1、第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.1向量的概念1.1.向量的定义与表示向量的定义与表示(1)(1)定义定义: :既有既有大小大小又有又有方向方向的量的量. .(2)(2)表示方法表示方法: :几何表示法几何表示法: :用以用以A A为始点为始点, ,以以B B为终点作有向线段为终点作有向线段 . .字母表示法字母表示法: :在印刷时在印刷时, ,通常用加粗的斜体小写字母通常用加粗的斜体小写字母如如a, ,b, ,c、表示向量表示向量, ,在书写时在书写时, ,可写成带箭头的小写可写成带箭头的小写字母如字母如 ,.,.AB abc， ，(3)(3)向量的模向量的模: :向量的大
2、小也称为向量的长度或模向量的大小也称为向量的长度或模, ,如如a, , 的模分别记作的模分别记作| |a|,| |.|,| |.AB AB 【思考思考】(1)(1)定义中的定义中的“大小大小”与与“方向方向”分别描述了向量的哪分别描述了向量的哪方面的特性方面的特性? ?只描述其中一个方面可以吗只描述其中一个方面可以吗? ?提示提示: :向量不仅有大小向量不仅有大小, ,而且有方向而且有方向. .大小是代数特征大小是代数特征, ,方向是几何特征方向是几何特征. .看一个量是否为向量看一个量是否为向量, ,就要看它是否就要看它是否具备了大小和方向两个要素具备了大小和方向两个要素, ,二者缺一不可二
3、者缺一不可. .(2)(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量? ?提示提示: :要准确画出向量要准确画出向量, ,应先确定向量的起点应先确定向量的起点, ,再确定向再确定向量的方向量的方向, ,最后根据向量的大小确定向量的终点最后根据向量的大小确定向量的终点. .2.2.特殊向量特殊向量(1)(1)零向量零向量: :始点和终点相同始点和终点相同的向量称为零向量的向量称为零向量, ,记作记作0. .(2)(2)单位向量单位向量: :长度长度( (或模或模) )为为1 1的向量称为单位向量的向量称为单位向量. .(3)(3)相等向量相等向量:
4、 :大小相等且方向相同的向量称为相等向大小相等且方向相同的向量称为相等向量量. .向量向量a与与b相等相等, ,记作记作a= =b. .(4)(4)平行向量或共线向量平行向量或共线向量: :方向方向相同或相反相同或相反的非零向量的非零向量称为平行向量称为平行向量, ,也称为共线向量也称为共线向量. .向量向量a平行于平行于b, ,记作记作ab. .规定零向量平行于任何向量规定零向量平行于任何向量. .【思考思考】(1)0(1)0与与0相同吗相同吗? ?0是不是没有方向是不是没有方向? ?提示提示: :0 0与与0不同不同,0,0是一个实数是一个实数, ,0是一个向量是一个向量, ,且且|0|=
5、0.|0|=0.0有方向有方向, ,其方向是任意的其方向是任意的. .(2)(2)若若a= =b, ,则两向量在大小与方向上有何关系则两向量在大小与方向上有何关系? ?提示提示: :若若a= =b, ,意味着意味着| |a|=|=|b|,|,且且a a与与b b的方向相同的方向相同. .(3)“(3)“向量平行向量平行”与与“几何中的平行几何中的平行”一样吗一样吗? ?提示提示: :向量平行与几何中的平行不同向量平行与几何中的平行不同, ,向量平行包括基向量平行包括基线重合的情况线重合的情况, ,故也称向量共线故也称向量共线. .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“
6、”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)两个有共同起点两个有共同起点, ,且长度相等的向量且长度相等的向量, ,它们的终点相它们的终点相同同. .( () )(2)(2)任意两个单位向量都相等任意两个单位向量都相等. .( () )(3)(3)平行向量的方向相同或相反平行向量的方向相同或相反. .( () )(4)(4)若若 , ,则则A,B,C,DA,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点四点是平行四边形的四个顶点. .( () ) AB CD 提示提示: :(1)(1). .两个有共同起点两个有共同起点, ,且长度相等的向量且长度相等的向量, ,方向方向不一定相同不一定相同, ,其终点
7、也不一定相同其终点也不一定相同. .(2)(2). .任意两个单位向量只有长度相等任意两个单位向量只有长度相等, ,方向不一定相方向不一定相同同, ,故不一定相等故不一定相等. .(3).(3).由平行向量的定义可知由平行向量的定义可知. .(4)(4). .若若 , ,则则A,B,C,DA,B,C,D也可能落在同一条直线上也可能落在同一条直线上. .AB CD 2.2.下列物理量下列物理量: :质量质量; ;速度速度; ;位移位移; ;力力; ;加速加速度度; ;路程路程; ;密度密度. .其中不是向量的有其中不是向量的有( () )A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.
8、4个个【解析解析】选选C.C.既有大小既有大小, ,又有方向又有方向, ,是向是向量量; ;只有大小只有大小, ,没有方向没有方向, ,不是向量不是向量. .3.3.如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中, ,可以用同一条有向线段表示的可以用同一条有向线段表示的向量是向量是( () )【解析解析】选选B.B.易知易知 . .A.DA BCB.DC ABC.DC BCD.DC DA 和和和和AB DC 类型一向量的概念、零向量与单位向量类型一向量的概念、零向量与单位向量【典例典例】1.(20191.(2019兰州高一检测兰州高一检测) )以下选项中以下选项中, ,都是向都是向量的是量的是
9、( () )A.A.正弦线、海拔正弦线、海拔B.B.质量、摩擦力质量、摩擦力C.C.三角形的边长、体积三角形的边长、体积D.D.余弦线、速度余弦线、速度2.2.给出下列说法给出下列说法: :零向量是没有方向的零向量是没有方向的; ;零向量的长度为零向量的长度为0;0;零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的; ;单位向量的模都相等单位向量的模都相等, ,其中正确的是其中正确的是_(_(填序号填序号).).【思维思维引引】1.1.紧扣向量的定义解答紧扣向量的定义解答. .2.2.紧扣零向量、单位向量的定义解答紧扣零向量、单位向量的定义解答. .【解析解析】1.1.选选D.D.三角函数线、摩擦力、
10、速度既有大小三角函数线、摩擦力、速度既有大小又有方向又有方向, ,是向量是向量; ;海拔、质量、三角形的边长、体积海拔、质量、三角形的边长、体积只有大小没有方向只有大小没有方向, ,不是向量不是向量. .2.2.由零向量的方向是任意的由零向量的方向是任意的, ,知知错误错误, ,正确正确; ;由零向由零向量的定义知量的定义知正确正确; ;由单位向量的模是由单位向量的模是1,1,知知正确正确. .答案答案: :【内化内化悟悟】(1)(1)判定所给量是否为向量需要从哪几个方面考虑判定所给量是否为向量需要从哪几个方面考虑? ?提示提示: :大小与方向两个方面缺一不可大小与方向两个方面缺一不可. .(
11、2)(2)零向量的大小与方向是怎样的零向量的大小与方向是怎样的? ?提示提示: :零向量的长度为零向量的长度为0,0,方向任意方向任意. .(3)(3)所有的单位向量有何共同特征所有的单位向量有何共同特征? ?提示提示: :所有的单位向量的长度相等所有的单位向量的长度相等, ,都是都是1.1.【类题类题通通】理解零向量和单位向量应注意的问题理解零向量和单位向量应注意的问题(1)(1)零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的, ,所有的零向量都相等所有的零向量都相等. .(2)(2)单位向量不一定相等单位向量不一定相等, ,易忽略向量的方向易忽略向量的方向. .提醒提醒: :两个单位向量的长度相
12、等两个单位向量的长度相等, ,但这两个单位向量不但这两个单位向量不一定相等一定相等. .【习练习练破破】(2019(2019永州高一检测永州高一检测) )在下列判断中在下列判断中, ,正确的是正确的是( () )长度为长度为0 0的向量都是零向量的向量都是零向量; ;零向量的方向都是相零向量的方向都是相同的同的; ;长度相等的向量都是单位向量长度相等的向量都是单位向量; ;单位向量都单位向量都是同方向是同方向; ;向量向量 与向量与向量 的长度相等的长度相等. .A.A.B.B.C.C.D.D.AB BA 【解析解析】选选D.D.由定义知正确由定义知正确, ,由于两个零向量是平由于两个零向量是
13、平行的行的, ,但不能确定是否同向但不能确定是否同向, ,也不能确定是哪个具体方也不能确定是哪个具体方向向, ,故不正确故不正确. .长度相等的向量其模不一定为长度相等的向量其模不一定为1,1,不正不正确确, ,单位向量的方向不一定相同单位向量的方向不一定相同, ,不正确不正确, ,正确正确. .【加练加练固固】(2019(2019衡阳高一检测衡阳高一检测) )下列说法正确的是下列说法正确的是( () )A.A.有向线段有向线段 与与 表示同一向量表示同一向量B.B.两个有公共终点的向量是平行向量两个有公共终点的向量是平行向量C.C.零向量与单位向量是平行向量零向量与单位向量是平行向量D.D.
14、对任意向量对任意向量a, , 是一个单位向量是一个单位向量AB BA aa【解析解析】选选C.C.向量向量 与与 方向相反方向相反, ,不是同一向量不是同一向量, ,A A说法错误说法错误; ;有公共终点的向量的方向不一定相同或相有公共终点的向量的方向不一定相同或相反反,B,B说法错误说法错误; ;当当a= =0时时, , 无意义无意义,D,D说法错误说法错误; ;零向量零向量与任何向量都是平行向量与任何向量都是平行向量,C,C说法正确说法正确. .AB BA aa类型二相等向量与共线向量类型二相等向量与共线向量【典例典例】如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,
15、,四边形四边形ABDEABDE是矩形是矩形. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)找出与向量找出与向量 相等的向量相等的向量. .(2)(2)找出与向量找出与向量 共线的向量共线的向量. .AB AB 【思维思维引引】(1)(1)找与向量找与向量 相等的向量相等的向量, ,就是找与就是找与 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量. .(2)(2)找与向量找与向量 共线的向量共线的向量, ,就是找与就是找与 方向相同或方向相同或相反的向量相反的向量. .AB AB AB AB 【解析解析】(1)(1)由四边形由四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,四边形四边形ABD
16、EABDE是矩形知是矩形知, , 与与 的长度相等且方向相同的长度相等且方向相同, ,所以所以与向量与向量 相等的向量为相等的向量为 . .(2)(2)由题图可知由题图可知 , , 与与 方向相同方向相同, , 与与 方向相反方向相反, ,所以与向量所以与向量 共线的向量有共线的向量有 AB DC,ED AB DC,ED DC,ED EC AB BA,CD,DE,CE AB AB DC,ED,EC,BA,CD,DE,CE. 【素养素养探探】本题主要考查相等向量与共线向量本题主要考查相等向量与共线向量, ,同时考查直观想象同时考查直观想象的核心素养中的核心素养中, ,培养读图能力培养读图能力.
17、.本例在找与本例在找与 共线的向量时共线的向量时, ,易忽视与其本身方向相易忽视与其本身方向相反的向量反的向量, ,即易把即易把 漏掉漏掉. .AB BA 若本例改为若本例改为, ,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,四边形四边形ABDEABDE是是正方形正方形, ,请在图中找出与向量请在图中找出与向量 模相等的向量模相等的向量. .AB 【解析解析】由图可知由图可知, ,与向量与向量 模相等的向量为模相等的向量为 AB DC,ED,AE,EA,BD,DB,BA,CD,DE. 【类题类题通通】1.1.寻找相等向量的方法寻找相等向量的方法: :先找与表示已知向量的有向线先找
18、与表示已知向量的有向线段长度相等的向量段长度相等的向量, ,再确定哪些是同向且共线的再确定哪些是同向且共线的. .2.2.寻找共线向量的方法寻找共线向量的方法: :先找与表示已知向量的有向线先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段段平行或共线的线段, ,再构造同向或反向的向量再构造同向或反向的向量. .3.3.共线向量与相等向量的关系共线向量与相等向量的关系: :相等向量一定是共线向相等向量一定是共线向量量, ,但共线向量不一定是相等向量但共线向量不一定是相等向量. .若两向量相等若两向量相等, ,则两则两向量方向相同向量方向相同, ,模相等模相等; ;若两向量共线若两向量共线, ,则两向
19、量方向相则两向量方向相同或相反同或相反. .【发散发散拓拓】向量的平行不具备传递性向量的平行不具备传递性,即若即若ab,bc,则未必有则未必有ac.因为当因为当b=0时时,a,c可以是任意向量可以是任意向量,故故a,c不一定平行不一定平行;只有只有当当b0时时,才有才有ab,bc,则则ac,即平行可传递即平行可传递.因此在因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性今后学习时要特别注意零向量的特殊性,解答问题时解答问题时,一定一定看清题目中是看清题目中是“零向量零向量”,还是还是“非零向量非零向量”.【延伸延伸练练】(2019(2019秦皇岛高一检测秦皇岛高一检测) )下列命题正确的是下列命题正确
20、的是( () )A.A.向量向量a与与b共线共线,向量向量b与与c共线共线,则向量则向量a与与c共线共线B.B.向量向量a与与b不共线不共线,向量向量b与与c不共线不共线,则向量则向量a与与c不共线不共线C.C.向量向量 与与 是共线向量是共线向量,则则A,B,C,DA,B,C,D四点一定共线四点一定共线D.D.向量向量a与与b不共线不共线,则则a与与b都是非零向量都是非零向量AB CD 【解析解析】选选D.D.当当b=0时时,A A不对不对;如图如图a= ,c= ,b= ,b与与a,b与与c均不共线均不共线,但但a与与c共线共线,所以所以B B错错. AB BC BD 在在 ABCDABCD
21、中中, , 与与 共线共线, ,但但A,B,C,DA,B,C,D四点不共线四点不共线, ,所所以以C C错错; ;若若a与与b有一个为零向量有一个为零向量,则则a与与b一定共线一定共线,所以所以a,b不共线时不共线时, ,一定有一定有a与与b都都是非零向量是非零向量, ,故故D D正确正确. .AB CD 【习练习练破破】在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中,ABCD,ABCD,对角线对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O,EFO,EF是过点是过点O O且平行于且平行于ABAB的线段的线段, ,在所标的向量中在所标的向量中: :(1)(1)写出与写出与 共线的向量共线的向量. .(2
22、)(2)写出与写出与 方向相同的向量方向相同的向量. .(3)(3)写出与写出与 的模相等的向量的模相等的向量. .(4)(4)写出与写出与 相等的向量相等的向量. .AB EFOBOD ，EO 【解析解析】等腰梯形等腰梯形ABCDABCD中中,ABCDEF,AD=BC.,ABCDEF,AD=BC.(1)(1)题图中与题图中与 共线的向量有共线的向量有 (2)(2)题图中与题图中与 方向相同的向量有方向相同的向量有 (3)(3)题图中与题图中与 的模相等的向量为的模相等的向量为 , ,与与 的模相等的模相等的向量为的向量为 . .(4)(4)题图中与题图中与 相等的向量为相等的向量为 . .A
23、B EFOB DCEOOFEF. ， ， ，ABDCEOOF. ， ， ，AO OD OC EO OF 【加练加练固固】1.1.如图在等腰梯形如图在等腰梯形ABCDABCD中中. . 与与 是共线向量是共线向量. . = . = . . .以上结论中正确的个数是以上结论中正确的个数是( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3AB CD AB CD AB CD 【解析解析】选选A.A.因为因为 与与 的方向不相同的方向不相同, ,也不相反也不相反, ,所以所以 与与 不共线不共线, ,即不正确即不正确; ;由可知不正确由可知不正确; ;因为两个向量不能比较大小因为两个向量不能比
24、较大小, ,所以不正确所以不正确. .AB CD AB CD 2.2.四边形四边形ABCDABCD是边长为是边长为3 3的正方形的正方形, ,把各边三等分后把各边三等分后, ,共共有有1616个交点个交点, ,从中选取两个交点作为向量从中选取两个交点作为向量, ,则与则与 平行平行且长度为且长度为2 2 的向量个数有的向量个数有_个个.AC 2【解析解析】如图所示如图所示, ,满足与满足与 平行且长度为平行且长度为2 2 的向的向量有量有 共共8 8个个, ,答案答案: :8 8AC 2AFFAECCEGH,HG,IJ,JI ， ， ， ，类型三向量的表示与应用类型三向量的表示与应用【典例典例
25、】1.1.如图的方格由若干个边长为如图的方格由若干个边长为1 1的小正方形并的小正方形并在一起组成在一起组成, ,方格纸中有定点方格纸中有定点A,A,点点C C为小正方形的顶点为小正方形的顶点, ,且且| |=| |= , ,画出所有的向量画出所有的向量 . .AC AC 52.2.如图所示如图所示, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中, = ,N,M, = ,N,M分别是分别是AD,BCAD,BC上的点上的点, ,且且 . .求证求证: .: .世纪金榜导学号世纪金榜导学号AB DC CN MA DN MB 【思维思维引引】1.1.根据方向与大小确定终点即可根据方向与大小确定终点即可.
26、.2.2.利用向量相等证明四边形利用向量相等证明四边形ABCD,CNAMABCD,CNAM是平行四边形是平行四边形, ,进而得到向量进而得到向量 . .DN MB 【解析解析】1.1.画出所有的向量画出所有的向量 , ,如图如图: :AC 2.2.因为因为 = ,= ,所以所以| |=| |,| |=| |,且且ABCD,ABCD,所以四边所以四边形形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .所以所以| |=| |,| |=| |,且且DACB.DACB.又因为又因为 与与 的方向相同的方向相同, ,所以所以 = .= .同理可证四边形同理可证四边形CNAMCNAM是平行四边形是平行四边形
27、, ,所以所以 因为因为 AB DC AB DC DA CB DA CB CB DA CM NA.CBDA,CMNA, 所以所以| |=| |,DNMB,| |=| |,DNMB,即即 与与 的模相等且方向的模相等且方向相同相同, ,所以所以 = .= .MBDN DN MBDN MB【内化内化悟悟】1.1.用有向线段表示向量需要确定哪几个量用有向线段表示向量需要确定哪几个量? ?提示提示: :起点、方向、大小、终点起点、方向、大小、终点. .2.(1)2.(1)在四边形在四边形ABCDABCD中中, ,若若 = ,= ,四边形四边形ABCDABCD是什么是什么图形图形, ,为什么为什么? ?
28、提示提示: :向量向量 = = 包含两层含义包含两层含义,ABCD,AB=CD,ABCD,AB=CD,故四边形故四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . AB DC AB DC (2)(2)要证明向量要证明向量 必须满足什么条件必须满足什么条件? ?提示提示: :方向相同方向相同, ,长度相等长度相等. . DN MB 【类题类题通通】(1)(1)用有向线段表示向量时用有向线段表示向量时, ,先确定起点先确定起点, ,再确定方向再确定方向, ,最后依据向量模的大小确定向量的终点最后依据向量模的大小确定向量的终点. .(2)(2)利用向量的相等利用向量的相等, ,可以证明线段相等或直
29、线平行可以证明线段相等或直线平行, ,但但需说明两向量所在的基线无公共点需说明两向量所在的基线无公共点. .用平行向量可证明用平行向量可证明( (判断判断) )直线平行直线平行, ,但证明直线平行时但证明直线平行时, ,除说明向量平行除说明向量平行外还需说明向量所在的基线无公共点外还需说明向量所在的基线无公共点. .【习练习练破破】下列说法中下列说法中, ,正确的序号是正确的序号是_._.若若 与与 是共线向量是共线向量, ,则则A,B,C,DA,B,C,D四点必在一条直四点必在一条直线上线上; ;零向量都相等零向量都相等; ;AB CD 任一向量与它的平行向量不相等任一向量与它的平行向量不相
30、等; ;若四边形若四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,则则 = ;= ;共线的向量共线的向量, ,若始点不同若始点不同, ,则终点一定不同则终点一定不同. .AB DC 【解析解析】共线向量即平行向量共线向量即平行向量, ,只要求方向相同或相反只要求方向相同或相反即可即可, ,并不要求两个向量并不要求两个向量 , , 在同一条直线上在同一条直线上, ,所以所以错误错误; ;因为零向量的长度都为零因为零向量的长度都为零, ,且其方向任意且其方向任意, ,所以所以零向量相等零向量相等, ,所以正确所以正确; ;因为平行向量的方向可以相因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等同且大
31、小也可以相等, ,所以任一向量与它的平行向量可所以任一向量与它的平行向量可AB CD 能相等能相等, ,所以错误所以错误; ;画出图形画出图形, ,可得可得 = ,= ,所以正所以正确确; ;由共线向量的定义可知由共线向量的定义可知: :共线的向量共线的向量, ,始点不同始点不同, ,终终点可能相同点可能相同, ,所以不正确所以不正确. .答案答案: :AB DC 类型四向量在生活中的应用类型四向量在生活中的应用【物理情境物理情境】已知飞机从已知飞机从A A地按北偏东地按北偏东3030的方向飞行的方向飞行2 000 km2 000 km到达到达B B地地, ,再从再从B B地按南偏东地按南偏东
32、3030的方向飞行的方向飞行2 000 km2 000 km到达到达C C地地, ,再从再从C C地按西南方向飞行地按西南方向飞行1 0001 000 km km到达到达D D地地. .问问D D地在地在A A地的什么方向地的什么方向?D?D地距地距A A地多远地多远? ?2【转化模板转化模板】1.1.建建 由题意此架飞机的三次飞行位移是向量问题由题意此架飞机的三次飞行位移是向量问题, ,故可以建立向量模型解决故可以建立向量模型解决. .2.2.设设 设飞机三次飞行位移分别为向量设飞机三次飞行位移分别为向量 ABBCCD. ， ，3.3.译译 已知向量已知向量 的方向为北偏东的方向为北偏东30
33、30, ,长度为长度为2 000 km,2 000 km,向量向量 的方向为南偏东的方向为南偏东3030, ,长度为长度为2 000 km,2 000 km,向量向量 的方向为西南方向的方向为西南方向, ,长度为长度为1 0001 000 km, km,求向量求向量 的方向及长度的方向及长度. .AB BC CD 2DA 4.4.解解 (1)(1)由题意由题意, ,作出向量作出向量 , ,如图所如图所示示, , ABBCCDDA ， ， ，(2)(2)依题意知依题意知, ,三角形三角形ABCABC为正三角形为正三角形, ,所以所以AC=2 000 km.AC=2 000 km.又因为又因为ACD=45ACD=45,CD=1 000,CD=1 000 km, km,所以所以ACDACD为等腰为等腰直角三角形直角三角形, ,即即AD=1 000AD=1 000 km,CAD=45 km,CAD=45. .所以所以D D地地在在A A地的东南方向地的东南方向, ,距距A A地地1 0001 000 km. km.5.5.答答 DD地在地在A A地东南方向地东南方向, ,距距A A地地1 0001 000 km. km.2222
