1、 线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵矩阵 第三章第三章 向量向量 第四章第四章 线性方程组线性方程组 第五章第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化矩阵的特征值与矩阵的对角化 第六章第六章 二次型二次型 第七章第七章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换 第八章第八章 线性代数应用举例线性代数应用举例 第一章第一章 行列式行列式 本章将从二元、三元线性方程组的解引出二阶及三阶本章将从二元、三元线性方程组的解引出二阶及三阶行列式的概念，然后推广到行列式的概念，然后推广到n阶行列式，最后给出解阶行列式，最后给出解n元线性方程组的克拉默法则元线性方程组的克拉默法则 行行列列式式的的概概念念是是人人们们从
2、从解解线线性性方方程程组组的的需需要要中中建建立立起起来来的的 考考虑虑二二元元线线性性方方程程组组 ,22221211212111bxaxabxaxa (1.1) 这这里里21,bb是是常常数数项项， 下面下面用消元法解此方程组用消元法解此方程组 ija叫叫做做未未知知量量系系数数 下下标标i表表示示它它 在在第第i个个方方程程 下下标标j表表示示它它是是第第 j个个未未知知量量的的系系数数 ,22221211212111bxaxabxaxa (1.1) (第一个方程第一个方程)22a(第二个方程第二个方程) 12a，消去消去2x，得得 类类似似地地，消消去去1x，得得 故故当当021122
3、211aaaa时，时，(1.1)有惟一解有惟一解： 211222111222211aaaaababx， 211222112111122aaaaababx 122221121122211)(ababxaaaa 112211221122211)(ababxaaaa 二二阶阶行行列列式式的的值值是是这这样样两两项项的的代代数数和和： 一一项项是是从从左左上上角角到到右右下下角角的的对对角角线线（又又称称主主对对角角线线）上上两两个个元元素素的的乘乘积积，取取正正号号； 2112221122211211aaaaaaaaD 它含有两行、两列，横写的叫做它含有两行、两列，横写的叫做行行，竖写的叫做，竖写的
4、叫做列列 行列式中数又叫行列式的行列式中数又叫行列式的元素元素 如如21a是是第第 2行行第第 1列列元元素素 D叫叫做做二二阶阶行行列列式式 为为方方便便记记，引引进进记记号号 利用利用二阶行列式二阶行列式，线性方程组线性方程组(1.1)解的结果可写为解的结果可写为： 当当 022211211aaaaD时，时， 方方程程组组(1.1)有有惟惟一一解解： DDx11， DDx22， 其中其中 2221211ababD ， 2211112babaD 当当021122211aaaa时，时，(1.1)有惟一解：有惟一解： 211222111222211aaaaababx， 2112221121111
5、22aaaaababx ,22221211212111bxaxabxaxa (1.1) 解解 因因 2312D 又又 , 723381D .1431822D 例例 1 解解线线性性方方程程组组 . 32, 8322121xxxx 方程组方程组的的惟一解惟一解为为： , 111DDx 222DDx 所以所以方程组有惟一解方程组有惟一解 43 70 ， 利利用用消消元元法法可可知知，当当 , 0312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaD 方程组方程组(1.6)有惟一解：有惟一解： 完全完全类似地类似地，对于三元线性方程组，对于三元
6、线性方程组 ,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa (1.6) ),(13221333212322313221332312332211baaabaaabababaaaabDx ),(13121333211323113211331231332112abaaabbaabaaaababaDx ).(13122132112322113221131212322113aabbaaabaaabababaaDx 为为方方便便记记，我我们们引引进进三三阶阶行行列列式式 它是由九个数排成三行、三列的一个方块，它是由九个数排成三行、三列的一个方块，
7、其其值值是是六六项项的的 代代数数和和， 每每一一项项均均为为不不同同行行不不同同列列的的三三个个元元素素之之积积再再冠冠以以 适当的正负号适当的正负号 312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 例例 211325132D 8 59306228. 当当 0333231232221131211aaaaaaaaaD时，时， 方方程程组组(1.6)有有惟惟一一解解： DDx11， DDx22， DDx33， 其其中中 3332323222131211aabaabaabD ,333
8、3123221131112abaabaabaD,3323122221112113baabaabaaD 利利用用三三阶阶行行列列式式，三三元元线线性性方方程程组组(1.6)解解的的结结果果可可写写为为： 例例 2 解线性方程组解线性方程组 . 423, 1523, 02321321321xxxxxxxxx 解解 因因 , 028231523112D 以上求解线性方程组的方法称为克拉默以上求解线性方程组的方法称为克拉默（Cramer）法则法则 故故方方程程组组有有惟惟一一解解 ,132345211101D ,28231523112D ,472415131022D .214311230123D 方方
9、程程组组的的惟惟一一解解为为： ,28131x28472x，28213x nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 补补充充定定义义一一阶阶行行列列式式为为 1111aa 二二阶阶行行列列式式的的定定义义可可以以表表述述为为： 2112221122211211aaaaaaaaD 下下面面我我们们对对上上述述定定义义的的二二阶阶、三三阶阶行行列列式式做做一一分分析析 21122211aaaa 注注意意 一一阶阶行行列列式式11a就就等等于于11a 三三阶行列式的定义可以表述为：阶行列式的定义可以表述为： 31221333211232231132211331231233221133
10、3231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 3332232211aaaaa 3331232112aaaaa 3231222113aaaaa 2112221122211211aaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3332232211aaaaa 3331232112aaaaa 3231222113aaaaa 它它们们的的规规律律是是：把把该该行行列列式式的的第第一一行行诸诸元元素素分分别别乘乘以以划划去去该该元元素素所所在在的的行行和和列列之之后后剩剩下下的的低低一一阶阶行行列列式式，前前面面冠冠以以正正、负负相相间间
11、的的符符号号，最最后后求求其其代代数数和和 按按照照此此规规律律，利利用用递递归归方方法法可可逐逐次次定定义义四四阶阶行行列列式式、五五阶阶行行列列式式等等等等 n 定定义义 1 一一阶阶行行列列式式定定义义为为 1111aa 当当2n，设设1n阶阶行行列列式式已已经经定定义义， nnnMaMaMa11112121111) 1( (1.9) n 则则n阶阶行行列列式式定定义义为为 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnMaMaMa11112121111) 1( 其其中中), 2 , 1,(njiMij表表示示划
12、划去去行行列列式式D的的第第i行行与与第第j列列后后所所剩剩余余的的1n阶阶行行列列式式 定定义义 2 ijM称称为为元元素素ija的的余余子子式式； ijjiijMA) 1(称称为为元元素素ija的的代代数数余余子子式式 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnMaMaMa11112121111) 1( 1111( 1)njjjjaM njjjAa111 称称上上式式为为行行列列式式按按第第一一行行元元素素的的展展开开式式 11 1112 1211nna Aa Aa A 例例 1 设设 5274001032131021D， 求第一行元素的余子式、代数余子式及求第一行元
13、素的余子式、代数余子式及四阶行列式四阶行列式D 解解 , 452700132111M , 357401031313M , 052400032312M , 227401021314M 2213002)4(1D 4) 1(111111MA， 0) 1(122112MA， 3) 1(133113MA， 2) 1(144114MA， ,411M , 313M , 012M , 214M 5274001032131021D 定理定理 2n时，时， nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 11121211111) 1(nnnMaMaMa 下下面面定定理理给给出出行行列列式式按按第第一一列
14、列元元素素的的展展开开公公式式 证明证明11 1121 2111nna AaAaA (1.10) 解解 根根据据定定义义， nnnnaaaaaaaD32333222111000 nnaaa2211 根根据据本本节节定定理理可可得得 nnnnaaaaaaD000222112112nnaaa2211 特别地，特别地，对角行列式对角行列式 nnddddddD2121000000 解解 根据定义，根据定义，nnnnddddD12121111) 1() 1() 1( nnnddd212) 1() 1( 二、小结二、小结:1、行列式的实质是数值或代数和、行列式的实质是数值或代数和2、 阶行列式是阶行列式是
15、 项的代数和项的代数和.n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积.nn4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆.aa 5、n阶行列式的计算：阶行列式的计算：（1）二、三阶可用主次对角线法）二、三阶可用主次对角线法（四阶及四阶以上对角线法失效）（四阶及四阶以上对角线法失效）（2）n阶行列式可按第一行展开，也可按第一阶行列式可按第一行展开，也可按第一列展开列展开 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211， 行列式行列式TD称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式 性性质质 1
16、 行行列列式式与与它它的的转转置置行行列列式式相相等等，即即TDD 二、二、 行列式的性质行列式的性质证明证明此性质表明：此性质表明：行列式中行与列处于平等地位如果我们证行列式中行与列处于平等地位如果我们证明了行列式有关行的某些性质，则相应性质对列也随之成明了行列式有关行的某些性质，则相应性质对列也随之成立立 nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111 性质性质 2 若行列式的第若行列式的第i行行（ni 1）各元素有公因数各元素有公因数 ，则，则 可提到行列式的记号之外与之相乘可提到行列式的记号之外与之相乘 证明证明推推论论 若若行行列列式式的的某某行行元元素素全全为为零零，则
17、则该该行行列列式式的的值值是是零零 性质性质 3 11111211222nniinniiinnnibcbcaaaaaabc 证明证明121111211112112122iiiniiinnnnnnnnnnnaaaaaaabbbcccaaaaa 性性质质 4 行行列列式式中中如如有有相相邻邻两两行行相相同同，则则值值为为零零 性性质质 5 两行互换，行列式仅改变符号两行互换，行列式仅改变符号 推论推论 2 若行列式的某两行成比例，则行列式的值为零若行列式的某两行成比例，则行列式的值为零 性性质质 6 如如把把行行列列式式的的某某一一行行乘乘以以一一个个常常数数后后加加到到另另一一行行上上 去去，则
18、则行行列列式式的的值值不不变变 证明证明推推论论 若若行行列列式式的的某某行行元元素素全全为为零零，则则该该行行列列式式的的值值是是零零 证明证明推推论论 1 若若行行列列式式的的某某两两行行相相同同，则则行行列列式式的的值值为为零零 证明证明 性性质质 7 行行列列式式可可按按它它的的任任一一行行展展开开即即 nkikikininiiiiAaAaAaAaD12211， ni, 2 , 1 证明证明性性质质 8 行行列列式式某某行行元元素素与与另另一一行行对对应应元元素素的的代代数数余余子子式式乘乘积积之之和和为为零零，即即 nkikjkinjnijijAaAaAaAa122110， jinj
19、i;, 2 , 1, 证明证明 例例 4 计计算算 3351110243152113D 解解 3315112043512131D 72160112064802131 72160112064802131 72160648011202131 72160648011202131 1510001080011202131 108003200112021315 4020003200112021315 在在计计算算具具体体的的数数值值行行列列式式时时，常常采采用用上上例例所所提提供供的的方方法法（化化为为三三角角形形行行列列式式），特特别别在在利利用用计计算算机机来来计计算算行行列列式式的的值值时时，这这更
20、更是是一一个个常常用用的的方方法法 另另外外，若若能能针针对对每每个个行行列列式式的的特特点点，灵灵活活运运用用行行列列式式的的性性质质，则则可可使使其其计计算算大大大大简简化化 例例 5 计算计算 2000111000020101001210111D 解解 按按第第三三列列展展开开，得得 2001110002101012) 1(31D 2001110002101202 201110122) 1(22 2001110002101202 32112) 1(20111010222 化化零零降降阶阶 例例 6 求求n阶阶行行列列式式 abbbabbbaAn 的的值值 解解 将将行行列列式式第第二二行
21、行、第第三三行行、第第n行行都都加加到到第第一一行行，并并提提出出公公因因子子bna) 1( ，就就得得到到 该该行行列列式式的的特特征征是是：主主对对角角线线上上的的元元素素都都是是a，其其余余元元素素都都为为b abbbabbabbnaAn1111) 1( babbbabbna000000001) 1( 1)() 1(nbabna 注意注意 上例中上例中行列式的各列元素之和都是行列式的各列元素之和都是bna) 1( 因因此，在计算时逐次将行列式的第二行、第三行、此，在计算时逐次将行列式的第二行、第三行、 第第n行都加到第一行，则第一行的元素都等于行都加到第一行，则第一行的元素都等于bna)
22、 1( ，再，再把第一行的公因子把第一行的公因子bna) 1( 提出来，就可以把这个行列提出来，就可以把这个行列式化为便于计算的形式式化为便于计算的形式 这这是是行行列列式式计计算算中中一一种种常常用用的的方方法法 例例 7 证明范德蒙证明范德蒙德德（Vandermonde）行列式行列式 nijjinnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxV111312112232221321)(1111， 其中其中 是连乘积的记号是连乘积的记号 证证 采采用用数数学学归归纳纳法法 当当2n时时， 122111xxxx， 等等式式成成立立 设设等等式式对对1n阶阶范范德德蒙蒙德德行行列列式式都都成成立立，
23、往证对往证对n阶范德蒙阶范德蒙德德行列式也成立行列式也成立 从末行起，各行减从末行起，各行减 去前一行的去前一行的1x倍倍 )()()(0)()()(0)()()(00111112132312221213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnnnn 113121122322213211111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxV 22423222242322432113121111)()(nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx 由由归归纳纳假假设设， nijjinnnnnnnxxxxxxxxxxxx
24、xx222423222242322432)(1111， 代入上式，就得到代入上式，就得到 113121122322213211111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxVnijjixx1)( 证毕证毕 例例 8 计计算算n阶阶行行列列式式（递递推推法法） 1221100000100001axaaaaxxxnnnn. 解解 按第一列展开，得按第一列展开，得 nnnax1 这这是是n的的一一个个递递推推公公式式，以以此此逐逐步步递递推推可可得得 nnnnaaxx)(12 nnnax1 nnnaxax122 ,13322nnnnaxaxax 而而 2121221axaxaxax， 故故 nnnn
25、nnaxaxaxax12211 例例 9 设设 3142313150111253D 解解 由行列式按行展开性质，由行列式按行展开性质，14131211AAAA等于用等于用1, 1, 1, 1代替代替D的第一行所得的行列式的第一行所得的行列式, 314231315011111114131211AAAA 4 求求14131211AAAA及及41312111MMMM 41312111MMMM 41312111AAAA 3141313150111251 3142313150111253D 本本节节完完 0010313150111251 311501121 311501501 0 定理定理 2n时，时，
26、 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 11121211111) 1(nnnMaMaMa 证证 采用数学归纳法采用数学归纳法 2n时定理显然成立时定理显然成立 设设定定理理对对1n阶阶行行列列式式成成立立，往往证证对对n阶阶行行列列式式成成立立 记记stijM,表表示示划划去去D的的第第si,两两行行与与第第tj,两两列列后后剩剩下下的的2n阶阶行行列列式式 显显然然ijststijMM, 由由行行列列式式定定义义 nnnMaMaD1111111) 1( njjjjMaMa2111111) 1( (1.11) 由由归归纳纳假假设设，)2(1jMj可可按按第第一一列列展展开开
27、， nnjnjnnnjjnjjjaaaaaaaaaaaaM1,1,131, 31, 33121, 21, 2211 nnnMaMaMaD11112121111) 1( .) 1() 1(21,111,1131,13121,121nkkjkknjnnjjMaMaMaMa 代代入入(1.11)，得得 njnkkjkjkjMaaMa221,1111111) 1( nknjkjjjkkMaaMa221,1111111) 1() 1( (1.12) njnkkjkkjjMaaMaD221,1111111) 1() 1( njjkjjnnnnnkkknkkknkMaaaaaaaaaaaaaM21 , 11
28、32, 13 , 12 , 1, 13 , 12 , 1113121) 1( 又又 nkkkkMaMaD2111111) 1( 代代入入(1.12)，并并利利用用jkkjMM1 , 11,1得得 niiiiMa1111) 1( 证证毕毕 性性质质 1 行行列列式式与与它它的的转转置置行行列列式式相相等等，即即TDD 证证 采用数学归纳法采用数学归纳法 2n时时，显显然然有有 2212211122211211aaaaaaaa 假假设对设对1n阶行列式性质成立，往证对阶行列式性质成立，往证对n阶行列式阶行列式也成立也成立 对对TD用用本本节节定定理理，并并根根据据归归纳纳假假设设有有 nnnnnn
29、TaaaaaaaaaD212221212111 ninnnniniiiniiniiaaaaaaaaaaaaa1321,1,31,21,1,31,21312111)1( niniiiiTiiiDMaMa11111111) 1() 1( 证毕证毕 性性质质 2 若若行行列列式式的的第第i行行（ni 1）各各元元素素有有公公因因数数，则则可可提提到到行行列列式式的的记记号号之之外外与与之之相相乘乘 证证 采用数学归纳法采用数学归纳法 2n时时结结论论显显然然成成立立 假假设对设对1n阶行列式性质成立，往证对阶行列式性质成立，往证对n阶行列式阶行列式也成立也成立 若若1i，则则 nnnnnnaaaaa
30、aaaa212222111211 njjjAa111)( D 若若ni 2，依依照照归归纳纳假假设设 nnnniniinaaaaaaaaa212111211 证毕证毕 njjjDAa111)( 性性质质 3 nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa21221111211nnnniniinnnnniniinaaacccaaaaaabbbaaa212111211212111211 证证 采用数学归纳法采用数学归纳法 2n时时结结论论显显然然成成立立 假假设对设对1n阶行列式性质成立，往证对阶行列式性质成立，往证对n阶行列式阶行列式也成立也成立 若若1i，则则 nnnnnnnaaaaaac
31、bcbcb21222211112121111 njjjnjjjnjjjjAcAbAcb1111111111)( nnnnnnnnnnnnaaaaaacccaaaaaabbb212222111211212222111211 若若ni 2，对余子式用归纳假设，对余子式用归纳假设 nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa21221111211 nknnknknninkikiinkkkkaaaabbbbaaaaa11,1,11,1,121, 21, 22111() 1( )1,1,11,1,121, 21, 221nnknknninkikiinkkaaaaccccaaaa nnnniniin
32、nnnniniinaaacccaaaaaabbbaaa212111211212111211 证毕证毕 性性质质 4 行行列列式式中中如如有有相相邻邻两两行行相相同同，则则值值为为零零 证证 采用数学归纳法采用数学归纳法 对对2n， 01112121112111211aaaaaaaa， 结结论论成成立立 假假设对设对1n阶行列式性质成立，往证对阶行列式性质成立，往证对n阶行列阶行列式也成立式也成立 如如果果相相同同的的两两行行不不是是第第一一行行与与第第二二行行，则则在在展展开开式式(1.9)中中所所有有jM1都都是是具具有有相相邻邻两两行行相相同同的的1n阶阶行行列列式式， nnnnnnaaa
33、aaaaaaD212222111211 nnnMaMaMa11112121111) 1( 由归纳假设每一项等于零，即由归纳假设每一项等于零，即0D； 若若第第一一行行与与第第二二行行相相同同，此此时时在在展展开开式式(1.10)中中)3(1niMi都都是是具具有有相相邻邻两两行行相相同同的的1n阶阶行行列列式式， nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111111111) 1(nnnMaMa 由归纳假设由归纳假设)3(01niMi，而且，而且2111aa，2111MM，所以仍有，所以仍有0D 证毕证毕 性性质质 5 两行互换，行列式仅改变符号两行互换，行列式仅改变符号 证证 只只
34、需需对对相相邻邻两两行行的的情情况况证证明明该该结结论论就就够够了了因因为为任任意意两两行行的的交交换换可可通通过过奇奇数数步步相相邻邻两两行行的的互互换换而而实实现现 设设交交换换D中中的的第第i行行与与第第1i行行下下面面证证明明交交换换前前、后后两两行行列列式式之之和和为为零零根根据据性性质质 3、性性质质 4， nnnniniiniiinnnnnniiiiniinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2121, 12 , 11 , 11121121, 12 , 11 , 12111211 nnnnniiiniiinnnnnniiiiniinaaaaaaaaaaaaaaaaaa
35、aaaaaa21, 12, 11 , 1, 12, 11 , 11121121, 12, 11 , 12111211 nnnniniiiniinnnnniniiniiinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa212121112112121, 12, 11 , 111211 nnnnniiiniiniiiinaaaaaaaaaaaaaaa21, 12 , 11 , 1, 12 , 121 , 1111211 nnnniniiniiniiiinaaaaaaaaaaaaaaa2121, 12 , 121 , 1111211 .021, 12, 121 , 11, 12, 121 , 111
36、1211nnnnniiniiiiniiniiiinaaaaaaaaaaaaaaaaaa 证毕证毕 性性质质 6 如如把把行行列列式式的的某某一一行行乘乘以以一一个个常常数数后后加加到到另另一一行行上上 去去，则则行行列列式式的的值值不不变变 证证 所所谓谓某某行行乘乘以以一一个个常常数数，是是指指用用该该常常数数遍遍乘乘以以该该行行的的各各元元素素；某某行行加加到到另另一一行行上上去去，是是指指该该行行的的各各元元素素相相加加到到另另一一行行的的对对应应元元素素上上去去由由性性质质 3 及及性性质质 5 之之推推论论 2 显显然然可可得得 证证毕毕 性性质质 7 行行列列式式可可按按它它的的任
37、任一一行行展展开开即即 nkikikAaD1， ni, 2 , 1 证证 把把D的的第第i行行（1i）与与在在它它上上面面的的行行逐逐个个交交换换，可可使使它它成成为为第第一一行行，同同时时其其余余行行的的顺顺序序保保持持不不变变，共共作作1i次次相相邻邻行行的的交交换换 根根据据性性质质 5 知知所所得得行行列列式式是是D的的1) 1(i倍倍 按定义展开这个行列式得按定义展开这个行列式得 nkikkikiMaD111) 1() 1(， 则则 nkikiknkikikiknkikikikAaMaMaD111) 1() 1( 证毕证毕 性性质质 8 行行列列式式某某行行元元素素与与另另一一行行对对应应元元素素的的代代数数余余子子式式乘乘积积之之和和为为零零，即即 nkikjkAa10， jinji;, 2 , 1, 证证 由由性性质质 7 及及性性质质 5 之之推推论论 1， .0212121112111行第iaaaaaaaaaaaaAannnnjnjjjnjjnnkikjk 证毕证毕
