1、常微分方程常微分方程1ppt课件 常微分方程课程简介常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、
2、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗2ppt课件传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究应的常微分方程描述的数学模型的研究. 因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。科学的各个领域。 3ppt课件 教材及参考资料教材及参考资料教教
3、 材：材：常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社。参考书目：参考书目： 1. 常微分方程，(第二版）， 王高雄等编（中山大学), 高教出版社。 2. 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 3. 常微分方程教程，丁同仁（北京大学), ，高教出版社。 4. 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 5. 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 6.常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。4ppt课件 第一章 初等积方法 第五章 定性与稳定性理论简介 第三章 一阶线性微分方程组 第二章 基本定理 第四章 n阶线性微分方程第六章 一阶偏微分方程初步 目目 录录5ppt课件
4、300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.第一章第一章 初等积分法初等积分法1.1 微分方程和解第一讲第一讲6ppt课件 一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形
5、成一个微分方程.7ppt课件 一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.8ppt课件例例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时, 在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.dxvxdt 解解: 如图建立坐标系，设x=x(t)为t时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为 9ppt课件 加速度为22d xaxdt 质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F = ma(力力=质
6、量质量加速度加速度)可以列出方程mxkxmg(1.1)10ppt课件其中k 0为阻尼系数，g是重力加速度.(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程(1.1)可化为mxkxmg(1.1)22d xgdt (1.2)将上式对t积分两次得2121( )2x tgtctc (1.3)11ppt课件 一般说来，微分方程微分方程就是联系自变量自变量、未知函数未知函数以及未知函数的某些导数未知函数的某些导数之间的关系式. 如果其中的未知函数只是一个一个自变量的函数，则称为常微分方
7、程常微分方程；如果未知函数是两个两个或两个以上两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程偏微分方程. 本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.12ppt课件(1.4)(1.5) (1.6) (1.7) 例如下面的方程都是常微分方程 2dyxdx2211ydydxx0 xx22()d xxdt20yyy13ppt课件(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程. 在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为(1.8)( , ,)0F x y y 如果在(1.
8、8)中能将 解出，则得到方程 y(1.9)( , )yf x y (1.10)或( , )( , )0M x y dxN x y dy14ppt课件n 阶隐式方程阶隐式方程的一般形式为( )( , ,)0nF x y yy（1.11）n 阶显式方程阶显式方程的一般形式为( )(1)( , ,)nnyf x y yy（1.12） 在方程(1.11)中，如果左端函数F 对未知函数y和它的各阶导数y,y, , y (n)的全体而言是一次的，则称为线性常微线性常微分方程分方程，否则称它为非线性常微分方程非线性常微分方程. 这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式： ( )(
9、1)11( )( )( )( )nnnnyP x yPx yP x yf x（1.13）15ppt课件 显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.(1.4)(1.5) (1.6) (1.7) 2dyxdx2211ydydxx0 xx22()d xxdt20yyy16ppt课件通解与特解通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下. 定义定义1.1 设函数 在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把 代入方程(1.11)，得到在区间I上关于x的恒等式，则称 为方程(1.1
10、1)在区间I上的一个解.( )yx( )yx( )yx( )( , ,)0nF x y yy（1.11）这样，从定义1.1可以直接验证： 1. 函数y = x2+C是方程(1.4)在区间(-，+)上的解，其中C是任意的常数.(1.4)2dyxdx 2. 函数y= sin(arcsinx+C) 是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y =1,这两个解不包含在上述解中.(1.5) 2211ydydxx17ppt课件 3. 函数 x=C1cost+C2sint 是方程 (1.6) 在区间(-，+)上的解，其中C1, C2是独立的任意常数. (
11、1.6) 0 xx22()d xxdt 4. 函数 y2=C1x+C2是方程(1.7)在区间(-，+)上的解，其中C1, C2和是独立的任意常数.(1.7) 20yyy 这里，我们仅验证3，其余留给读者完成. 事实上，在(-，+)上有12sincosxCtCt 12cossinxCtCt 所以在（，）上有0 xx从而该函数是方程(1.6)的解.Q. E. D.18ppt课件 从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数. 我们把n阶常微分方程(1.11)的含有n个独立的任意常数C1，C2，Cn的解 ，
12、称为该方程的通解通解，如果方程(1.11)的解不包含任意常数，则称它为特解特解. 由隐式表出的通解称为通积分通积分，而由隐式表出的特解称为特积分特积分. ( )( , ,)0nF x y yy（1.11）19ppt课件 由上面的定义，不难看出，函数y = x2+C、 y= sin(arcsinx+C)和x=C1cost+C2sint分别是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函数y2=C1x+C2是方程(1.7)的通积分，而函数y =1是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件初始值条件，或简称初值条件初值条件.(1.4
13、)(1.5) (1.6) (1.7) 2dyxdx2211ydydxx0 xx20yyy20ppt课件例 1中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解，由于C1 和C2是两个任意常数，这表明方程(1.2)有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示.初值问题初值问题22d xgdt (1.2)2121( )2x tgtctc (1.3)21ppt课件 而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态.推得 因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一个自由落体的运动
14、规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即2121( )2x tgtctc 10cv2cH于是，得到满足上述初值条件的特解为初始位置x(0)= H ，初始速度 代入到通解中，0(0)xv201( )2x tHgtv t(1.14)22ppt课件它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律. 求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值初值问题问题. 于是我们称(1.14)是初值问题220(0)(0)d xdtgxHxv 的解。23ppt课件其中x0是自变量的某个取定值，而是相
15、应的未知函数及导数的给定值.方程(1.12)的初值问题常记为对于一个n 阶方程，初值条件的一般提法是(1.15)(1)(1)000000(),(),()nny xyy xyyxy(1)000,nyyy (1.16)( )(1)(1)(1)000000( , ,)(),(),()nnnnyf x y yyy xyy xyyxy初值问题也常称为柯西柯西（Cauchy）问题问题.24ppt课件 对于一阶方程，若已求出通 ，只要把初值条件 代入通解中，得到方程( ,)yx C00()y xy00(,)yx C从中解出C，设为C0，代入通解，即得满足初值条件的解0( ,)yx C 对于n 阶方程，若已求
16、出通解 后，代入初值条件(1.15)，得到n个方程式12( ,)nyx C CC00120012(1)(1)0012(,)(,)(,)nnnnnyx C CCyx C CCyx C CC(1.17)25ppt课件1212sincos144cossin144CCCC 如果能从(1.17)式中确定出 ，代回通解，即得所求初值问题的解00012,nCCC00012( ,)nyx CCC例例2 求方程 的满足初值条件0 xx()1, ()144xx 的解.解解: 方程通解为 , 求导数后得12sincosxCtCt将初值条件代入，得到方程组12cossinxCtCt( (教材上印刷错误教材上印刷错误)
17、 )1202CC特解2 cosxt26ppt课件积分曲线积分曲线 为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.9)的一个特解的图象是xoy平面上的一条曲线，称为方程(1.9)的积分曲线积分曲线，而通解的图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族积分曲线族. 例如，方程(1.4)的通解y=x2+C是xoy平面上的一族抛物曲线.而y=x2是过点(0，0)的一条积分曲线. 以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别. 对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将在第3章详细讨论.(1.4)2dyxdx(1.9
18、)( , )yf x y 27ppt课件初等积分法初等积分法 通过积分求解常微分方程的一种方法，其特点是方程的解可用初等函数以及初等函数的积分形式表示。28ppt课件1. 代入微分方程能使方程成为恒等式的代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为函数称为微分方程的解微分方程的解. ( ),yxIn设在区间上有阶导数( )( , ( ),( ),( )0.nF xxxx2. 微分方程的解的分类：微分方程的解的分类： (1)通解通解: 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意常且任意常数的个数与微分方程的阶数相同数的个数与微分方程的阶数相同.总结总结(2)特解特解: : 确定了通
19、解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .29ppt课件解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象: : 积分曲线族.初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题.00( ,)xxyfx yyy 一阶一阶:过定点的积分曲线过定点的积分曲线;二阶二阶:0000( , ,),x xx xyf x y yyyyy过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.30ppt课件例例3. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x)
20、 , 则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 31ppt课件32ppt课件1.2 变量分离方程变量分离方程yxyedxdy122yxdxdy先看例子：先看例子：xyeyecos(1)sin0 xydxeydy1cos1sinxdyydxey 第二讲第二讲33ppt课件定义1形如( ) ( )(1.18)dyf x g ydx的方程,称为变量分离方程变量分离方程. .( ), ( ),( ),( ),.iif x g y M x N
21、yx y这里分别是的连续函数),(yxFdxdy或1122( )( )( )( )0(1.19)M x N y dxMx Ny dy34ppt课件解法解法,10分离变量( ),( )dyf x dxg y这样变量就“分离”开了.( )(*)( )dyf x dxcg y的某一原函数)(1y的某一原函数)(xf(*)( , )(1.18).yx c由所确定的函数就为的解( ) ( )(1.18)dyf x g ydx两边积分得02( )0,(1.18)g y 当时 将写成35ppt课件0000,()0,(2.1),3yg yyy若存在使则也是的解(1.18),.可能它不包含在方程的通解中 必须予
22、以补上例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解当当y0时，时，分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy21ln yxc2.xyce为所求通解2lnlnxec2ln,xce0c 2,xyce让让c可取负值，则可取负值，则36ppt课件., 0应补上这个解未包含在通解中此外还有解 yQ. E. F.例2求微分方程)101 (yydxdy的所有解.解:(1)0(1),1010yyyy当时，方程两边同除以再积分1)101 (cdxyydy积分得:110lncxyy37ppt课件得再将常数记为从上式中解出,cy,110 xcey. 0c,100,
23、 0)101 (yyyy和求出方程的所有解为由故方程的所有解为:10,1xycce为任意常数. 0y和110lncxyyQ. E. F.38ppt课件例3.1)0(cos2的特解求初值问题yxydxdy解:，xydxdy的通解先求方程cos2得将变量分离时当,0yxdxydycos2两边积分得:,sin1cxy因而通解为:,sin1cxy.为任意常数其中c.,0得到的且不能在通解中取适当也是方程的解此外cy 再求初值问题的通解,1,1)0(cy得代入通解以所以所求的特解为:.sin111sin1xxyQ. E. F.39ppt课件1.2.1 显式变量可分离方程的解法显式变量可分离方程的解法 1
24、. 在方程(1.18)中，假设g(y)是常数，不妨设g(y)=1.此时方程(1.18)变为( )(1.20)dyf xdx 设f(x)在区间(a, b)上连续，那么，求方程(1.20)的解就成为求f(x)的原函数(不定积分)的问题.于是由积分上限所确定的函数0( )(1.21)xxyf x dxC或( )(1.21)yf x dxC变量可分离方程的解法之理论变量可分离方程的解法之理论40ppt课件就是方程(1.20)的通解，其中C是一个任意常数，x0(a, b)是一个固定数， x(a, b)是自变量.2. 假设g(y)不是常数，仍设f(x)在区间(a,b)上连续，而g(y) 在区间上连续.(
25、,) 若 y=y(x) 是方程(1.18)的任意一个解，且满足y(x0)=y0，则由解的定义，有恒等式( )( ) ( ( )(1.22(), )xady xf x gdxby x 假设g(y)0，于是可用分离变量法分离变量法把方程写成( )( )(1.23)( ( )( , )dy xf x dxxa bg y x 41ppt课件将上式两端积分，得到恒等式( )( )(1.23)( ( )( , )dy xf x dxxa bg y x 00( )( )(1.2(4)( ( ), )xxxxdy xf x dxg yxaxb 上面的恒等式表明， 当g(y)0时， 方程 (1.18) 的任意一
26、个解y=y(x) 必定满足下面的隐函数方程隐函数方程00( )(1.25)(),(yxyxdyf xxdxbg ya 反之，若y=y(x)是隐函数方程(1.25)的解，则有恒等式(1.24)成立， 由(1.24)的两边对x求导数，就推出(1.23)成立，从而(1.22)成立，这就表明了隐函数方程(1.25)的解。在具体求解方程时，往往把(1.24)写成不定积分形式.( )(1.26)( )dyf x dxCg y 42ppt课件 由上面的证明可知， 当g(y)0时， 微分方程(1.18)与隐函数方程(1.26)是同解方程，即若由(1.26)解出，则它是(1.18)的通解，由于(1.26)是通解
27、的隐式表达式，所以(1.26)亦称为方程(1.18)的通积分通积分。 在求解过程中，对于通积分(1.26)应该尽量把它演算到底，即用初等函数表达出来，但是，并不勉强从其中求出解的显式表达式. 如果积分不能用初等函数表达出来，此时我们也认为微分方程(1.18)已经解出来了，因为从微分方程求解的意义上讲，留下的是一个积分问题，而不是一个方程问题了。.( )(1.26)( )dyf x dxCg y 43ppt课件3. 若存在y0 ，使g(y0)=0，则易见,，是方程(1.18)的一个解，这样的解称为常数解常数解.y(x)=y01.2.2 微分形式变量可分离方程的解法微分形式变量可分离方程的解法方程
28、1122( )( )( )( )(1.19)Mx Ny dxMx Ny dy 是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，x和y在方程中的地位是“平等”的，即x与y都可以被认为是自变量或函数.。 在求常数解时，若N1(y0)=0 ，则y=y0为方程(1.19)的解.同样，若 M2(x0)=0 ，则x=x0也是方程(1.19)的解.44ppt课件2112( )( )( )( )NyMxdydxNyMx当时 ，用它除方程(1.19)两端，分离变量，得12( )( )0Ny Mx 上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分2112( )( )( )( )NyMxdydxNyMx45ppt课件例例4.
29、 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(yQ. E. F.46ppt课件47ppt课件1.3 齐次方程齐次方程第三讲第三讲48ppt课件可化为变量分离方程类型可化为变量分离方程类型（I）齐次方程( )dyygdxx111222,a xb ycdyfdxa xb yc的方程（II）形如111222,.a b c a b c其中为任意常数49ppt课件(1.9)( , )yf x y 1.3.1 齐次型方程的解法齐次型方程的解法 如果一阶显式
30、方程(1.9)的右端函数f(x, y)可以改写为 的函数 ，那么称方程(1.9)为一阶齐次一阶齐次微分方程微分方程。yx( )ygx下列方程哪些是齐次方程？ (1) 220 xyyyx是齐次方程是齐次方程 22yyxdydxx2( )1dyyydxxx一阶齐次微分方程可以写为( )dyygdxx(1.27)50ppt课件 (2) 2211x yy不是齐次方程不是齐次方程 2211dyydxx (3) 22()0 xydxxydy是齐次方程是齐次方程 22dyxydxxydyxydxyx (4) (24)(1)0 xydxxydy不是齐次方程不是齐次方程 241dyxydxxy 51ppt课件
31、方程(1.27)的特点是它的右端是一个以 为变元的函数，经过如下的变量变换，它能化为变量可经过如下的变量变换，它能化为变量可分离方程分离方程.yx( )dyygdxx(1.27)作变量代换作变量代换,xyu ,xuy 即即,dxduxudxdy 代入代入(1.27)式，得式，得( ),duuxg udx可分离变量的方程可分离变量的方程( )dug uudxx即(1.28)52ppt课件方程(1.28)是一个 变量可分离方程，当g(u)u0 时,分离变量并积分，得到它的通积分( )dug uudxx(1.28)( )dudxg uux1lnlnxC1ln C x(1.29)或( )1dug uu
32、C xe即( )uxCe其中( ),( )duug uu11CC53ppt课件以 代入，得到原方程(1.27)的通积分yux( )uxCe( )dyygdxx(1.27)()yxxCe,0u 若若, 0)(00 uuf使使0,uu则是新方程(1.28)的解(1.27),代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解下面看几个例子。54ppt课件例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xCxysin( 当 C
33、 = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )0C此处Q. E. F.55ppt课件例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu当u2-u0时，分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux )1(yCxyx)(C 为任意常数)56ppt课件当u2-u=0，即0,1u 以 代入，得到原方程的解yux0,y yxQ. E. F.57ppt课件例例 3 3 求解微分方程求解微分方程.2222xyydyyxyxdx 解解2222yxyxxyydxdy ,
34、1222 xyxyxyxy,xyu 令令,yuxu则,1222uuuuuxu 232321uuuxuuu 22(32)1u uuuu 2(1)(2)1u uuuu 58ppt课件,1122)121(21xdxduuuuu ,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy Q. E. F.2(1)(2)1u uuxuuu 59ppt课件(1.9)( , )yf x y 0(,)( , )( , )fxyf x yf x y下面我们说明零次齐次函数具有此性质. 现在我们的问题是：在一般情况下，如何判断方程(1.
35、9)是齐次方程呢? 这相当于考虑，什么样的二元函数f(x, y)能化成形状为 的函数.( )ygx 所谓 f(x, y) 对于变元x和y是零次齐次式，是指对于任意0的常数，有恒等式因此，令 ，则有1x11( , )(,)(1,)( )yyf x yfxyfgxxxx60ppt课件因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数f(x, y)是一个关于变元x，y的零次齐次式. 例例2222yxyxxyydxdy 2222( , )yxyf x yxxyy2222()()()(,)()()()()yxyfxyxxyy2222yxyxxyy( , )f x y是齐次方程是齐次方程Q. E. F
36、.61ppt课件1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程第二类可化为变量可分离的方程形如111222a xb ycdyfdxa xb yc(1.30)的方程是第二类可化为变量可分离的方程，其中22120.cc 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不是零次齐次函数，然而函数1122a xb yfa xb y(1.31)则为零次齐次函数.事实上，我们有62ppt课件11112222( )yaba xb yyxffgya xb yxabxyxyxdxdy 解解xyxydxdy 11令令xyu 则则dxduxudxdy 代入化简代入化简 并分离变量并分离变量dxxduuu1112 两边积分两
37、边积分cxuulnln)1ln(21arctan2 换回原变量换回原变量cxxyxylnln)1ln(21arctan22 或或22arctanyxcexy 例例4. 解方程解方程Q. E. F.63ppt课件 下面我们将通过变量变换把(1.30)中的C1及C2消去，将方程(1.30)的右端函数化成(1.31)的形式，从而把方程(1.30)化成齐次方程.分两种情况讨论1201210aabb 的情形 在这个情形， 行列式的所有元素等于零，这时方程(1.30) 成为12cdyfdxc(1.32)1 22 1aba b64ppt课件两边积分得到方程的解12cyfxCca2=b2=0， c20，这时方
38、程(1.30)成为1112a xb ycdyfdxc111121azcdzfb dxbc代入上式，得 令11,za xb y则11,dzdyabdxdx于是 1111,adydzdxb dxb1112zcdzab fdxc这是一个可分离变量的方程这是一个可分离变量的方程。65ppt课件 a2, b2中恰有一个为零，若a20, b2 =0, 由(1.32)知，这时必有b1=0，这时方程(1.30)成为1122a xcdyfdxa xc(1.32)1 22 1aba b111222a xb ycdyfdxa xb yc(1.30)1122a xcyfdxCa xc若a2 =0, b2 0, 由(1
39、.32)知，这时必有a1=0，这时方程(1.30)成为1122b ycdyfdxb yc这是一个可分离变量的方程。这是一个可分离变量的方程。a2, b2都不为零，由(1.32)知，有1122abab66ppt课件111222a xb ycdyfdxa xb yc(1.30)1212,aa bb即代入(1.30)，得221222()a xb ycdyfdxa xb yc代入上式，得 令22,za xb y则22,dzdyabdxdx于是 2221,adydzdxb dxb212221azcdzfb dxbzc1222zcdzab fdxzc这也是一个可分离变量的方程这也是一个可分离变量的方程。6
40、7ppt课件1201220aabb 的情形(,为待定常数), 作变换,xydd, dd ,xy则原方程化为 11d()dabfababc111abc令 0abc1110abc, 解出,11d()dabfab(齐次方程齐次方程) 下面我们将通过变量变换把(1.30)中的C1及C2消去， 将方程(1.30)的右端函数化成(1.31)的形式，从而把方程(1.30)化成齐次方程.68ppt课件,xy将代入求出其解后, 即得原方程(1.30)的解.注：注：上面的作法其实就是解析几何中的坐标平移.当时，直线0a xbyc与直线1110a xb yc相交于一点，将二式联立求得交点(,)，再作坐标平移，就把原
41、点移到(,).又由于在坐标平移变换,xy下有 成立，这样(1.30)就变成齐次方程了.ddddyx69ppt课件例例5. 求解64ddyxyxxy52xy解解:40令1,5,xy1dd1得令601,5 得21dd1uuu积分得uarctan)1(ln221uln C代回原变量, 得原方程的通解:再令 , 得u70ppt课件15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC52xy利用得 C = 1 , 故所求特解为15arctanxy22)5() 1(ln21yx思考思考: 若方程改为 ,64ddyxyxxy如何求解? 提示提示:.zxy令Q. E. F.uarctan)1(ln221u
42、ln C51yuux71ppt课件 注注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.1111122222()( )a xb ycabdydffgdxa xb ycdab Y此外,诸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 72ppt课件以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(变量分离方程均可适当变量变换化为些类型的方程等一次数可以不相同的齐次函数为其中yxNM例例6求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.【分析分析】0)()(22dyyxxdxxyy(1)
43、(1)0yxy dxxxy dyxyu 73ppt课件解解:,xyu 令ydxxdydu则代入方程并整理得0)(1 ()1 (udxxduudxuu即0)1 (22duuxdxu分离变量后得xdxduuu212两边积分得cxuu2lnln1变量还原得通解为.ln1cyxxyQ. E. F.0)()(22dyyxxdxxyy74ppt课件75ppt课件1.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程0)()()(xcyxbdxdyxa一阶线性微分方程的区间上可写成在0)(xa的连续函数在考虑的区间上是这里假设xxQxP)(),( )0,(1.34)Q x 若则变为(1.35)一阶齐次线称为性方程.( )
44、0,(1.34)Q x 一阶非齐线若则称为性方程.( )( )dyP x yQ xdx(1.34)( )0dyP x ydx(1.35)第四讲第四讲76ppt课件1.4.1 一阶线性非齐次方程的通解一阶线性非齐次方程的通解0)(ddyxPxy1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(1.36) 下面使用常数变易法常数变易法再求线性非齐次方程(1.34)的解.其想法是：当C 为常数时，函数(1.36)的导数，恰等于该函数乘上- p(x),从而(1.36)为齐次 方程(1.35)的解.现在要求非齐次方程(1.34)的解，则需要该函数的导数
45、还 要有一 项等于Q(x) . 为此，联系到乘积导数的公式，可将(1.36)中的常数 C 变易为 函数u(x).77ppt课件对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 78ppt课件例例1. 解方程
46、.) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解. 令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 Q. E. F.79ppt课件例2 求初值问题2341(1)1dyyxdxxy的解.解:3( ),p xx 2( )41Q xx33( )()3lnlnp x dxdxxxx 3( )ln3p x dxxeex33( )lnln33
47、1p x dxxxeeexx80ppt课件所以原方程的通解( )( )( )p x dxp x dxyeQ x edxc3231( (41)xxdx cx( )3p x dxex( )31p x dxex2( )41Q xx321(4ln)2xxcx343ln2xxxcx代入后得将初始条件1) 1 (y32c 故所给初值问题的通解为223ln343xxxxyQ. E. F.81ppt课件例3 求方程22yxydxdy通解.解:，y的线性方程原方程不是未知函数但将它改写为yyxdydx22 2dxxydyy ，yx为自变量的线性方程为未知函数它是以,故其通解为故其通解为( )( )( )p y
48、dyp y dyxeQ y edyc22( ()dydyyyey edyc2( ln),yycc为任意常数Q. E. F.82ppt课件1.4.2 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 83ppt课件例例4 求方程yxxydxdy222的通解.解解:,1,12,Berno
49、ullinn 这是方程代入方程得令,2yz 21dzzxdxx解以上线性方程得)(121cdxexezdxxdxx321xcx:2为代入得所给方程的通解将yz 3221xcxyyxxydxdy22221122dyxyydxxQ. E. F.84ppt课件例例5. 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez 将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Q. E. F.85ppt课件86ppt课件1.5 全微分方程及积分因子全微
50、分方程及积分因子第五讲第五讲87ppt课件 1.5.1 全微分方程全微分方程则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(yxuu dyyudxxudu如果我们恰好碰见了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu88ppt课件则称(1.10)是全微分方程全微分方程或恰当方程，而函数 称为微分式(1.46)的原函数.例如：例如：0 ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf都是全微分方程. )(xyd)(23xyyxd)()(ydygxdxfd1. 全微分方程的定义全微分方程的定义定义定义. 如果微分形式的一阶方程( ,
