1、2019上半年北京教师资格初中数学学科知识与教学能力真题及答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1下列选项中，运算结果一定是无理数的是( )。A有理数与无理数的和B有理数与有理数的差C无理数与无理数的和D无理数与无理数的差参考答案：A参考解析：解析：本题考查有理数与无理数的性质。(1)有理数与有理数：和、差、积、商均为有理数(求商时除数不为零)。(2)有理数与无理数：-个有理数和-个无理数的和、差为无理数；-个非零有理数与-个无理数的积、商为无理数。(3)无理数与无理数：和、差、积、商可能是有理数，也可能是无理数。故本题选A。参考答案：B参考解析：A柱面B圆面C半平面D半锥
2、面参考答案：D参考解析：4设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等行变换得到的矩阵，则下列结论正确的是( )。A|A|=|B|B|A|B|C若|A|=0，则-定有|B|=0D若|A|0，则-定有|B|0参考答案：C参考解析：本题考查矩阵初等变换及行列式的性质。若对n阶矩阵A作如下三种行(列)变换得到矩阵B：互换矩阵的两行(列)；用-个非零数k乘矩阵的某-行(列)；把矩阵某-行(列)的k倍加到另-行(列)上。则对应行列式的关系依次为|B|=-|A|，|B|=k|A|，|B|=|A|，所以若n阶矩阵A经若干次初等行(列)变换得到矩阵曰，则有|B|=k|A|，k是-个非零常数。因此当|A|=0时，-定有
3、|B|=k|A|=0。故本题选C。5已知则f(1)=( )。A-lB0C1D参考答案：B参考解析：6若矩阵有三个线性无关的特征向量，A=2是A的二重特征根，则( )。Ax=-2，y=2Bx=1，y=-1Cx=2，y=-2Dx=-1,y=1参考答案：C参考解析：本题考查矩阵特征向量的相关知识。因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，且A=2是A的二重特征根，所以齐次线性方程组(2E-A)X-0有两个线性无关的解向量，则3-r(2EA)=2，r(2EA)=1。因为7下列描述为演绎推理的是( )。A从-般到特殊的推理B从特殊到-般的推理C通过实验验证结论的推理D通过观察猜想得到结论的推理参考答案：A
4、参考解析：演绎推理是从-般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事物应遵循的规律，即从-般到特殊的推理。归纳推理是由个别、特殊到-般的推理，通过实验验证结论和通过观察猜想得到结论的推理，都是归纳推理。故本题选A。8义务教育数学课程标准(2011年版)从四个方面阐述了课程目标，这四个目标是( )。A知识技能、数学思考、问题解决、情感态度B基础知识、基本技能、问题解决、情感态度C基础知识、基本技能、数学思考、情感态度D知识技能、问题解决、数学创新、情感态度参考答案：A参考解析：义务教育数学课程标准(2011年版)指出，义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决
5、、情感态度等四个方面加以阐述。二、简答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)9一次实践活动中，某班甲、乙两个小组各20名学生在综合实践基地脱玉米粒，-天内每人完成脱粒数量(千克)的数据如下：甲组：57，59，63，63，64，71，71，71，72，75，75，78，79，82，83，83，85，86，86，89。乙组：50，53，57，62，62，63，65，65，67，68，69，73，76，77，78，85，85，88，94，96。问题：(1)分别计算甲、乙两组学生脱粒数量(千克)的中位数；(2分)(2)比照甲、乙两组数据，请你给出2种信息，并说明实际意义。(5分)参考解析：本题考查
6、统计的相关知识。10试判断过点P1(2，0，1)，P2(4，3，2)，P3(-2,1,1)的平面与平面1/2x+2y-7z+3=0的位置关系，并写出-个与平面垂直的平面方程。参考解析：11已知方程的两个实数解为1与-2，试求该方程的全部实数解。参考解析：12用统计方法解决实际问题的过程，主要包括哪些步骤?参考解析：用统计方法解决实际问题-般有如下几个步骤。建立数学模型。分析实际问题，由实际问题抽象出相应的数学模型。收集数据。根据实际问题设计简单的调查表，或选择其他适当方法(调查、试验、测量)收集数据。其中，在收集数据的过程中，可以全面观测所有总体并得到数据，这-过程称为普查；选取适当抽样方法从
7、总体数据中抽取部分样本进行观测并得到数据的过程叫作抽样调查。整理数据。对收集到的数据进行审核、校正、整理，从而使之系统化、条理化，并用文字、图画、表格等方式表示数据。其中，可运用条形统计图、扇形统计图、折线统计图等直观地表示数据。分析数据。运用平均数、中位数、众数等数字特征，对样本数据进行分析，并进-步估计出总体的数字特征。解释数据。结合总体数字特征，对数据进行解读。得出实际问题的相关结论。13评价学生的数学学习应采用多样化的方式，请列举四种不同类型的评价方式。参考解析：数学学习评价的形式多样，主要有口头测验、书面测验、开放式问题研究、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、建立成长记录袋等
8、。下面列举几种不同的评价方式进行阐述。口头测验，是指在教学过程中教师通过与学生之间的言语互动，及时地了解学生的数学学习情况，找出问题并及时纠正。书面测验，是指教师对学生的作业或者其他测验报告所做的书面性的评价。这种评价方式可以帮助教师了解学生的数学学习状态以及知识掌握水平。书面评语评价，教师对学生的作业或者其他活动报告所做的书面性的评价。评价形式不仅仅是分数或者等级，评语-般应是鼓励为主，用以帮助学生认识与解决问题。课后访谈，是指教师通过课后与学生的沟通交流了解学生数学学习情况的-种评价方式。这种评价方式可以帮助教师更直接地了解到学生的数学学习情况。建立成长记录袋，是指将学生数学学习过程进行有
9、效记录而形成的书面存档。这种评价方式既可以帮助教师随时了解学生数学学习的成长经历，也可以有效地帮助学生确立今后的学习目标与方向。三、解答题(本大题1小题，10分)参考解析：四、论述题(本大题1小题，15分)15函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方程、不等式、数列等内容。参考解析：函数是中学数学课程的主线，它贯穿于整个中学数学课程中，方程、不等式、数列等内容均与函数有非常密切的联系。函数与方程。中学数学课程中-元二次方程的求解问题，可以转化成求对应函数的零点问题。例如，求方程ax2+bx+c=0(a0)的实数根，可以转化为求函数Y=O,x2+bx+c与
10、x轴交点的横坐标的值，即求函数的零点问题。由此可以看出，方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了思考函数图形与x轴的交点问题。利用函数的整体性质可以研究方程的根的性质，判断根的个数，并估计根所在的区间。函数与不等式。用函数的观点看，不等式就是确定使函数Y=f(x)图像在x轴上方或下方的x的区域。中学数学课程中的-元二次不等式的求解问题，可以借助二次函数的图像找到不等式的解集。例如，求不等式x23x+20的解集，可以通过画出函数f(x)=x2-3x+2的图像找到使函数值大于0的所有x组成的集合，而这个集合就是该不等式的解集。函数与数列。数列是-种特殊的函数，它的定义域为自然数集或自然数子集。
11、数列是离散的函数，表现在坐标系中是-些离散的点的集合。中学数学课程主要涉及等差数列和等比数列，等差数列的通项公式是-次函数的离散化，等差数列的前n项和公式是二次函数的离散化，等比数列的通项公式以及前n项和公式都是指数函数的离散化，因此可以借助函数的性质来研究数列。例如，求等差数列的前n项和Sn=n24n在第几项取得最小值，可以将其转化为求函数f(x)=x2-4x的顶点横坐标问题，根据函数的顶点坐标公式可知，当x=2时，函数f(x)取得最小值，即Sn在第2项取得最小值。总之，在方程、不等式、数列等内容中，可以用函数思想思考、解决问题，用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。五、案例分析
12、题(本大题1小题，20分)阅读案例，并回答问题。16案例：甲、乙两位数学教师均选用如下素材组织了探究活动，如图l所示，这是-个三级台阶，它的每-级的长、宽、高分别为50 cm，25 cm和15 cm。A和B是这个台阶的两个相对端点，B点上有-只蚂蚁，想到A点去吃食物。请你想-想，这只蚂蚁从B点出发，沿着台阶面爬到A点，最短路线是什么?两位教师的教学过程如下。甲教师：用大屏幕展示问题情境，组织小组讨论，学生开始读题，教师巡视过程中看到有的同学把台阶画出来，与教学预设不符，立即中止了大家讨论，指着题目说：“同学们请注意读题，是沿着台阶面，你们把这张图画出来有什么用?”在接下来讨论中，教师又遇到新情
13、况，有的画展开图，却把尺寸弄错了，于是老师终止思考。乙教师：展示情境，将问题进行分析，出示了-张台阶模样纸片，边说边将纸片拉直，如图2所示，然后让大家研究。很快，有同学说出答案，教师解释了下，同学们都明白了。甲、乙教师课后交流：两个教师在教学中均有探究。问题：(1)义务教育数学课程标准(2011年版)指出，“有效的数学活动是教师教与学生学的统-”，教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者。请说明两位教师的教学是否符合要求?(2)两位教师组织的探究活动各自存在什么问题?请简要说明并简述理由。(3)组织数学探究活动，需要注意哪些事项?请说明。参考解析：(1)甲教师的教学在落实课标这-理念的过
14、程中缺乏对实际情况的应急应变，并且其为引导学生思考而设置的问题目的性不强。在教学过程中，甲教师组织学生进行小组讨论，这体现了教师的组织者角色，但在学生讨论例题的过程中，甲教师没有设置铺垫问题，也没有做进-步的引导，所以甲教师在身为组织者和引导者方面存在不足。此外，当学生讨论的结论与自己预设的不同时，甲教师虽然意识到学生进入了思维误区并及时中止了学生的思考，但是其中止之后并没有设计教学问题以引导学生走出思维误区，只是-味地批评学生的错误思路，从而导致第二次终止讨论，所以甲教师在身为合作者和引导者方面存在不足。乙教师的教学在落实课标这-理念的过程中虽然其引导者的作用得到了充分的体现，但是学生主体地
15、位的体现有些缺失，教师的合作者以及组织者的角色落实不到位。在教学过程中，乙教师能够引导学生对问题进行分析，进而带领学生突破知识的难点，这体现了乙教师的引导者角色，但乙教师的讲解过于详细，从而限制了学生的思维，所以没有很好地体现以学生为主体的课标要求。此外，在学生讨论的过程中，乙教师既没有做好明确的分组，也没有进行巡视指导并参与到学生的讨论中去，所以乙教师在身为组织者与合作者方面存在不足。(2)甲教师存在的问题：讨论的问题对于学生有-定的难度，需要教师给予-定的引导或问题铺垫，如对最短路线的探讨，何为最短路线，蚂蚁爬过的路径如何进行计算，等等。在学生探究之初仅仅因为与教学预设不符就开始质疑学生，
16、中止讨论，并且当发现学生错误太多时终止思考，这些行为都反映出该教师对于课堂的-些突发情况缺乏应急应变能力。该教师既没有让学生在讨论探索中去发现问题，也没有做到充分的引导，因此没有真正落实课标提出的以学生为主体的要求，造成了“伪探究”的现象。该教师在教学过程中的措辞不当，如“画图有什么用”等。这显得教师不够尊重学生，没有平等地对待学生。而在探究学习过程中，教师要成为学生活动的参与者，与学生-起体会曲折的学习过程，感受学习中遇到的失败和成功。乙教师存在的问题：乙教师在教学过程中的引导过多，从而导致学生被动地接受结果，失去了学生探究的真正意义，没有让学生的思维得到充分的发展。两位教师的教学活动虽然设
17、置的是探究活动，但都忽略了探究活动是为了发展学生的综合应用的能力。两位教师都只注重知识结果的呈现，而忽视了数学方法的呈现，学生在活动中的体验，对学生学情的思考以及学生思维的发展并没有积极效果。(3)组织数学探究活动，需要注意以下事项。探究活动内容的选择要合理。要使探究活动更有效，需要发现和提出有意义的数学问题，同时探究内容要有激发性，也就是说，探究的问题能激发学生的探究欲望，问题的设置要在学生的“最近发展区”。探究活动的指导要合理。在探究活动中，教师要扮演好组织者、引导者、合作者的角色。首先要给学生创设探究的情境，其次要保证学生有探究的时间，再次探究活动并不是让学生毫无节制的大谈论，而是精心编
18、制的教学活动，所以教师不能孤立于学生之外，要及时进行指导，并对学生的探究结果做出合理的评价。在探究活动中，正确处理教师的“引”和学生的“探”的关系。在探究过程中，学生作为探究的主体，需要通过自己的探究去发现新事物。教师作为引导者要发挥指向灯的作用，既要在学生脱离主题的时候，适时地引导方向，又不能过分地牵制学生的思想，造成“伪探究”的现象，还要注重全体参与，让每个学生体验成功的乐趣。六、教学设计题(本大题1小题，30分)17义务教育数学课程标准(201 1年版)附录中给出了两个例子：例1计算1515，2525，9595，并探索规律。例2证明例l所发现的规律。很明显例l计算所得到的乘积是-个三位数
19、或者四位数，其中后两位数为25，而百位和千位上的数字存在这样的规律：12=2，23=6，34=12，这是“发现问题”的过程，在发现问题的基础上，需要尝试用语言符号表达规律，实现“提出问题”，进-步实现“分析问题”和“解决问题”。请根据上述内容，完成下列任务：(1)分别设计例1、例2的教学目标；(8分)(2)设计“提出问题”的主要教学过程；(8分)(3)设计“分析问题”和“解决问题”的主要教学过程；(7分)(4)设计“推广例l所探究的规律”的主要教学过程。(7分)参考解析：(1)例1的教学目标知识与技能目标：掌握必需的独立探究和发现问题的能力。过程与方法目标：通过计算并观察结果与乘数的关系从中发
20、现规律，提升自主学习能力、独立思考能力、发现问题和分析问题的能力。情感态度与价值观目标：在探索学习的过程中，感受该乘法运算中的有趣规律，发展学习数学的兴趣，树立学习数学的信心。例2的教学目标知识与技能目标：初步了解证明方法，掌握公式证明的思维过程，学会通过-般性的证明来验证自己发现的规律。过程与方法目标：通过从数值运算到符号公式表达的过程，感受数学证明中从特殊到-般的过程，从而形成数学思维，并养成提出问题、分析问题和解决问题的能力。情感态度与价值观目标：在证明规律的过程中，感悟数学的严谨性，增加学习数学的兴趣。(2)教学过程活动-：教师让学生观察并讨论例1得出的运算规律，之后教师将其板书展示。
21、师：观察黑板上的运算规律，15，25，95可以拆分成什么式子来袁示呢?(预设)生：l5=110+5；25=210+5；95=910+5。(教师板书)师：我们由此可以发现什么规律?(预设)生：因数等于因数十位上的数字乘10加5。师：在上述式子中，我们可以发现哪些数字是变化的，哪些又是不变的?(预设)生：l，2，9是变化的；10和5是不变的。师：我们知道变量可以用字母表示，如果用字母。来代表1，2，9，上述式子中的l5，25，95可以表示成什么?(学生讨论)(预设)生：al0+5(a=1，2，9)。活动二：教师让学生分析例l发现的规律(1515=12100+25：2525=23100+25：959
22、5=910100+25)，并让其试着运用字母a进行表示。预设学生回答：(al0+5)2=a(a+1)100+25(a=1，2，9)。师：假设a代表小于10的任意正整数，那么例l中乘法运算就可以-般化为-个公式，即(al0+5)2=a(a+1)100+25(a=1，2，9)。师：这个公式就是我们通过分析例1的运算规律所得出的猜想。(3)教学过程活动-：教师让学生自主思考公式(al0+5)2=a(n+1)100+25的正确性，讨论并验证猜想正确性的证明方法。师：观察等号左边，我们可以发现什么?(预设)生：等号左边是-个完全平方式。活动二：教师带领学生回顾完全平方公式，即(a+b)2=a2+2ab+
23、b2。师：运用完全平方公式，可以知道(al0+5)2等于什么?(预设)生：(al0+5)2=a2100+2al05+25。师：进-步运算可以得到什么?(预设)生：a2100+2alo5+25=a2100+al00+25=a(a+1)100+25(a=1，2，9)。师：我们可以看到，运算的最终结果是等号两边的式子相等，即公式得证。(4)教学过程师：继续观察例1中的算式，还能有什么发现呢?请观察每个式子中的两个因数。预设：学生发现每个式子中的两个因数都是-样的，而且个位上的数字之和为l0。师：大家计算下面几个式子，看看能发现什么规律。3832，4347，81 89。师：这些式子中的因数有什么特点吗
24、?教师引导学生直到学生能够答出：这些式子中的两个因数十位上的数相同，个位上的数相加等于10。师：这三个式子的计算结果分别是3832=1216，4347=2021，8189=7209，结合我们刚才得到的结论，能发现什么规律呢?引导学生直到学生能够答出：计算结果中的后两位数是两个因数的个位上的数的乘积，前两位数是因数的十位上的数加-乘十位上的数本身。师结合例1申的计算过程请大家补全下列算式。(板书展示)预设：经过刚才的教学，学生能够顺利补全上述算式。师：我们用代数式怎么表示这个算式呢?引导学生直到学生能够答出：可以用10a+b表示其中-个因数，用10a+(10-b)表示另-个因数，并通过观察得出猜
25、想：(10a+b)10a+(10-b)=a(a+1)100+b(10-b)。师：这里的a是正整数，大家知道b要取什么数吗?引导学生直到学生能够答出：小于10的正整数。师：下面请大家用我们刚才学过的知识证明-下这个算式。预设：教师观察学生的计算过程，并找两位学生在黑板上板演，结合学生的板演进行讲解，以深化大家的理解。板演过程：(10a+b)10a+(10-b)=l0a2+l0a(10-b)+l0ab+b(10-b)=100a2+100al0ab+l0ab+b(10-b)=a(a+1)l00+b(10-b)【练习】口算下列算式：1713；()2426；()3337；4545；()5159。师(小结)：通过这节课的学习，我们以快速口算出两个因数十位上的数相同，个位上的数相加等于10的算式。在学习的过程中，我们先通过-些算式找出规律，并根据这些规律归纳猜想出对应的公式，最后经过严格的证明验证我们的猜想，我们称这-过程所贯穿的思维方法为归纳推理。
