1、第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式1.1.理解两角差的余弦公式及推导过程；理解两角差的余弦公式及推导过程；3.3.掌握掌握“变角变角”和和“拆角拆角”的方法的方法. .2.2.掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公式进掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公式进行简单三角函数式的化简、求值；行简单三角函数式的化简、求值； 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上. .如图所示如图所示, ,小山高小山高BCBC约为约为3030米，在地平面上有一点米，在地平面上有一点A,A,测得测得A A、C C两点间两点间距
2、离约为距离约为6060米米, ,从从A A观测电视发射塔的视角观测电视发射塔的视角(CAD)(CAD)约为约为4545, CAB=15, CAB=15o o. .求这座电视发射塔的高度求这座电视发射塔的高度. .BDAC6045150,tan6060cos15 ,60sin15 .CDBDBC BDABABBCcos15?sin15?对于对于3030，4545，6060等特殊角的三角函等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出一步求出150150，210210，315315等角的三角等角的三角函数值函数值. .我们希望再引进一些公式，能够求
3、我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据三角恒等变换提供理论依据. .若若 为两个任意角为两个任意角, , 则则 成立吗成立吗? ?，cos()coscos60,30,30) coscos30.令显 然 cos(6060两角差的余弦公式的推导两角差的余弦公式的推导1545 30, cos15 coscos= (45-30).(45-30)=？PP1OxyA AB BC CM如图，设角如图，设角 为锐角，且为锐角，且， ，1PMxPAOP作轴，cos()cossincos cossin sin .OMOB BM
4、OAAP 法一（三角函数线）法一（三角函数线）要获得要获得 的表达式需要哪些已学过的知识？的表达式需要哪些已学过的知识？cos() 涉及涉及 三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的夹角公式的三角函数线或向量的夹角公式. .cossincossinOAOB ，, , ,cos()cos().OA OBOA OB coscossinsin.OA OB BA1-1yxo在单位圆中在单位圆中cos()coscossinsin.法二（向量法）法二（向量法）对于任意对于任意 , , 有有，cos()coscossinsin.称为差角的余弦公式，简记为称为差
5、角的余弦公式，简记为().C 说明：说明： 1.1.公式中两边的符号正好相反公式中两边的符号正好相反. .2.2.公式右边同名三角函数相乘再加减，公式右边同名三角函数相乘再加减， 且余弦在前正且余弦在前正弦在后弦在后. .两角差的余弦公式两角差的余弦公式1.例利用差角余弦公式求cos15的值公式的运用公式的运用 coscoscos45 cos30sin45 sin30解法115（45 -30）=2321222262.411完成本题后，你会求完成本题后，你会求 的值吗？的值吗？coscoscoscos45sin60 sin45解法215（60 -45）=60sin7526sin75cos15.4
6、1232222226.41213452sin,(,),cos,5213cos(). 例已知是第三象限角，求的值cos(),分析要计算应作：哪些准备？24sin,(, ),5231 sin;5 解：由得cos =-cos()coscossinsin35412() ()51351333.65 （）25cos,1312sin1 cos.13 又由是第三象限角，得16先求两角的正、余弦值，再代入差角余弦公式求值先求两角的正、余弦值，再代入差角余弦公式求值. .提升总结提升总结coscossinsincos().公式的逆用公式的逆用: :13coscos()0,252cos . 例4 已知=，=- ，,
7、 求coscos ().拆角思想提：:示13cos0,sin,222解： 由=，得3cos()0,545.由=- ，得sin( + )= coscos ()cos()cossin()sin314334 3.525210 利用差角公式求值时，常常进行角的分拆与组合利用差角公式求值时，常常进行角的分拆与组合. .即公式的变用即公式的变用. .31.).233已知cos = ，2，求cos(5223cos2sin1 cos1 3解：= ，253455cos()coscossinsin3331334 3().2210 34552.cos53 cos23sin53 sin23求值：（1）；cos80 c
8、os35cos10 cos55 .（2）3cos 5323 )cos30.2解：(1)原式(2)cos80 cos35sin80 sin352 cos(8035 )cos45.2 原式5(,).2336125cos()sin().313313解：（0， ），12.cos(),cos.3133 已知为锐角，求coscos()33cos()cossin()sin333312153125 3.13213226cos()coscossinsin1.1.两角差的余弦公式：两角差的余弦公式：2.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时（或正弦）值时, , 要注意该角所在的象限，从而确定要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号该角的三角函数值符号. .3.3.在差角的余弦公式中，在差角的余弦公式中， 既可以是单角，也可以既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，是复角，运用时要注意角的变换，如如 ， 等等. . 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择向和变式形式的选择. .， （）33（）
