1、1第六章第六章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析Chapter6 Frequency-Domain Analysis for Control System第一节第一节 引言（引言（introduction）第二节第二节 频率特性的基本概念频率特性的基本概念（Basic Concepts of Frequency Characteristic) 第三节第三节 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图(The Polar plot of the frequency Characteristic)第四节第四节 频率特性的对数极坐标图频率特性的对数极坐标图(The logarithm plot of
2、the frequency characteristic) 第五节第五节 控制系统的奈氏图分析控制系统的奈氏图分析(Nyquist plot Analysis for the control system) 第六节第六节 控制系统的伯德图分析控制系统的伯德图分析(Bode plot Analysis for the control system)第七节第七节 闭环系统频率特性分析闭环系统频率特性分析(Frequency characteristic Analysis for Closed-loop System) 26.1 引言引言频域分析法的优点：频域分析法的优点：可以在开环传函未知的情况下
3、，根据系统的开环频率可以在开环传函未知的情况下，根据系统的开环频率特性判断系统的稳定性及估算性能指标特性判断系统的稳定性及估算性能指标 频域分析中包含多种图形分析方法，这些方法并不局频域分析中包含多种图形分析方法，这些方法并不局限于低阶系统，对高阶系统同样有效限于低阶系统，对高阶系统同样有效对线性系统而言，系统地时域性能指标和频域性能指对线性系统而言，系统地时域性能指标和频域性能指标之间具有一定的对应关系。标之间具有一定的对应关系。频域分析为我们提供了一个分析问题的新视角。频域分析为我们提供了一个分析问题的新视角。3本章的主要内容：本章的主要内容：频率响应；频率响应；频域工具：频域工具：奈氏奈
4、氏(Nyquist)图图;伯德伯德(Bode)图图;等等M圆；圆；等等N圆；对数幅相图；尼柯尔斯圆；对数幅相图；尼柯尔斯(Nichols)曲线；等曲线；等M圆圆 稳定性分析：奈氏判据；相位裕量和幅值裕量稳定性分析：奈氏判据；相位裕量和幅值裕量闭环频域性能指标：截止频率；带宽；谐振峰值；闭环频域性能指标：截止频率；带宽；谐振峰值； 谐振频率谐振频率46.2 频率特性的概念频率特性的概念设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下
5、:40不不5结论：结论：给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。6Frequency Characteristic refer to the system response performance (magnitude and phase characteristics) with respect to different frequency sinusoidal input signals. 7)()()(wjewMjwG）（正弓玄输入）（稳态输出函数X )(Y
6、jG2、直角坐标形式：、直角坐标形式：)()()(jIRjG1. 极坐标形式：极坐标形式： 系统的频率特性函数系统的频率特性函数 ：)(jG频率特性函数频率特性函数 的表示方式：的表示方式：)(jGPolar Coordinates：Quadrature Coordinates： (Cartesian)()()()(jGjGM幅值: 相角:（Magnitude） （Phase）84. 确定频率特性函数的方法确定频率特性函数的方法 由传递函数求解: 有频率特性函数的定义求解 :)(sin)()()(cos)()()()()()()()()(122MIMRRItgIRjGM3. 极坐标与直角坐标之
7、间的转换极坐标与直角坐标之间的转换)()(jGsGjs)()()(XYjG9TjtgeTkTjkjGsGjsTsksXsYsG11)(1)(),( ,1)()()(2得带入设例例6-1 求一惯性环节的频率特性函数，设系统的传函为求一惯性环节的频率特性函数，设系统的传函为 G(s)解：方法一：22111)()()(wsAwTskLsXsGLtY给系统一输入信号 ，对输出函数y(t)求拉氏反变换,得 tAtxsin)(方法二：(依据频率特性函数的定义）10TtgtTkAeTkATsTssTTsTTkALTt122222222222221)sin(1111111系统的稳态输出 为 : )(t)(22
8、1)()sin()(1tjeTkAtTkAy11将输入 表示成复数形式，有)(tx1)()()sin(1)()(22TkAeYtTkAtyj0)(sin)(jAeXtAtxjeTKXYjG1)()()()(2126.3 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图6.3.1 6.3.1 基本概念基本概念频域分析法是一种半图形分析法，可方便快捷地获得系统的近似解。 两种常用图形表示法： 极坐标图和对数图，0)()()(1： when ejGjGjGj极坐标 0AOA13直角坐标系中的表示：RjI 0ARA IA )()()(jIRjG146.3.2. 典型环节频率特性的极坐标图典型环节频率特性的极坐标图
9、比例环节（比例环节（proportional element） 2. 积分环节积分环节3. 微分环节微分环节KsG)(KR()jI()00)(jKejKjGssG1)(幅值增大相角滞后 9011)(2jejjGssG)(幅值增加相位超前 90 )(2jejjGIntegrating elementDerivative element150.51.004. 惯性环节：11)(TssGTjarctgeTjTjG1)(111)(2相位滞后低通滤波器900：)( 01 ：)( 0：M半条曲线 5 . 0)()5 . 0(1)()(1)(1)(22222IRTTITRInertial element16
10、0ReG(j)ImG(j)1惯性环节G(j)175. 二阶震荡环节二阶震荡环节10121)(22TssTsG 221222222222222222212)()2()1 (1)()2()1 (2)2()1 (112)(1)(TTtgTTMjTTTTTTTjjTjGSecond-order oscillation system180ReG(j)ImG(j)1ABA:2212121 rnrAB:onnA90)(21)( 2222)(nnnsssG 振荡环节G(j)191800：)(01：)(0：Mcircule-semi 1,exist 220)(rrMM0.51.00Mr, r6. 迟延环节迟延环
11、节：sesG)(1 =0,2k/ ,. )(1)()(MejGj time-delay element20 6.3.3.奈氏图的绘制奈氏图的绘制(开环频率特性的极坐标图开环频率特性的极坐标图) 开环传函的求法：打开闭环求通路之积 Gi)()()(jHjGsHsGjs(开环传递函数的定义：)()()()()()(0sGsGsGsGsHsGkOPEN开 奈氏图绘制：取 逐点计算M、或R、I，描点绘线成图。2 , 1 , 021手工；利用机器例5-2 设系统的开环传递函数如下，试绘制系统的极坐标图。) 11 . 0)(1(10)(sssG)1 . 0(23221321)1 . 0(11)(11)(1
12、0)()()()()(jarctgjarctgejGejGjGjGjGjGjG解解:22103 .129,4 .29,071. 0 , 9 . 8 ,1010, 2 , 1 , 5 . 0 , 0)1 . 0()()1 . 0(1110)(1122MtgtgM236.3.4 典型系统的奈氏图的绘制典型系统的奈氏图的绘制1) 0型系统 系统频率特性函数为)() 1() 1()()(11nmssKsHsGnkkmii )(11)() 1() 1()()(jnkkmiieMjjKjHjG2411111212)()()(1)(1)()(kkiinkkmiiTtgtgTKM90)0)(00)0(0mnM
13、KM（）（）（；：；：) 1)(1)(1(3) 1)(1(232121jTjTjTKmnjTjTKmn b) a)如：如：252) 1型系统)(1111)() 1() 1()()()() 1() 1()()(jnkkmiinkkmiieMjjjKjHjGnmsssKsHsG 2611111212)()(90)(1)(1)()(kkiinkkmiiTtgtgTKM90)；0)(：900；)0(：0mnMM（）（）（) 1)(1(3) 1(221jTjTjKmnjTjKmn b) a)如：如：273) 2型系统)(121121)() 1()() 1()()()() 1() 1()()(jnkkmi
14、inkkmiieMjjjKjHjGnmsssKsHsG 28111112212)()(180)(1)(1)()(kkiinkkmiiTtgtgTKM90)；0)(：1800；)0(：0mnMM（）（）（) 1()(3) 1()() 1(222jTjKmnjTjjKmn b) a)如：如：29 小结小结：0，1，2 型系统奈氏图终止于原点，入射角为（ nm) 。但起始点各不相同，在s平面中顺时针方向行走。系统类型 (0) () ( ) 0 0 -(n-m)90 1 -90 -(n-m)90 2 -180 -(n-m)9030ImRe 01型系统 02型系统0 型系统0 0 310-25ImG(j
15、)ReG(j)1例题1：绘制 的幅相曲线。)1s (s)3s)(2s (5) s (G2 解：o180)0j(G ojG900)()0( )( oo180180 oo900 oo900 oo900 求交点： )j1(5j)6(5)j (G22 0)j (GIm, 令令0)6(5 ,2 1, 1,2即处处。与与负负实实轴轴相相交交于于2525) j1()5j5(5)1 j (G 点点无无实实数数解解，与与虚虚轴轴无无交交令令. 064 , 056 , 0)j (GRe222 曲线如图所示：开环幅相曲线的绘制oo90180 32111sG sTs( )211sG sTs( )336.4 控制系统的
16、奈氏判据控制系统的奈氏判据 6.4.1 奈氏判据基本概念奈氏判据基本概念 频域分析中最重要的稳定性判据之一。 奈氏判据不仅可给出系统绝对稳定相对稳定的判断，奈氏判据不仅可给出系统绝对稳定相对稳定的判断，同时还提供了如何同时还提供了如何 提高系统稳定的信息。提高系统稳定的信息。 利用计算机可方便的绘制出系统的奈氏图利用计算机可方便的绘制出系统的奈氏图 从奈氏图上获得系统的频域指标从奈氏图上获得系统的频域指标 对具有迟延的系统，奈氏图非常于适用对具有迟延的系统，奈氏图非常于适用奈氏判据的基本特征：34重要概念: 1. 闭环特征方程的零极点 2. 幅角定理 3. 奈氏轨迹和映射35闭环特征方程的零极
17、点闭环特征方程的零极点)()(1)(sHsGsF)()(1)()()(sHsGsGsRsC注：注： F s 的的极点极点是开环传函是开环传函GH(s)的的极点极点;F(s)的的零点零点是闭环传递是闭环传递函数的函数的极点极点。 因此因此, 闭环系统稳定的条件为闭环系统稳定的条件为F(s)的所有零点位于的所有零点位于s平面的左平面的左半平面半平面。 0)(sF闭环特征方程 niiniipszsKsAsBsFsAsBGH11)()(*)()(1)(Then )()( IF36ZN=P-Z37S-PlaneF-PlanejjImReCC-PiI-PiII-ZiI-ZiIIs(s+ZiI)F(s)(s
18、+ZiII)38证：设封闭曲线C不通过s平面上任一零极点，且包围Z个零点P个极点，记为 ZiZ PiPIiIi，2121未被包围的零极点记为 mZiZ nPiPIIiIIi，11对于任一点s有F平面映射nPiIIiPiIimZiIIiZiIiPsPsZsZsKsF1111)()()()()(39nPiIIiPiIimZiIIiZiIiPsPsZsZssF1111)()()()()( 当变点s沿C顺时针移动一圈，则有)(360)(360(0)360(0)360()()()()()(1111ZPPZPZPsPsZsZssFnPiIIiPiIimZiIIiZiIi 这表明F(s)端点沿C逆时针包围原
19、点的次数为P-Z=N。403. 奈氏轨迹及其映射若选取适当的封闭曲线将s平面右半平面包围起来，则变点s顺时针方向沿虚轴和半径为的右半圈绕一周形成的封闭曲线称为Nyquist轨迹 ，简称奈氏轨迹。jjI()R()=0S平面的奈氏轨迹F(j)平面的奈氏曲线=41 奈氏轨迹在平面的映射也为一个封闭曲线， 称为奈氏曲线, 例如 ：上半虚轴映射为 ：下半虚轴映射为 右半圈映射为,，因为当回忆幅角原理回忆幅角原理 N=P Z，F的零点即闭环极点。的零点即闭环极点。Z=P-Nmn 1)()(1)(ssHsGsF要使系统稳定则Z=042 若考虑G(s)H(s) 平面，则相当于F(s)曲线左移一个单位的奈氏图，
20、即开环幅相频率特性，原F平面原点对应于GH平面, j0点 若要系统稳定，则Z=PN=0，N为GH 映射曲线绕,j0点次数1G s H sF s( ) ( )( )ImRe 0 1 F(s)(1,j0)ImRe 0 F(s)-1(-1,j0)436.4.2 奈氏稳定性判据一奈氏稳定性判据一 若若奈氏曲线奈氏曲线 逆时针包围逆时针包围, j0 点点的次数的次数N等于位于等于位于右半平面上右半平面上开环极点数开环极点数P。则闭。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。环系统稳定，否则闭环系统不稳定。约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不能穿过零极点。讨论：当奈氏曲线通过,j0点，则表示闭环系统临界
21、稳定，也归为不稳定。)()(jHjG44 应用奈氏稳定性判据一的步骤： 绘 的奈氏图，可先绘 :一段，再以实轴对称的方法添上:的一段； 计算奈氏曲线包围,j0点的次数N 由给定的Gss确定右半平面上开环极点数 P 计算 PN ，若 PN =0 则闭环稳定)()(jHjG45例： 解：作奈氏轨迹如下图示:N=1， P=1 有Z=NP=0 故系统稳定=0=-1=+) 1)(1)(1() 1()()(321sTsTsTsTKsHsGa466.4.3 奈氏稳定性判据二奈氏稳定性判据二 若增补奈氏曲线 当:逆时针包围, j0点的次数N等于位于右半平面上开环极点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。
22、所谓增补就是使奈氏轨迹绕开位于原点和虚轴上的开环零极点。增补奈氏轨迹：)()(jHjG47增补奈氏轨迹映射出的奈氏轨迹分析：MniiMmiisTssKsHsG11)1()1()()()90090:( jes当jMjMMMnijMMmieeKeKsHsG11) 10() 10()()(48 可见增补奈氏轨迹映射为半径的圆曲线变点相角变化从M 900 M 90 如 M=1， -M：900-90 M=2时， -M：180 0 -18049一型系统的奈氏曲线 二型系统的奈氏曲线=-=-=GH平面GH平面（-M：1800 -180）（-M：900 -90）50例1：设开环传函试用奈氏判据判定系统稳定性解
23、：=-GH平面(-1,j0)2)(1(10)()(ssssHsG作奈氏曲线考虑增补当:顺时针包围,j0点2次，N=2 P=0Z=2 不稳定绘制奈氏曲线Z=P-N51试判定闭环系统稳定性解：=-=GH平面(-1,j0)例2：)2)(1)(1 . 0()3 . 0)(2 . 0()()(2sssssssHsGN=0，不包围, j0点P=0，Z=N-P=0 绘制奈氏曲线作增补奈氏曲线 闭环稳定52例例3: 绘制下列系统的奈氏曲线绘制下列系统的奈氏曲线 )()(psszssGH2其中：其中： (a) z=1,p=2 (b) z=2,p=1. 分别讨论系统的稳定性分别讨论系统的稳定性 解解: (a):
24、z=1,p=2. )()()(s2112ss12ss1ssGH22相频及幅频特性分别为：相频及幅频特性分别为： 41150M222/.)5 . 0(tan)(tan1118053ABCDEE,ADBCNyquist Path in s-planeContour on GH(s) plane54Case (b): z=2,p=1. )()(1j)(j)0.5j-2(1jGH2The magnitude and phase may be written directly is 2221412M/)(tan).(tan1150180Asymptotic values of yield: -180 0
25、M-180 M0:55ABCDEE,ABDCNyquist Path in s-planeContour on GH(s) plane56( 1,) ( 1,) ( 1,) 57补充：实用奈氏判据实用奈氏判据 若开环系统有q个 极点位于s右半平面，则当:0时，穿越段的次数 ，则闭环稳定，否则不稳定。（化数包围圈数为穿越次数）穿越次数的计算按下定义： 半穿越 正穿越 负穿越记法：统计：-12qN iiiiiiNNNNNNN11212158GH平面=+=(-1, j0)+-例4：)2)(1)(1 . 0()3 . 0)(2 . 0()()(2sssssssHsG解：02001111qNqNNN稳定
26、59 60000022NNP0 1122NNP0 12122NNP611 10022NNP 0 10022NNP1 10022NNP 626.4.4.奈氏判据的应用问题奈氏判据的应用问题1.Minimum-phase system 最小相位系统的稳定性判别最小相位系统右半s平面无开环极点。 最小相位系统又称开环稳定系统。奈氏判据应用于最小相位系统时 P=0 Z 才有稳定只需判断奈氏曲线是否包围, j0点，包围则不稳定，不包围则稳定。63 因奈氏曲线包围(-1, j0)点可判定系统不稳。=GH平面(-1, j0)例6：)2)(1(10)()(ssssHsG642. 利用奈氏判据确定稳定系统的可变
27、参数取值范围 （象劳斯判据一样） 利用奈氏曲线穿过, j0点来确定。例7： 求Kp的取值范围（Kp ）Kpsss1Rs Cs65解：) 1)(1()1 () 1)(1()() 1)(1()(1) 1)(1()1)(1 () 1)(1()()() 1)(1()()(2222212212222212122222122121222221212121TTjTTKTTTTKTTTTjTTjKTTjTjTjKjTjTjKjHjGsTsTsKsHsGpppppp660)(1)(IR，令212212121222221211011) 1)(1()(TTTTTTTTKTTTTKpp据奈氏判据，稳定的p：21210
28、TTTTKp67GH平面(-1, j0)2121TTTTKp683. 具有迟延环节的系统稳定性分析设：)()()()()()()()()()()()()()()()(11111111jHjGjHjGjHjGjHjGejHjGjHjGesHsGsHsGjs模相等 的相角等于 的相角减去 或者说顺时针转动 。可先作出 的奈氏曲线，再选若干点 ，顺时针转动 得到 )()(jHjG)()(11jHjG)()(11jHjG。)()(jHjG注： 值越大则转动角度 越大。69解：绘制时的奈氏曲线。分析： 当，奈氏曲线不包围, j0点，稳定； 当2，奈氏曲线穿过, j0点，临界稳定； 当4，奈氏曲线包围,
29、j0点，不稳定。可见越大，系统变化越不易稳定。例8：sessssHsG)2)(1(1)()(求：时的奈氏曲线。70jImRe=0=2=4(-1, j0)GH平面716.4.5 广义频率特性及其应用广义频率特性及其应用 奈氏轨迹包围了整个s右半平面，所以可用奈氏曲线判系统的绝对稳定性，若将奈氏轨迹包围的区域扩大，则可用来判别系统的相对稳定性。广义奈氏轨迹： BOA折线及半径的右半圆弧广义奈氏曲线： 广义奈氏轨迹在GH平面的映射72B0A广义奈氏轨迹-m00jmsOBjmsOA：21m 衰减指数广义频率特性：），简记为jmHjmGjmHjmG()()()(73广义奈氏判据： 若若G s s 有有P
30、个极点位于个极点位于s平面上具有给定的平面上具有给定的m值的射线右侧，而对应的值的射线右侧，而对应的GH平面上的广义频率特性平面上的广义频率特性曲线曲线G m,j H m,j 在在 从从变化时，逆时针包变化时，逆时针包围围, j0 点点的次数为的次数为N，则当，则当N=P时，闭环任一点衰时，闭环任一点衰减指数都大于给定的减指数都大于给定的m值，如果值，如果P=0，而曲线，而曲线G j H j 恰好通过恰好通过, j0 点点，则闭环系统有一对复，则闭环系统有一对复极点的衰减指数极点的衰减指数mk恰好等于给定的恰好等于给定的m值。值。74例9：saesTKsHsG)()(值。的已知，求使闭环有和设
31、KmTa221. 0解：marctgjamajmemTKejmTKejmHjmG12)(1)()()(令通过（-1, j0）点，有112mTKeam75aamaTeTemTKarctgmarctgmarctg0259. 135. 1)221. 0(1135. 1221. 011135. 1221. 022766.5 频率特性函数的对数坐标图绘制频率特性函数的对数坐标图绘制 6.5.1 6.5.1 基本概念基本概念 1. 1. 优点优点: : 对传递函数取对数，将指数曲线化为直线对传递函数取对数，将指数曲线化为直线 2. 2. 两类对数坐标图：两类对数坐标图： 伯德图和幅相曲线图伯德图和幅相曲线
32、图 伯德图伯德图包括包括2部分：部分： 幅频特性曲线图和相频特性曲线图；幅频特性曲线图和相频特性曲线图； 其中：其中： (频率频率)轴刻度为对数坐标轴刻度为对数坐标 。 幅相曲线图幅相曲线图 用对数坐标的幅值为纵坐标相角为横坐标绘用对数坐标的幅值为纵坐标相角为横坐标绘制的曲线。制的曲线。对数坐标系780.1 0.21210 201000db20db40db-20db-40dbL()-20ssG1)(ssG10)(ssG51)(积分环节L()790.1 0.21210 201000db20db40db-20db-40dbL()+20ssG)(ssG2)(ssG1 . 0)(微分环节L() 800
33、.1 0.21210 201000db20db40db-20db-40dbL()+2015 . 01)(ssG410)(ssG8dbo90 o45 o0 惯性环节L()810.10.21210 201000db20db40db-20db-40dbL()+2015 . 0)( ssG?)( sG-8dbo90o45o0 一阶微分L() 820db20db40db-20db-40dbL()1s2s1) s (G2 o90 o0 0.1110100o180 -402121lg20 21lg20振荡环节L() 830db20db40db-20db-40dbL()1ss25. 0) s (G2 o90o
34、0 0.1110100o18040212lg20 2lg20二阶微分L() 846.5.2 对对数幅相图图示法数幅相图图示法 Steps: first, plot the Bode diagram to get L、 next, plot the magnitude-phase diagram. 作法：可先作伯德图得L、 ，再作对数幅相图 L()()2010-90-180856.5.3 Plot the Bode diagram6.5.3 Plot the Bode diagram绘制Bode图的步骤： 1. 将整理成典型环节乘积形式； 2. 找出各环节的转角频率，并从大到小排列； 3. 画L
35、渐近线，从左至右，每遇一个转角频率便改变斜率，如遇一阶惯性 则dBdec，遇 ，为4dBdec。 2222ss864. 画精确曲线：即在转角频率处对渐近线修正对一阶环节：在转角频率处-3db，在左右一倍频处-1db。 对二阶环节按图5-1修正5. 计算相频特性值： 取若干点，N。计算各i值 i ：分子因式相角和; :分母因式相角和6. 连接各i，描成曲线。87例1 : 绘制如图所示单位反馈系统伯德图，其中K=500 )1004ss)(20s ( s)2s (K2-RC解：将传函写成伯德（时间常数）形式)/)(/()/()(100s1004s120s1s2s10.5sGH2Step 1: 计算转
36、折频率 20:20/s1; 2:2/s1bb低频段： s5.088确定二阶环节的阻尼比和无阻尼振荡频率0.2 10 reveals100s1004s1ss21n22n2n,:Step2: 确定绘制伯德图的频率范围. 由此的，本系统中的转折频率点为: 2rad/s,10rad/s, 和 20rad/s. 另赠益 环节为6db0520lg0Kdb.10001010010110.*.Step3: 绘制各典型环节的幅频特性渐进线8910-1100101102103-40-20-6020401 rad/s (积分)2 rad/s (一阶比例微分)10 rad/s (二阶振荡环节) 20 rad/s (
37、惯性环节)Gain 0.5 (-6db)Step 4: 典型环节综合+20db/dec-20db/dec-40db/dec-20db/dec-40db/dec-60db/decStep5：绘制修正点90Step6：完成幅频特性曲线Step8：相频特性合成-60-40-20-60142040Magnitude (dB)Bode Diagram7db 3db 10-1100101102103-300-200-1000Step7: 绘制相频特性渐进线91例2 :绘制下列开环传递函数伯德图1sH s1ss110sG21)(,)()()(解：传递函数由一个比例，一个比例微分，一个惯性和一个积分环节组成.
38、 Step1: 计算转折频率点计算转折频率点：系统转折频率点如下 s/rad 2:s11rad/s 1:s1b21b低频段： s1092Step 2: 确定绘制频率范围确定绘制频率范围. 所有的频率点位于1-10rad之间，故绘制范围为10010.Step： 绘制幅频特性渐进线绘制幅频特性渐进线. 10-210-1100101102-40-2002040w10 1/s 1/(1+1/2s) (1+s) 93Step 4:将所有渐进线相加将所有渐进线相加. 10-210-1100101102-40-2002040w10 1/s 1/(1+1/2s) (1+s) 94Step 5：绘制修正点绘制修
39、正点 10-210-1100101102-40-2002040w10 1/s 1/(1+1/2s) (1+s) Step 6：完成幅频特性曲线的绘制完成幅频特性曲线的绘制95Step 7：绘制相频特性渐进线绘制相频特性渐进线. 10-210-1100101102-90-4504590w10 1/s 1/(1+1/2s) (1+s) Step 8：相频特性曲线合成：相频特性曲线合成G(s)9610-210-1100101102-90-4504590w10-210-1100101102-40-2002040w97例题3：绘制 的对数曲线。)100s4s)(1s(s)15s(2000)s(G22 解
40、：)1s251100s)(1s(s)15s(20)s(G22 对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1 5 10 斜率： -40 0 -40修正值： db14. 8L,59. 9,10, 2 . 0mrn 对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。环节角度：0 1 5 10 o7 .78 o3 .84 1tgo0o45 o90 o6 .22o8 .126 2 .0tg21o0o90o180211004tg o0o3.2 o15 o90 o180 o90 o90 o90 o90 o90 s1开环对数曲线的计算981101000db20db40db-20db-40dbL()5-90-180对
41、数幅频：低频段：20/s 转折频率：1 5 10 斜率： -40 0 -40修正值： db14. 8L,59. 9,10, 2 . 0mrn -114.7-93.7-137.5开环对数曲线的绘制992）转角频率3）画渐近线 从环节至环节4）修正曲线 在转角频率处-3db5）计算 画， 如1=-210 例4：) 110)(12() 15 . 0(10)()(sssssHsG求Bode图。解： 1） ) 15 . 0(1211101110)()(jjjjjHjG，：2501000)1(.T100 .1 .2 .5 1 2 5 10-180-20020-90-270L() (db) () .1 .2
42、 .5 1 2 5 10 - 40db/dec40- 20db/dec- 60db/dec- 40db/dec1016.5.4 Minimum phase system (最小相位系统最小相位系统) and non-minimum phase system(非最小相位系统）非最小相位系统） Definition（定义）： 最小相位系统最小相位系统开环传函零极点不在右半平面。开环传函零极点不在右半平面。 非最小相位系统非最小相位系统 有开环传函零极点在右半平面。有开环传函零极点在右半平面。 之所以称最小相位系统，顾名思义相位变化最小。之所以称最小相位系统，顾名思义相位变化最小。例： 两者幅频特性
43、相同，但相频特性不同。011)(011)(2112221121TTsTsTsGTTsTsTsG102-9000-180L() (db) () L1=L21() 2()11T21T103对于最小相位系统的判别看开环零极点；看时 相角极限 若 则为最小相位系统，否若则为非最小相位系统。上例：)90)(0)(mnjG)90)(180)()90)(0)(21mnjGmnjG 含延迟环节的系统是典型非最小相位系统。 非最小相位系统含有较大相位滞后，很难控制。所以非最小相位系统是我们所不期望的。但是计算机控制系统常常是非最小相位系统，使我们不得不面对它。1046.6 Bode Diagram Analys
44、is for the Control system (控制系统的伯德图分析控制系统的伯德图分析) 6.6.1 Stability, Gain and Phase Margins6.6.1 Stability, Gain and Phase Margins ( (控制系统相对稳定性及其判别控制系统相对稳定性及其判别) ) 劳斯判别，奈氏判据只能判别系统的绝对稳定性，实际中需要知道稳定的深 度 相对稳定性(relative stability)。 一般要求系统不但绝对稳定而且有一定的稳定裕量。 稳定裕量常用 表达 用奈氏图和伯德图均可看出两种裕量，Bode图更直观。增益稳定裕量相位稳定裕量105相
45、位裕量相位裕量Phase Margin (PM)(180)180()(ccPMc 剪切频率，截止频率，增益穿越频率(Gain crossover point) 奈氏图中与单位圆G的交点 伯德图中与L的交点 增益裕量增益裕量Gain Margin(GM)180)()()()()(lg20)()(1ggggbgggbgggjHjGpoint crossover phaseKjHjGGMjHjGKGM）（相位穿越频率106 GM，PM常作为控制系统的频域设计指标。 GM，PM大表明相对稳定性好,但响应速度低。 GM，PM小表明相对稳定性差,但响应速度高。 过大或过小都不好，较好的经验值为： GM和P
46、M分别定义，所以两者间无固定的比例关系 ，PM大未必GM大 ，PM小未必 GM小 ，有时恒有GM= ，如有些惯性环节 ；有时没有PM值，如迟延环节。)(66030dbKGMPMbg107奈氏图伯德图稳定闭环系统的GM和PMcPMPM0cGMb0PMgjImReL()()0-1800Kg11gK1108奈氏图伯德图不稳定闭环系统的GM和PMcPMPM0cGMb0PMgjImReL()()0-1800Kg1M0PM0GMb0稳定不稳定1506.7.7 尼科尔斯尼科尔斯(Nichols)图图1、 尼科尔斯(Nichols)图的概念 将奈氏图中的等M图和等N图变换到对数幅相图则得到尼科尔斯图 等M圆的
47、变换：01cos121)sin(1cossincos222222222222MMMMAAMMAMMAMAIAR整理得：圆方程：，代入等，设1511cos1cos122222222MMMMMMA最后得M圆在对数幅相图上的规迹方程求解得：1cos1cos1lg20lg20)(22222222MMMMMMAL 以M为参变量，令=0-180可得等M圆在对数幅相的曲线簇。152 等N圆的变换：类似等M圆的变换可推得sin)sin(lg20lg20sin)sin(0sinsincoscos2222AAtgAAAA所以整理得： 以 为参变量，令=0-180可得等N圆在对数相的曲线簇。1532、尼氏图的应用
48、将对数幅相图叠在尼氏图上，通过相交点容易求出闭环系统频率特性的幅值和相角，通过相切点可求得谐振峰值和谐振频率。 举例：求单位反馈系统的闭环频率特性。154，则有设开环传递函数) 15 . 0)(1(1)(ssssGO pen-Loop P has e (deg)Open-Loop Gain (dB)Nic hols Charts-350-300-250-200-150-100-50-150-100-50050 -40 dB-20 dB-12 dB-6 dB-3 dB-1 dB0 dB0.25 dB0.5 dB1 dB3 dB6 dB6 dB3 dB1 dB0.5 dB0.25 dB0 dB-1
49、 dB-3 dB-6 dB-12 dB-20 dB-40 dB-60 dB-80 dB-100 dB-120 dB-140 dB-160 dB-180 dB155 .1 .2 .5 1 2 5 10-90-20-1000-18020lgW(j) (db) W(j) .1 .2 .5 1 2 5 10 Mr=5(db)r=0.8156对数幅相图图示法：作法：可先作伯德图得L，再作对数幅相图。 L()()2010-90-180157 .1 .2 .5 1 2 5 100010209045-45-90L() (db) () 积分 .1 .2 .5 1 2 5 10积分 -20db/dec15810110G ss ss( )()()15910110G ss ss( )()()
