1、1相关数学基础相关数学基础一、实变函数论一、实变函数论二、集合论二、集合论三、函数空间三、函数空间四、四、基底、正交基、双正交基、框架及紧框架基底、正交基、双正交基、框架及紧框架2常用数学知识与符号Rdttytxyx)()(,*的共轭。是)()(*tytyRdtytxtytx)()()()(*内积：内积：卷积：卷积： Fourier变换：变换：)()(ftfRtidtetff),()()(Rtitdeftf),()()(逆变换：逆变换：xxtx,)(范数：3一、一、实变函数论实变函数论起源：起源：十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟，并建立起它的许多分支，形成数学分析数学分析 。 也正
2、是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。 对连续性和连续函数的性质数没有足够清晰的理解 发现了某些函数的奇特性质： 德国数学家提出了一个由级数定义的函数，这个函数 是连续函数，但是这个函数在任何点上都没有导数； 有些函数是连续的但处处不可微； 有的函数的有限导数并不黎曼可积 ； 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数实变函数。4数学分析、实分析、泛函分析数学分析、实分析、泛函分析 数学分析数学分析是基础课，讲极限、积分、微分，都是是基础课，讲极限、积分、微分，都是一些比较基础的理论，积分主要讲黎曼积分，涉及实一些比较基础的理论，积
3、分主要讲黎曼积分，涉及实数、复数等。数、复数等。 实分析（实变函数）实分析（实变函数）讲的是实数域（包括高维）讲的是实数域（包括高维）上的测度与积分，此处的测度积分主要是勒贝格测度上的测度与积分，此处的测度积分主要是勒贝格测度与积分，是一种更广泛的积分。与积分，是一种更广泛的积分。 泛函分析泛函分析是建立在实变函数基础上的高级分析方是建立在实变函数基础上的高级分析方法，研究对象是更广泛的一类函数，可以是函数集合法，研究对象是更广泛的一类函数，可以是函数集合对应函数集合，是现代分析的开始。对应函数集合，是现代分析的开始。 5 实变函数的内容实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数实变函
4、数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论点集论。 点集论点集论是专门研究点所成的集合集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质，如点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等，还要研究分类、结构问题。 实变函数论实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。 实变函数论实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分是数的运算，所以在积分时，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度测度。6二、二、集合论集合论(Set Theor
5、y)起源起源： 集合论集合论是现代数学的基础它的起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究但集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家康托尔康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立的。 康托尔康托尔对具有任意特性的无穷集合进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础因此，康托尔被誉为集合论的创始人但随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在本世纪初，出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论，如著名的罗素罗素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了集合论的发展。7发展
6、：发展： 由此原发许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了各种公理化集合论集合论体系，其中尤以本世纪初、中期的和公理化体系最为流行。 到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得到了关于连续统与选择公理的独立性成果，尔后的研究结果推陈出新，大量涌现。 在同一时代，美国数学家 L . A. Zadeh提出了Fuzzy集集理论, 以及 20世纪80年代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集理论，这两种理论区别于以往的集合论， 是一种新的模糊集理论，受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果。还有多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献。8应用应用： 集合论在计算机科
7、学计算机科学、人工智能领域人工智能领域、逻辑学逻辑学及语言学语言学等方面都有着重要的应用对子从事计算机科学的工作者来说，集合论是不可缺少的理论知识，熟悉和掌握它是十分必要的9集合的定义集合的定义具有某种属性的对象总体具有某种属性的对象总体(通常用大写字母大写字母表示，如A，B等)，这些对象称为其元素元素 (通常用小写字母小写字母表示，如x，y等).x是A的元素记为: x A (读作读作x属于属于A)x不是A的元素记为: x A (读作读作x不属于不属于A)集合的基本特性是，对于给定的集合A，任何对象x, xA与xA中有且只有一个成立。10集合的表示集合的表示（1）列举法列举法 小于10的正奇数
8、集合A=1, 3, 5, 7, 9 正整数集合Z+=1，2，3，.，n，（2）描述法描述法 A=x | x23x+2=0 B=x : x是小于10的正奇数 自然数集: N=0, 1, , N+ =1, 2, 11常用集合常用集合 N：自然数集：自然数集 Z：整数集：整数集 Z+：正整数集：正整数集 R：实数集：实数集 R+：正实数集：正实数集 C：复数集：复数集 Q：有理数集：有理数集表示“存在” 表示表示“对于任意给定的对于任意给定的”12集合中的概念集合中的概念集合相等集合相等：如果两个集合A和B有同样的元素组成， 记作A= B或B=A。子集：子集：如果集合B的元素都是集合A的元素， B叫
9、做A的子集合(简称子集)。 记作 B A (读作B包含于A)， 或 A B (读作A包含B)。空集空集：不含任何元素的集合叫做空集，用符号表示。 在数学的讨论中，常常涉及到的是某个固定集合固定集合的子集，例如，实数的子集。实数的子集。这个固定集合叫做全集全集。一般用E表示。13集合运算集合运算A 集合的并： 集合A和B的并是由A或B的所有元素组成的集合, 记： A B=x | x A或或x B 集合的交： 集合A和B的交是由所有A和B的公共元素组成的 集合, 记： A B=x | x A且且x B 集合的差运算和余(补)运算 由集合A中不在集合B中的元素所组成的集合叫做集合A与集合B的差，记：
10、A-B=x A | x B 全集为U，集合AU, U-A叫做A关于U的补集，当U是公认的时候，简称为A的补集，记：AB A B14 集合运算的性质 交换律 A B= B A； A B= B A 结合律 A (B C)= (A B) C A (B C)= (A B) C 有限集：如果集合A与某个自然数对等，就说A是 有限集。 约定：空集是有限集。 无限集：不是有限集的集合叫做无限集。 可数集：与自然数集自然数集N等势等势的集合叫做可数集。 不可数集：不对等于N的无限集叫做不可数的。等势等势：如果两个集合A和B之间存在双射双射，就说A与 B是对等的或等势的，记做AB。15紧支集紧支集简单地说，函数
11、在一有界区域外恒等于0。16三、三、函数空间函数空间几种重要的函数空间几种重要的函数空间： 距离空间 线性空间 线性赋范空间 Banach空间（巴拿赫） Hibert空间（希尔伯特） 函数空间是从函数空间是从集合集合 X 到到集合集合 Y 的给定种类的函的给定种类的函数的集合。数的集合。它叫做空间是因为在很多应用中，它是拓扑空间或向量空间或这二者。另一种定义：另一种定义：从集合到数域 A（可取为实数域R或复数域C）的一类映射所成的集合（即函数作为点所成集合），并在此集合上赋有一定几何结构。 17 函数空间上的算子理论算子理论一直是泛函分析泛函分析的一个重要课题，它作为数学的一个分支，已经历了相
12、当长的研究历程，并形成了一整套丰富的理论体系。 不同函数空间上的算子算子具有不同的特征，算子性质的研究大体上可以分为有界性、紧性、谱性质、代数性质(如正规性、亚正规性)等几个方面。18例如：例如：取Xf f为定义在a，b上的连续函数，fX，定义ff（t），称之为f的范数，范数是通常长度概念的拓广 ，利用范数可定义X中任何两个元素（或点）之间的距离（f，g）fg，则则X就是一个函数空间就是一个函数空间，在X中可以谈论点列点列（即函数列）的收敛问题：fnX，fX，fnf，当且仅当（fn，f）fnffn （t）f（t）0 。此外，还可在X中规定加法和数乘运算如下 ：f ，gX， IR，则定义（fg）
13、（t）f（t）g（t），（f）（t）f（t），则 X是一个线性空间，事实上X为一完备的线性赋范空间线性赋范空间，即巴拿赫空巴拿赫空间间。常用的函数空间不一定有以上空间那样好的性质，但一般来说为线性拓扑空间线性拓扑空间，空间中的元素不仅满足线性关系，并且线性运算关于拓扑是连续的，有可能研究连续、有界、可微等分析性质。 19 距离空间距离空间 设设X是任一集合是任一集合，x, yX，都对应一个实数(x, y)，而且满足： 1。非负性： (x, y) 0，当且仅当x=y时， (x, y) =0 ； 2。对称性： (x, y) = (y, x)； 3。三角不等式： x, y, zX，有(x, y) (
14、x, z)+ (z, y) ；则称 (x, y)为x和y之间的距离，X为以 (x, y)为距离的距离空间。20常常用用的的距距离离空空间间. 43. 平方可积平方可积函数空间函数空间L2(R)（能量有限空间）,. 2lbaC平方可和离散序列空间平方可和离散序列空间 l 2 222/1222)(,)()(),()(: )()(RLyxdttytxyxdttxtxRLRR定义距离,;,)()(max),(,)(: )(,baCyxbattytxyxbatxtxbaC定义距离上的连续函数是连续函数空间连续函数空间. 1 nRn维欧氏空间维欧氏空间22/11221212,)(),(: ),(lyxyx
15、yxxxxxxliiiiin定义距离LL2/12121)(),(,.),(yxyxRyxxxxxnniiinn定义距离的全体所组成的集合维向量L213. 平方可积平方可积函数空间函数空间L2(R)（能量有限空间）它是定义在整个实数轴R上的满足：dxxf2)(的可测函数f(x)的全体。 工程上常常说成是工程上常常说成是能量有限能量有限的全体信号的空间的全体信号的空间。也就是说，远离原点的地方衰减的比较快的那些也就是说，远离原点的地方衰减的比较快的那些函数或信号构成的空间。函数或信号构成的空间。22来定义其长度。量，用范数对于线性空间的任一向结合律及分配律。并且满足加法或数乘的运算），素的加法和元
16、素的数乘中定义了线性运算（元是任一非空集合，在设xXX线性赋范空间线性赋范空间xyyxyxyxXyxxxRxxxxXxX),(,. 3,. 200, 0. 1,距离定义为时，当且仅当与之对应，满足存在非负实数为一线性空间，设 Banach空间空间空间。为完备的线性赋范空间称该空间为完备的。中，都在都有极限，并且此极限中的任一序列设空间BanachXxXZii线性空间线性空间23 Hilbert空间空间空间完备的内积空间称为，距离范数称为内积空间。中的内积，为称时当且仅当满足：，中定义了函数到，从为复数域上的线性空间设HilbertyxyxyxxxxXXxxxxxzyzxzyxCzyyxXzyx
17、CXXX,),(,. 0,0, 0,. 3,. 2,. 1,24关于Hilbert空间定理定理1122,. 4,. 3. 2.1, 2 , 1;), 2 , 1(nnnnnnnneexxXxexxXxXMXenespanMHilbertne的完全标准正交系是则四个条件等价空间的标准正交系，为设LL1)(),()(nnnetetxtxParseval的形式：表示为一个付里叶级数空间的任意元素均可以一种正交系，则的本质联系。只要找到定理和付里叶展开之间完全标准正交系、25四、四、基底、正交基、双正交基、框架及紧框架基底、正交基、双正交基、框架及紧框架kkkkkkkkktatgXtgtXZkRatt
18、aXt）（，有对于张成的线性空间为由函数序列称；为一函数序列，设1)()(:)(:)(,| )()()(tkkkkkatatgXtg是唯一的，其中，均有且对)()()(（2）基底）基底 若上面(1)中 的各是线性无关的，则称 是线性空间线性空间X的一个基底一个基底。（1）函数序列张成的空间)(tk)(tspanXk26(3) 标准标准正交基正交基(4) 完全完全标准标准正交基正交基 若线性空间X中的元素 满足：)(tk则称 若线性空间X中的一组标准正交基。标准正交基。)(tknmnmnmttnm10)()(),()(tk 若X中不再存在非零向量，使其与所有 正交，则 称 为X中的完全完全标准正
19、交基。标准正交基。)(tk等价于等价于：)()(),()()(1tttxtxXtxkkk，对（2）27L2(R)空间的正交分解和变换空间的正交分解和变换 对f(t)L2(R)，存在L2(R) 的一组标准正交基标准正交基gi(t)， t R，i=1,2,使得其中1)()(iiitgctf(1.3)内积符号dttgtftgtfciii)()()(),(Zlkdttgtgtgtgkllklk,)()()(),(，28（5）双正交基双正交基)(tk)(),(nmnmtt)(tk 有时基底 之间仅仅是线性无关线性无关，但不一定不一定满足正交关系满足正交关系，引入对偶基概念 ，满足： 由于正交性体现在展开
20、系展开系和对偶系对偶系之间，故称这种基为双双正交基正交基。)()(),()(1tttxtxkkk)(tk)(tk其中， 由 获得，但不一定唯一，则对 ，仍有：Xx（3）29（6）框架及紧框架）框架及紧框架)(tk)(tk)()(),()(1tttxtxkkk则称 为函数空间X的一个框架框架。 如果函数序列 是线性线性相关相关的的，函数空间函数空间X中的元素 也能够展开为也能够展开为：Xx 为了使框架下的展开系数 能够很好表述原信号x(t)，引入如下框架的定义引入如下框架的定义：)(),(ttxk30定义：定义：222,xBxxAZkk由此式可推得：如果A=B称此框架为紧框架紧框架，则：称为一个
21、框架框架，称A，B分别框架的上、下界。 H为一个Hilbert空间， 为H中的一个函数序列， ，使得下述不等式成立：Zkkt)(BAHx0,存在22,xAxZkk)(tkZkkkxAx,131一个紧框架紧框架例子VvvvvvvveVCvvVeeeCHjj232321232123,),()21,23(),21,23(),1 , 0(,2221221221223122213212有即二维向量空间，取），（），（011021ee321,eee二维空间完全标准正交基：二维空间完全标准正交基：e1e2e3 线性相关且不正交。线性相关且不正交。A=B=3/2，所以，所以构成二维向量空间的一个构成二维向量空间的一个紧框架。紧框架。321,eee32函数空间与变换函数空间与变换 对于给定信号x(t)，关键是选择合适的基i(t) ，使得x(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性； 但如果某一个基不满足要求，可通过变换变换将函数函数转换到另一个基基下表示，才能得到我们需要的函数表示； 常用的变换有： (1) K-L变换； (2) Walsh变换 (3) 傅立叶变换； (4) 小波变换 在信号处理中，有两类非常重要的变换： （1）傅立叶变换 （2）
