1、1、二次函数的定义 定义： y=ax bx c （ a 、 b 、 c 是常数， a 0 ） 定义要点：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式 练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x， y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有_个。 2.当当m_时时,函数函数y=(m+1) - 2+1 是二次函数？是二次函数？mm 22、二次函数的图像及性质抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0,开口向上开口向上a0,开口向下开口向下在对称轴的左侧在
2、对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacyabx44,22最小值为时当abacyabx44,22最大值为时当xy0 xy0例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象
3、的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232(四四)二次函数综合应用二次函数综合应用前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解:（1）a
4、= 0 抛物线的开口向上抛物线的开口向上 y= (x2+2x+1)-2=(x+1)2-2 对称轴对称轴x=-1，顶点坐标，顶点坐标M（-1，-2）121212前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两点，求两点，求C， A，B的坐标。的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解: (2)由由x=0，得，得y= - -抛物线与
5、抛物线与y轴的交点轴的交点C（0，- -） 由由y=0，得，得x2+x- =0 x1=-3 x2=1 与与x轴交点轴交点A（-3，0）B（1，0）32323212前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0 xy(3)连线连线画对称轴画对称轴x=-1确定顶点确定顶点(-
6、1,-2)(0,-)确定与坐标轴的交点确定与坐标轴的交点及对称点及对称点(-3,0)(1,0)3 2前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求）求MAB的周长及面积。的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0M(-1,-2)C(0,-)A(-3,0)B(1,0)3 2yxD ：（4）由对称性可知）由对称性可知MA=MB=22+22=22A
7、B=|x1-x2|=4 MAB的周长的周长=2MA+AB=2 22+4=4 2+4MAB的面积的面积=ABMD=42=41212前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，为何值时，y随的增大而减小，随的增大而减小，x为何值时，为何值时，y有最大有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解解解0 xx=-1(0,-)(-3,0)(1,0
8、)3 2:(5)(-1,-2)当当x=-1时，时，y有最小值为有最小值为y最小值最小值=-2当当x-1时，时，y随随x的增大的增大而减小而减小;前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，为何值时，y0？1232解解:0(-1,-2)(0,-)(-3,0)(1,0)3 2yx由图象可知由图象可知(6) 当当x1时
9、，时，y 0当当-3 x 1时，时，y 0开口向下开口向下a0交点在交点在x轴下方轴下方c0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0 xy、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象如图的图象如图 所示，则所示，则a a、b b、c c的符号为（）的符号为（） A A、a0,c0 Ba0,c0 B、a0,c0a0,c0 C C、a0,b0 Da0,b0 D、a0,b0,c0a0,b0,c0,b0,c=0 Ba0,b0,c=0 B、a0,c=0a0,c=0 C C、a0,b0,c0 Da0,b0,c0,b0,b0,
10、b=0,c0,a0,b=0,c0,0 B0 B、a0,c0,a0,c0,b=0,c0,b=0,c0 D0 D、a0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 0 BACooo练习：练习：熟练掌握熟练掌握a，b， c，与抛物线图象的关系，与抛物线图象的关系(上正、下负）上正、下负）(左同、右异左同、右异) c c4.4.抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象经过原点和的图象经过原点和 二、三、四象限，判断二、三、四象限，判断a a、b b、c c的符号情况：的符号情况： a a 0,b0,b 0,c0,c 0. 0. xyo=6.二次函数二次函数y=ax2+bx
11、+c中，如果中，如果a0，b0，c5、抛物线的平移左加右减，上加下减左加右减，上加下减练习练习二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得到到y=2x2-3的图象；的图象；二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得到个单位可得到y=2(x-3)2的图象。的图象。二次函数二次函数y=2x2的图象先向的图象先向 平移平移 个单位，个单位，再向再向 平移平移 个单位可得到函数个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的的图象。图象。下下3右右3左左1上上2引申：引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2练习：练习：（3）由二次函数）由二次函数
12、y=x2的图象经过如何平移可以的图象经过如何平移可以得到函数得到函数y=x2-5x+6的图象的图象.y=x2-5x+6 41)25(2 xy=x241)25(2 xy6二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与一元二次方程根的情况与b-4ac的关系的关系 我们知道我们知道:代数式代数式b-4ac对于方程的根起着关键对于方程的根起着关键的作用的作用.2422, 1aacbbx有两个不相等的实数根方程时当00,0422acbxaxacb:00,0422有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb.22, 1abx没有实数根方程时当00,0422acbxaxacbw二次函数二次函数y=axb
13、xc的图象和的图象和x轴交点的横坐标，便是对轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程应的一元二次方程axbxc=0的解。w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况: :w(1)(1)有两个交点有两个交点w(2)(2)有一个交点有一个交点w(3)(3)没有交点没有交点二次函数与一元二次方程b2 4ac 0b2 4ac= 0b2 4ac 0若抛物线若抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有交点轴有交点,则则b2 4ac0判别式：判别式：b b2 2-4ac-4ac二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）
14、图象图象一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）的根）的根x xy yO O与与x x轴有两个不轴有两个不同的交点同的交点（x x1 1，0 0）（x x2 2，0 0）有两个不同的有两个不同的解解x=xx=x1 1，x=xx=x2 2b b2 2-4ac-4ac0 0 x xy yO O与与x x轴有唯一个轴有唯一个交点交点)0 ,2(ab有两个相等的有两个相等的解解x1=x2=ab2b b2 2-4ac=0-4ac=0 xyO与与x x轴没有轴没有交点交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac-4ac0 0例例(1)(1)如果关于如果关于x x的一元
15、二次方程的一元二次方程 x x2 2-2x+m-2x+m=0=0有两个相等的有两个相等的实数根实数根, ,则则m=m=, ,此时抛物线此时抛物线 y=xy=x2 2-2x+m-2x+m与与x x轴有轴有 个交点个交点. .(2)(2)已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 28x+c8x+c的顶点在的顶点在 x x轴上轴上, ,则则c=c=. .1116 (3) (3)一元二次方程一元二次方程 3x3x2 2+x-10=0+x-10=0的两个根是的两个根是x x1 1= -2 ,x= -2 ,x2 2=5/3, =5/3, 那么二次函数那么二次函数y= 3xy= 3x2 2+x-10+x-10与
16、与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是. .（-2、0）（）（5/3、0）1.1.已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的的 形状相同形状相同, ,顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上, ,且顶点到且顶点到x x轴的距离轴的距离 为为5,5,请写出满足此条件的抛物线的解析式请写出满足此条件的抛物线的解析式. .解解: :抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形状相同的形状相同 a=1a=1或或-1-1 又又顶点在直线顶点在直线x=1x=1上
17、上, ,且顶点到且顶点到x x轴的距离为轴的距离为5,5, 顶点为顶点为(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5) 所以其解析式为所以其解析式为: : (1) y=(x-1) (1) y=(x-1)2 2+5 (2) y=(x-1)+5 (2) y=(x-1)2 2-5-5 (3) y=-(x-1) (3) y=-(x-1)2 2+5 (4) y=-(x-1)+5 (4) y=-(x-1)2 2-5-57二次函数的综合运用归纳小结：归纳小结： （1）二次函数）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用及抛物线的性质和应用 注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函或函数值数值y的取值范围的取值范围返回返回 （2）a，b，c，的正负与图象的位置关系的正负与图象的位置关系 注意：图象与轴有两个交点注意：图象与轴有两个交点A（x1，0），），B（x2，0）时）时AB=|x2-x1|= (x1+x2)2+4x1 x2= 这一结论及推导过程。这一结论及推导过程。|a|
