNa sasa sssa
30、p上式中上式中 Kg零极点形式传递函数的根轨迹增益零极点形式传递函数的根轨迹增益 ； -zi 分子多项式分子多项式M(s)=0的根，称为的根，称为零点零点； -pj 分母多项式分母多项式N(s)的根，称为的根，称为极点极点。wN(s)=0是控制系统的特征方程式。是控制系统的特征方程式。zi、pj可为实数、虚数、可为实数、虚数、或复数。若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。或复数。若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。零极点表示法零极点表示法37（6）时间常数表示法）时间常数表示法 上式中上式中 i分子各因子的分子各因子的时间常数时间常数 ； Tj分母各因子的分母各因子的时间常数时间
31、常数 ； K 时间常数形式传递函数的增益；通常称为时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。传递系数。11101110.(.)mmmmnnnnb sbsb sba sasa saG s1011110111(1)11(1)mmmimminnnnnjjsbd sdsd sKac scsc sT s38121211221122)2()()2()()(njnlllljmimkkkkivgsspssszssKsG122111221221) 12() 1() 12() 1()(njnlllljmkkkkmiivsTsTsTssssKsG121222nvnnmmm一般形式一般形式 39用复阻抗法求电网络
32、的传递函数用复阻抗法求电网络的传递函数元件名称元件名称电路形式电路形式元件微分方程元件微分方程阻抗传递函数阻抗传递函数电阻电阻R 电容电容C电感电感L 求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法阻抗法求取更为求取更为方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。( )( )u tRi tRsIsUsZ)()()(dttdiLtu)()(1( )Z sCs1( )( )u ti t dtC( )ZsLs40 解：解： 令令121( )( )( )oiUsZZG sUsZ例例 求图示电路的传递
33、函数求图示电路的传递函数 21211RCsRLsRCs22121()1R CsLCsRR Cs11ZRLs221ZRCs 则则41 一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是液压的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，的表达式出发，一般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环一般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典型
34、环节的传递函数来，以便于分析及研节所组成，并求出这些典型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。究复杂的系统。 控制系统中常用的典型环节有，控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、比例环节、惯性环节、 微分微分环节、环节、 积分环节和振荡环节等。积分环节和振荡环节等。以下介绍这些环节的传递函数及以下介绍这些环节的传递函数及其推导。其推导。 4典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数42比比例例环环节节的的传传递递函函数数r(t)c(t)t01C(t)r(t)43惯惯性性环环节节的的传传递递函函数数2C(t)r(t)44积积分分环环节节的的传传递递函函数数3 45微微分分环环节节的
35、的传传递递函函数数4tKdttdKtut)()()()(ssKsUtsKssUsGt)()()(输入量取角度时的传递函数即为微分环节。表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电机输出电压与输入角速度之间的关系为进行拉氏变换得到那么该元件的传递函数为46微微分分环环节节的的传传递递函函数数5)()()()()()()(1)()()(112212111RtiRtitutititidttiCRtiRtitucrRRRK21()2121RRCRRT)() 1()(sUTsKsUrc) 1()()()(TsKsUsUsGrc47222( )( )0( )( )( )0( )( )( )2( )(01)0d
36、r ty ttdtdr ty tr ttdtd r tdr ty tr ttdtdt一阶微方：二阶微方：三阶微方：，22( )( )1( )21G ssG ssG sss传递函数：这些微分环节的传递函数没这些微分环节的传递函数没有极点，只有零点。纯微分有极点，只有零点。纯微分环节的零点为零，一阶微分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点环节和二阶微分环节的零点分别为实数和一对共轭复数。分别为实数和一对共轭复数。微微分分环环节节的的传传递递函函数数48振振荡荡环环节节的的传传递递函函数数649延延迟迟环环节节的的传传递递函函数数750说明说明: （1）对应同一元件（或系统），可以取不同
37、的量作为输出量）对应同一元件（或系统），可以取不同的量作为输出量和输入量，所得到的传递函数是不同的。和输入量，所得到的传递函数是不同的。 （2）对于复杂的控制系统，在建立系统或被控对象的数学模）对于复杂的控制系统，在建立系统或被控对象的数学模型时，将其与典型环节的数学模型对比，即可知其由什么样的型时，将其与典型环节的数学模型对比，即可知其由什么样的典型环节组成。由于典型环节的动态性能和响应是已知的，因典型环节组成。由于典型环节的动态性能和响应是已知的，因而给分析、研究系统性能提供很大的方便。而给分析、研究系统性能提供很大的方便。 （3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述）典型环节
38、的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。的系统。512.3 2.3 控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换522.3.1 结构图的基本概念结构图的基本概念 系统系统结构图结构图又称方块图，是将系统中所有的环节用方块来又称方块图，是将系统中所有的环节用方块来表示，按照系统中各个环节之间的联系，将各方块连接起来构表示，按照系统中各个环节之间的联系，将各方块连接起来构成的；方块的一端为相应环节的输入信号，另一端为输出信号，成的；方块的一端为相应环节的输入信号，另一端为输出信号，用箭头表示信号传递的方向，并在方块内标明相应环节的传递用箭头表示信号传递的方向，并在方块内标明相应
39、环节的传递函数。函数。w表明了系统的组成、信号的传递方向；表明了系统的组成、信号的传递方向；w表示出了系统信号传递过程中的数学关系；表示出了系统信号传递过程中的数学关系；w可揭示、评价各环节对系统的影响；可揭示、评价各环节对系统的影响；w易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数；易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数；w直观、方便（图解法）。直观、方便（图解法）。( )R s)(sG( )E s( )Y s532.3.1 动态结构图动态结构图是数学模型的图解化，它描述了组成系统的各元部件的特性及相互之间信号传递的关系，表达了系统中各变量所进行的运算。 动动态态结结构构图图的的组组成成
40、 1）信号线带有表示信号传递方向箭头的直线。一般在线上写明该信号的拉氏变换表达式。2）综合点3）引出点4）方 框在信号线上的“”，表示信号引出的位置。方框中为元部件或系统的传递函数，方框的输出量等于方框内的传递函数与输入量的乘积。它完成两个以上信号的加减运算，以O 表示。如果输入的信号带“”号，就执行加法；带“”号就执行减法。54动态结构图建立步骤是 建立系统各元部件的微分方建立系统各元部件的微分方程。要注意，必须先明确系统的程。要注意，必须先明确系统的输入量和输出量，还要考虑相邻输入量和输出量，还要考虑相邻元件间的负载效应。元件间的负载效应。 按照系统中各变量传递顺序，按照系统中各变量传递顺
41、序，依次连接依次连接3）中得到的结构图，系）中得到的结构图，系统的输入量放在左端，输出量放统的输入量放在左端，输出量放在右端，即可得到系统的动态结在右端，即可得到系统的动态结构图。构图。 将得到的系统微将得到的系统微分方程组进行拉氏变分方程组进行拉氏变换。换。 按照各元部件的输入、按照各元部件的输入、输出，对各方程进行一定输出，对各方程进行一定的变换，并据此绘出各元的变换，并据此绘出各元部件的动态结构图。部件的动态结构图。123455CR2R1U1U2I1I2IR2U2(S)步骤一 列写方程组步骤二 画出对应方程的部分结构图1R1U2(S)U1(S)_U (S)CS步骤三 依次连接得到系统结构
42、图56C (s)R(s)2.3.2 动态结构图的化简动态结构图的化简 结构图的等效变换的原则结构图的等效变换的原则：变换前后输入输出之间的传递函数保持不变。 G1(s)G2(s).G3(s)R(s)C (s)R(s)G1(s)G2(s) C (s)Gn(s).并联：并联：G1(s)G2(s).Gn(s)R(s)C (s)R(s)G2(s)G1(s)C (s)Gn(s).57u综合点前移：综合点前移：u综合点后移：综合点后移：u综合点之间移动：综合点之间移动：结构图中综合点的移动方法结构图中综合点的移动方法58u引出点前移：引出点前移：u引出点后移：引出点后移：u引出点之间移动：引出点之间移动：
43、结构图中引出点的移动方法结构图中引出点的移动方法59)()()(sRsCs G1(s)G2(s)G4(s)G3(s)H2(s)R(s)C (s)H3(s)H1(s)1串联化简串联化简用结构图的等效变换，求图所示系统的传递函数解：这是一个无交叉多回路系统，可以应用串联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的简化过程演示如下：G3(s)G4(s)2负反馈化简负反馈化简G3(s)G4(s)1+ G3(s)G4(s) H3(s)3串联化简串联化简G2(s)G3(s)G4(s)1+ G3(s)G4(s) H3(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+ G3(s)G4(s) H3(s)+G2(s)G3(s)
44、G4(s) H2(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+ G3(s)G4(s) H3(s)+G2(s)G3(s)G4(s) H2(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+ G3(s)G4(s) H3(s)+G2(s)G3(s)G4(s) H2(s)+G1(s)G2(s)G3(s)G4(s) H1(s)60例例2.9 简化下图，求出系统的传递函数。简化下图，求出系统的传递函数。 解解 图图2.31是具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用是具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用相相加点、分支点互换加点、分支点互换的方法处理。的方法处理。（1）将相加点）将相加点a移移至至G2之
45、后之后61（2）再与）再与b点交换点交换（3）因）因 G4与与G1G2并联，并联， G3与与G2H是负反馈环节是负反馈环节62（4）上图两环节串联，函数相乘后得系统的传递函数为）上图两环节串联，函数相乘后得系统的传递函数为注：注：以上为原系统的闭环传递函数，不是开环系统的传递函数以上为原系统的闭环传递函数，不是开环系统的传递函数 是闭是闭环系统简化的结果；环系统简化的结果；分母中不能看成原闭环系统的开环传递函数，闭环系统开环传分母中不能看成原闭环系统的开环传递函数，闭环系统开环传递函数应根据定义和具体框图定。递函数应根据定义和具体框图定。63归纳规律：归纳规律：通过上述例子，可以看到如果满足以
46、下两个条件：通过上述例子，可以看到如果满足以下两个条件：所有回路两两相互接触；所有回路两两相互接触；所有回路与所有前向通道接触。所有回路与所有前向通道接触。( ) sm m1 1n n1 1前前向向通通道道各各串串联联环环节节的的传传递递函函数数之之积积1 1+ +（ 每每一一局局部部反反馈馈回回路路的的开开环环函函数数）则可以得到以下几条简化结构图的规律：则可以得到以下几条简化结构图的规律：闭环系统传递函数是一个有理分式闭环系统传递函数是一个有理分式负反馈取负反馈取“+” 正反馈取正反馈取“”式中，式中， m是前向通道的条数，是前向通道的条数，n是反馈回路数。是反馈回路数。64信号流图的基本
47、概念信号流图的基本概念 1.1.定义定义：。 先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2 = a12 x1式中，式中， x1为输入信号为输入信号()；x2为输出信号为输出信号()；a12为两信号之间的传为两信号之间的传输输()。即输出变量等于输入变量乘上。即输出变量等于输入变量乘上值。若从因果关系上来看，值。若从因果关系上来看，x1为为“因因”，x2为为“果果”。这种因果关系，可用下图表示。这种因果关系，可用下图表示。 信号传递关系信号传递关系 函数运算关系函数运算关系 变量因果关系变量因果关系x1a12x265 下面通过一个例
48、子，说明信号流图是如何构成的。下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。 设有一系统，它由下列方程组描述：设有一系统，它由下列方程组描述： x2 = a12 x1 + a32 x3 x3 = a23 x2 + a43 x4 x4 = a24 x2 + a34 x3 + a44 x4 x5 = a25 x2 + a45 x4a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a32662.2.信号流图的基本元素信号流图的基本元素 (1) 节点：用来表示变量，用符号节点：用来表示变量，用符号“ O ”表示，并在近旁标表示，并在近旁标出所代表的变量。出所代表的变量。 (2) 支路：
49、连接两节点的定向线段，用符号支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。表示。 支路具有两个特征：支路具有两个特征： 限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。方向，用箭头表示。 限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值权用它近旁标出的传输值()表示。表示。67 3.3.信号流图的几个术语信号流图的几个术语 输入节点输入节点( (源点源点) ) 只有输出支路的节点，它代表系统的只有输出支路的节点，它代表系统的输入输入变变量。如图中量。如图中x1。 混合节点混合节点 既有
50、输入支路，又有输出支路的节点，如图中既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。 输出节点输出节点( (汇点汇点) ) 只有输入支路的节点，它代表只有输入支路的节点，它代表系统的系统的输出输出变量。如图中变量。如图中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x2 68 通道通道 从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。表示。 开通道开通道 如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，如果通道从某一节点开始，终止
