1、第四章第四章 导数应用导数应用导 学 固 思. . . 知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求函数的单调性与极值1.认识导数对于研究函数的变化规律的作用2.会用导数的符号来判断函数的单调性3.会利用导数确定函数的极值点和最值点能直观了解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),会求一些实际问题的最大值和最小值,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性在实际问题中的应用1.进一步体会函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型2.联系实际生活和其他学科,进一步体会导数的意义3.从实际情境中抽象出一些基本的用导数刻画的问题,并加以解
2、决导 学 固 思. . . 导数与函数的单调性导数与函数的单调性导 学 固 思. . . 1.探索函数的单调性与导数的关系.2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.导 学 固 思. . . 对于函数y=x3-3x,如何判断单调性呢?你能画出该函数的图像吗?定义法是解决问题的最根本方法,但定义法较繁琐,又不能画出它的图像,那该如何解决呢?导 学 固 思. . . 问题1 增函数和减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 .(如图(1)所示) 如果对于定
3、义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 .(如图(2)所示) 单调增函数单调减函数导 学 固 思. . . 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就说这个函数在这个区间M上具有 ,区间M称为 . 判断函数的单调性有 和 ,图像法是作出函数图像,利用图像找出上升或下降的区间,得出结论.奇函数在两个对称的区间上具有 的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有 的单调性.定义法是利用函数单调性的定义进行判断,通过设变量、作差、变形、定号,得出结论. 作图并观察函数的图像,找出图像上升(或下降)的起点和终点的
4、坐标,从而得出单调递增(或递减)区间. 单调性 图像法定义法问题3单调区间问题2相同相反横导 学 固 思. . . 问题问题4 4 根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某个区间(a,b)内求函数单调区间的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f(x).(3)解不等式f(x)0或f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递 ;如果f(x)0,函数递增;当x(0,1)时,y0,函数递减.2C如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上是减函数,那么a的取值范围是. 【解析】已知函数的图像为开口向上的抛物线,对称轴为x=1-a,若在区间(-,4上是减函数,则
5、1-a4,故a-3.3(-,-3导 学 固 思. . . 4求函数y=x2-x的单调区间.导 学 固 思. . . 求函数的单调性与其导函数正负的关系求函数的单调性与其导函数正负的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.导 学 固 思. . . (续表)导 学 固 思. . . 利用导数求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间已知函数f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间.导 学 固 思. . . 导 学 固 思. . . 已知函数f(x)的导函数f(x)=ax2+bx+c的图像如下图所示,则函数f(x)的图像可能是( ).【解析】由导函数图像可知当x0时,f(
6、x)0”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】函数y=x3,当x=0时,f(0)=0,但y=x3是R上的增函数,故选B.导 学 固 思. . . C(0,1)3.函数y=x-ln x的单调递减区间是. 导 学 固 思. . . 4.若函数y=x3+bx有三个单调区间,求实数b的取值范围.【解析】因为已知函数有三个单调区间,所以y=3x2+b=0有两个不同的实数根,即3x2=-b有两个不同的实数根,得b0,所以实数b的取值范围是(-,0).导 学 固 思. . . 导 学 固 思. . . 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
