1、3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用人教A版选修2-3 第三章2 2定量变量回归分析（画散点图、相关系数r、定量变量回归分析（画散点图、相关系数r、变量 相关指数R 、残差分析）变量 相关指数R 、残差分析）分类变量分类变量研究两个变量的相关关系：定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、 宗教信仰、国籍等等。宗教信仰、国籍等等。两种变量：独立性检验独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心在日常生活中，我们常常关心分类变量之
2、间是否有关系分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。 吸烟与肺癌列联表吸烟与肺癌列联表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟77757775424278177817吸烟吸烟20992099494921482148总计总计98749874919199659965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了地调查了99659965人，得到如下结果（单位：人）人，得到如下结果（单位：人）列联表列联表在不吸烟者中患肺
3、癌的比重是在不吸烟者中患肺癌的比重是 在吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。肺癌的可能性大。0.54%0.54%2.28%2.28%探究探究不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟7775427817吸烟吸烟2099492148总计总计98749199651、列联表通过图形直观判断两个分类变量是否相关：2、等高条形图不吸烟吸烟00.10.20.30.40.50.60.70.80.91不吸烟不吸烟吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例等高条形图更清晰地表达了两种
4、情况下患肺癌的比例。 上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点这需要用统计观点来考察这个问题。来考察这个问题。 现在想要知道能够以多大的把握认为现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关吸烟与患肺癌有关”，为此先假设为此先假设 H0：吸烟与患肺癌没有关系：吸烟与患肺癌没有关系. 用用A表示不吸烟，表示不吸烟，B表示不患肺癌，则表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”等价于等价于“吸烟与患肺癌独立吸烟与患肺癌独立”，即假设
5、，即假设H0等价于等价于 P(AB)=P(A)P(B).不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟aba+b吸烟吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d=n因此因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟aba+b吸烟吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d=nadbc即( )a+bP A,n( )a+cP B,n()aP AB.n()()()a+b+c+d aa+b a+cA表示不吸烟，B表
6、示不患肺癌H0成立时ncanbana(n=a+b+c+d) 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量析，我们构造一个随机变量-卡方统计量卡方统计量22(),()()()()其中为样本容量。n adbcKab cdac bdnabcd（1） 若若 H0成立，即成立，即“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”，则，则K2应很小。应很小。根据表根据表3-7中的数据，利用公式（中的数据，利用公式（1）计算得到）计算得到K2的观测值为：的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？那么这个值到底能告诉我们什么呢？2
7、42 209956.6327817 2148 9874 91k9965(7775 49）（2） 独立性检验独立性检验在在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率成立的情况下，统计学家估算出如下的概率 即在即在H0成立的情况下，成立的情况下，K2的值大于的值大于6.635的概率非常小，近似的概率非常小，近似于于0.01。2(6.635)0.01.P K （2） 也就是说，在也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量成立的情况下，对随机变量K2进行多次观进行多次观测，观测值超过测，观测值超过6.635的频率约为的频率约为0.01。思考 206.635?KH如果，就断定不成立，这种判断出错的可能性有
8、多大答：判断出错的概率为0.01。2009965 7775 4942 209956 6327817 2148 9874 91().kHH 现在观测值太大了，现在观测值太大了，在成立的情况下能够出现这样的观测值的概率不超过0.01，在成立的情况下能够出现这样的观测值的概率不超过0.01，因此我们有99%的把握认为不成立，即有99%的把握认为“吸烟因此我们有99%的把握认为不成立，即有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。与患肺癌有关系”。独立性检验的基本思想（类似独立性检验的基本思想（类似反证法反证法）(1)(1)假设结论不成立假设结论不成立, ,即即 “两个分类变量没有关系两个分类变量没有关
9、系”. .0:H(2)(2)在此假设下我们所构造的随机变量在此假设下我们所构造的随机变量 K K2 2 应该很小应该很小, ,如果由如果由观测数据计算得到观测数据计算得到K K2 2的观测值的观测值k k很大很大, ,则在一定可信程度上则在一定可信程度上说明说明 不成立不成立. .即在一定可信程度上认为即在一定可信程度上认为“两个分类变量有两个分类变量有关系关系”；如果；如果k k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对对 的充分证据。的充分证据。0H0H(3)(3)根据随机变量根据随机变量K K2 2的含义的含义, ,可以通过评价该假设不合理的可以通
10、过评价该假设不合理的程度程度, ,由实际计算出的由实际计算出的k k的值与临界值的值与临界值 比较比较, ,说明假设不说明假设不合理的程度，即说明合理的程度，即说明“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”这一结论成这一结论成立的可信度立的可信度0k上面这种利用随机变量上面这种利用随机变量K2来判断来判断“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的的方法，称为两个分类变量的独立性检验独立性检验。例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病
11、是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？解：根据题目所给数据得到如下列联表：患心脏病患心脏病不患心脏病不患心脏病总计总计秃顶秃顶214175389不秃顶不秃顶4515971048总计总计6657721437 根据联表根据联表1-13中的数据，得到中的数据，得到221437 (214 597 175 451)16.3736.635.389 1048 665 772K所以有所以有99%的把握认为的把握认为“秃顶患心脏病有关秃顶患心脏病有关”。P(K2k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063
12、.8415.0246.6357.87910.828独立性检验的步骤1.提出独立性假设提出独立性假设H0，假设两个分类变量没有关系；，假设两个分类变量没有关系；2.列出列出22列联表列联表,并计算并计算K2的观测值的观测值k; 3.将观测值将观测值k与与临界值临界值k0进行比较，并作出判断进行比较，并作出判断.22n adbcKabcdacbd(1)当当K22.706,有有_的把握判定两个分类变量有关系的把握判定两个分类变量有关系;(2) 当当K23.841,有有_ 的把握判定两个分类变量有关系的把握判定两个分类变量有关系;(3) 当当K26.635,有有_ 的把握判定两个分类变量有关系的把握判
13、定两个分类变量有关系;P(K2k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82890%95%99%课堂练习课堂练习喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300能够有能够有9595的把握认为高中生的性别与是否的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？喜欢数学课程之间有关系吗？ 2014高考辽宁文.18改编题 3.某大学餐饮中心为了了解新生和饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查的的南方学生共80人,其中喜欢吃甜品的有60人;调查的北方学生有20人,其中喜欢吃甜品的有10人.(1)请做出不同地域与是否喜欢甜品的列联表;（1）由题可得如下列联表： （2）
