1、5.1.2数据的数字特征1.1.最值最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值, ,最值反最值反映的是这组数最极端的情况映的是这组数最极端的情况. .一般地一般地, ,最大值用最大值用maxmax表示表示, ,最小值用最小值用minmin表示表示. .2.2.平均数平均数(1)(1)定义定义: :如果给定的一组数是如果给定的一组数是x x1 1,x,x2 2,x,xn n, ,则这组数的则这组数的平均数为平均数为 (x(x1 1+x+x2 2+x+xn n).).这一公式在数学中常简记为这一公式在数学中常简记为 1xnnii 11xxn(2)(2)求和
2、符号求和符号具有的性质具有的性质 nnniiiii 1i 1i 1nniii 1i 1ni 1(xy)xy(kx )kx tnt(3)(3)如果如果x x1 1,x,x2 2,x,xn n, ,的平均数为的平均数为 , ,且且a,ba,b为常数为常数, ,则则axax1 1+b,ax+b,ax2 2+b,ax+b,axn n+b+b的平均数是的平均数是a a +b.+b.xx【思考思考】(1)x(1)x5 5+x+x6 6+x+x1515如何用符号如何用符号表示表示? ?提示提示: :x x5 5+x+x6 6+x+x1515= = 15ii 5x(2)(2)如何证明如何证明 提示提示: :
3、=kx =kx1 1+kx+kx2 2+ +kx+kxn n=k(x=k(x1 1+x+x2 2+ +x+xn n)= .)= .nniii 1i 1(kx ) kx？nii 1(kx)nii 1kx3.3.中位数中位数(1)(1)如果一组数有奇数个数如果一组数有奇数个数, ,且按照从小到大排列后为且按照从小到大排列后为x x1 1,x,x2 2,x,x2n+12n+1, ,则称则称x xn+1n+1为这组数的中位数为这组数的中位数; ;(2)(2)如果一组数有偶数个数如果一组数有偶数个数, ,且按照从小到大排列后为且按照从小到大排列后为x x1 1,x,x2 2,x,x2n2n, ,则称则称
4、 为这组数的中位数为这组数的中位数. .nn 1xx24.4.百分位数百分位数(1)(1)定义定义: :一组数的一组数的p%(p(0,100)p%(p(0,100)分位数分位数指的是满足指的是满足下列条件的一个数值下列条件的一个数值: :至少有至少有p%p%的数据不大于该值的数据不大于该值, ,且且至少有至少有 % %的数据不小于该值的数据不小于该值. .(100 p)(2)(2)计算方法计算方法: :设一组数按照从小到大排列后为设一组数按照从小到大排列后为x x1 1,x,x2 2,x,xn n, ,计算计算i=np%i=np%的值的值, ,如果如果i i不是整数不是整数, ,设设i i0
5、0为大于为大于i i的最小整数的最小整数, ,取取 为为p%p%分位数分位数; ;如果如果i i是整数是整数, ,取取 为为p%p%分位数分位数. .规定规定:0:0分位数是分位数是x x1 1( (即最小值即最小值),100%),100%分位数是分位数是x xn n( (即最即最大值大值) )ii 1xx20ix【思考思考】中位数和百分位数的关系是什么中位数和百分位数的关系是什么? ?提示提示: :中位数是中位数是50%50%分位数分位数. .5.5.众数众数一组数据中一组数据中, ,某个数据出现的次数称为这个数据的频数某个数据出现的次数称为这个数据的频数, ,出现次数最多的数据称为这组数据
6、的众数出现次数最多的数据称为这组数据的众数. .6.6.极差极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差的差. .7.7.方差与标准差方差与标准差如果如果x x1 1,x,x2 2,x,xn n, ,的平均数为的平均数为 , ,则则方差方差s s2 2= = , ,方差的算术平方根称为方差的算术平方根称为标准差标准差. .如果如果x x1 1,x,x2 2,x,xn n, ,的方差为的方差为s s2 2, ,且且a,ba,b为常数为常数, ,则则axax1 1+b,ax+b,ax2 2+b,ax+b,axn n+b+b的方差是的方差是a
7、a2 2s s2 2. .xn2ii 11(xx)n【思考思考】(1)(1)方差和标准差的取值范围是什么方差和标准差的取值范围是什么? ?方差、标准差为方差、标准差为0 0的含义是什么的含义是什么? ?提示提示: :标准差、方差的取值范围标准差、方差的取值范围:0,+).:0,+).标准差、方差为标准差、方差为0 0时时, ,样本各数据全相等样本各数据全相等, ,表明数据没有表明数据没有波动幅度波动幅度. .(2)(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的? ?提示提示: :标准差、方差越大标准差、方差越大, ,数据的离散程度越大数据的离散程度越
8、大; ;标准差、标准差、方差越小方差越小, ,数据的离散程度越小数据的离散程度越小. .【素养小测素养小测】 1. 1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)对于一组数据来说对于一组数据来说, ,众数是唯一的众数是唯一的. .( () )(2)(2)中位数在一组数据中是唯一的中位数在一组数据中是唯一的, ,且一定是这组数据且一定是这组数据中的一个数据中的一个数据. .( () )(3)x(3)x1 1,x,x2 2,x,x3 3的平均数为的平均数为 , ,方差为方差为s s2 2, ,则则2x2x1 1-1,2x-1,2x2 2-1,-1, 2x 2
9、x3 3-1-1的平均数为的平均数为2 2 -1,-1,方差为方差为4s4s2 2-1.-1. ( () )(4)(4)方差、标准差是反映样本波动大小的特征数方差、标准差是反映样本波动大小的特征数.(.() )xx提示提示: :(1)(1). .众数可能不唯一众数可能不唯一. .(2)(2). .中位数在一组数据中是唯一的中位数在一组数据中是唯一的, ,可能是这组数据可能是这组数据中的一个数据中的一个数据, ,也可能不是这组数据中的数据也可能不是这组数据中的数据. .(3)(3).2x.2x1 1-1,2x-1,2x2 2-1,2x-1,2x3 3-1-1的平均数为的平均数为2 -1,2 -1
10、,方差为方差为4s4s2 2, ,故错误故错误. .(4).(4).x2.2.已知一组数据为已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.20,30,40,50,50,60,70,80.其中平其中平均数、中位数和众数的大小关系是均数、中位数和众数的大小关系是 ( () )A.A.平均数平均数 中位数中位数 众数众数B.B.平均数平均数 中位数中位数 众数众数C.C.中位数中位数 众数众数 , ,即在平均数相同的情况下即在平均数相同的情况下, ,甲的波动性小甲的波动性小, ,所以甲的成绩好些所以甲的成绩好些. .2s甲22225 30 303(29.9 30)(30.1 30)(
11、30.2 30)1,101252s乙222222 30 303 30.2 303 29.8 3030.1 3029.9 3013,105002s甲2s乙【类题类题通通】1.1.计算标准差的五个步骤计算标准差的五个步骤(1)(1)算出样本数据的平均数算出样本数据的平均数 . .(2)(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差算出每个样本数据与样本数据平均数的差: :x xi i- - (i=1,2,3,n).(i=1,2,3,n).xx(3)(3)算出算出(2)(2)中中x xi i- - (i=1,2,3,n)(i=1,2,3,n)的平方的平方. .(4)(4)算出算出(3)(3)中中n n个
12、平方数的平均数个平方数的平均数, ,即为样本方差即为样本方差. .(5)(5)算出算出(4)(4)中方差的算术平方根中方差的算术平方根, ,即为样本标准差即为样本标准差. .x2.2.标准差标准差( (方差方差) )的两个作用的两个作用(1)(1)标准差标准差( (方差方差) )较大较大, ,数据的离散程度较大数据的离散程度较大; ;标准差标准差( (方差方差) )较小较小, ,数据的离散程度较小数据的离散程度较小. .(2)(2)在实际应用中在实际应用中, ,常常把平均数与标准差结合起来进常常把平均数与标准差结合起来进行决策行决策. .在平均值相等的情况下在平均值相等的情况下, ,比较方差或
13、标准差来比较方差或标准差来确定稳定性确定稳定性. .【习练习练破破】1.1.已知样本已知样本9,10,11,x,y9,10,11,x,y的平均数是的平均数是10,10,方差是方差是2,2,则则xy=_.xy=_.【解析解析】由平均数得由平均数得9+10+11+x+y=50,9+10+11+x+y=50,所以所以x+y=20,x+y=20,又由又由(9-10)(9-10)2 2+(10-10)+(10-10)2 2+(11-10)+(11-10)2 2+(x-10)+(x-10)2 2+ +(y-10)(y-10)2 2=( )=( )2 25=10,5=10,得得x x2 2+y+y2 2-2
14、0(x+y)=-192,-20(x+y)=-192,(x+y)(x+y)2 2-2xy-20(x+y)=-192,-2xy-20(x+y)=-192,把把x+y=20 x+y=20代入代入, ,得得xy=96.xy=96.答案答案: :969622.2.某校高二年级在一次数学选拔赛中某校高二年级在一次数学选拔赛中, ,由于甲、乙两人由于甲、乙两人的竞赛成绩相同的竞赛成绩相同, ,从而决定根据平时在相同条件下进行从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试成绩确定出最佳人选的六次测试成绩确定出最佳人选, ,这六次测试的成绩数这六次测试的成绩数据如表据如表: :甲甲12712713813813013
15、0137137135135131131乙乙133133129129138138134134128128136136求两人比赛成绩的平均数以及方差求两人比赛成绩的平均数以及方差, ,并且分析成绩的稳并且分析成绩的稳定性定性, ,从中选出一位参加数学竞赛从中选出一位参加数学竞赛. .【解析解析】设甲、乙两人成绩的平均数分别为设甲、乙两人成绩的平均数分别为 , , ,则则 =130+ (-3+8+0+7+5+1)=133,=130+ (-3+8+0+7+5+1)=133, =130+ (3-1+8+4-2+6)=133, =130+ (3-1+8+4-2+6)=133, = (-6) = (-6)2
16、 2+5+52 2+(-3)+(-3)2 2+4+42 2+2+22 2+(-2)+(-2)2 2= ,= , = 0 = 02 2+(-4)+(-4)2 2+5+52 2+1+12 2+(-5)+(-5)2 2+3+32 2= .= .x甲x乙x甲16x乙162s甲2s乙1616473383因此因此, ,甲与乙的平均数相同甲与乙的平均数相同, ,由于乙的方差较小由于乙的方差较小, ,所以乙所以乙的成绩比甲的成绩稳定的成绩比甲的成绩稳定, ,选乙参加竞赛比较合适选乙参加竞赛比较合适. .【加练加练固固】甲、乙两台机床同时加工直径为甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm100 mm的零件的零件
17、, ,为检验质量为检验质量, ,各从中抽取各从中抽取6 6件测量件测量, ,数据为数据为: :甲甲:99:991001009898100100100100103103乙乙:99:991001001021029999100100100100(1)(1)分别计算两组数据的平均数及方差分别计算两组数据的平均数及方差. .(2)(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. .【解析解析】(1) = (1) = (99+100+98+100+100+103)=100,(99+100+98+100+100+103)=100, = = (99+100+10
18、2+99+100+100)=100.(99+100+102+99+100+100)=100. = = (99-100)(99-100)2 2+(100-100)+(100-100)2 2+(98-100)+(98-100)2 2+ +(100-100)(100-100)2 2+(100-100)+(100-100)2 2+(103-100)+(103-100)2 2= ,= , = = (99-100)(99-100)2 2+(100-100)+(100-100)2 2+(102-100)+(102-100)2 2+ +(99-100)(99-100)2 2+(100-100)+(100-100)2 2+(100-100)+(100-100)2 2=1.=1.x甲x乙2s甲2s乙1616161673(2)(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同两台机床所加工零件的直径的平均值相同, ,又又 , ,所以乙机床加工零件的质量更稳定所以乙机床加工零件的质量更稳定. .2s甲2s乙
