1、第- 1 -页，共- 2 -页 绍兴文理绍兴文理学学院院 20202 21 1 年硕士研究生入学考试初试试题年硕士研究生入学考试初试试题 报考专业： 基础数学、计算数学、应用数学、数学教育 考试科目： 高等代数 科目代码： 851 注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。 一、一、填空题（共填空题（共 32 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1.(4 分) 4247510 xxx =的有理根是 。 2.(4 分) 线性方程组=+=+00314321xxxxxx的解空间的维数为 。 3.(4 分) 设BA,为
2、n阶正交矩阵，且, 0|A0|B，则= | AB 。 4.(4 分) 设向量组123, 线性无关，向量组123, 可由向量组123, 线性表示： 11232123313423=+=+=，则向量组123, 线性 。 5.(4 分) 用nxP表示数域P上次数小于n的多项式连同零多项式按一般意义下多项式加法和数乘所成的线性空间，nxP上线性变换：( )()( )fxfx=（微分变换） ，则的值域() Im( ) |( )nf xf xP x=为 ，的核 () ( )|( ) =0nKerf xP xf x=为 。 6.(4 分) 设1，5， 是矩阵=120222023A的特征值，则= 。 7.(4
3、分) 设126103114A= ，则A的-矩阵EA的标准形为 。 8.(4 分) 欧氏空间中标准正交基n,21的度量矩阵为 。 二、二、计算计算题（共题（共 90 分，每小题分，每小题 15 分）分） 1 （15 分）设1)(, 144)(2234=+=xxxgxxxxxf，求)(),(xgxf，并求 )(),(xvxu，使得)()()()()(),(xgxvxfxuxgxf+=。 2 （15 分）计算n阶行列式naaaa+11111111111111111111321（njaj, 2 , 1, 0=） 。 第- 2 -页，共- 2 -页 3 （15 分）求非齐次线性方程组=168451105
4、316311214321xxxx（*）的导出组的一个基础解系，并用此基础解系进一步求（*）的通解。 4 （15 分） 已知3阶矩阵A的逆矩阵为=3111211111A， 求A的伴随矩阵*A的逆矩阵()1*A。 5 （15 分）设2 2=| , , ,xyRx y z wRzw是所有 2 阶方阵关于一般意义下矩阵加法和数乘构成的线性空间，2 2AR ，令1 1( )1 1AA=，求在线性空间2 2R的一个基 1112212210010000,00001001EEEE=下的矩阵。 6 （15 分）设=542452222A，求正交矩阵U，使得AUUT为对角形。 三、证明三、证明题（共题（共 28 分
5、，每小题分，每小题 14 分）分） 1.（14 分）已知m个向量m,21线性相关，但其中任意1m个向量都线性无关，证明： （1） （7 分）如果等式11220mmkkk+=，则m个数mkkk,21或者全为0，或者全不为0。 （2） （7 分）如果存在两个等式：11220mmkkk+=（I）和 11220mmlll+=（II） ，其中01l，则mmlklklk=2211。 2 （14 分）设是数域P上n维线性空间V的线性变换，在V的一个基n,21下的 矩阵为A，的核( )|KerO =，则 （1） （6 分）是单射的充要条件是 KerO=； （2） （8 分）KerS（S为AXO=的解空间） ，且dimKern=秩( )A。
