1、向量法求空间距离向量法求空间距离 高中组 人教版高中数学第二册（下）第九章（B） 第一部分：内容分析第一部分：内容分析 第二部分：学生情况分第二部分：学生情况分析析 第三部分：教学过程第三部分：教学过程 第四部分：教学评价第四部分：教学评价向量法求空间距离向量法求空间距离 地位和作用地位和作用 课时安排，教学重点难课时安排，教学重点难点点 教学方法、手段教学方法、手段 教学目标教学目标第一部分：内容分析第一部分：内容分析 地位和作用地位和作用 第一部分：内容分析第一部分：内容分析数量积数量积立体几何立体几何 垂直垂直夹角公式夹角公式求模求模 距离公式距离公式 位置关系位置关系空间角空间角空间距
2、离空间距离 距离公式距离公式 地位和作用地位和作用 ：空间位置关系转化空间位置关系转化为数量关系为数量关系 高考常以空间距离，考查学生空高考常以空间距离，考查学生空间想象能力和逻辑推理能力以及计算表间想象能力和逻辑推理能力以及计算表达能力。达能力。 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系，将空间点、，将空间点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，线、面、体的位置关系转化为数量关系，化逻辑推理和证明为数量计算，能化繁化逻辑推理和证明为数量计算，能化繁为简，化抽象为具体，为简，化抽象为具体，降低难度。降低难度。 向量法坐标法求距离作为常规方向量法坐标法求距离作为常规方法，学生对公式仅是机械记忆，不能
3、很法，学生对公式仅是机械记忆，不能很好的理解，导致使用出错。这一节是在好的理解，导致使用出错。这一节是在学习完空间向量及空间距离的定义后补学习完空间向量及空间距离的定义后补充讲解的向量坐标法求距离的两节课的充讲解的向量坐标法求距离的两节课的第一节，既是对前面章节的拓展，也是第一节，既是对前面章节的拓展，也是下一节的知识铺垫。下一节的知识铺垫。第一部分：内容分析第一部分：内容分析教学重点难点教学重点难点 教学重点：教学重点：掌握由向量数掌握由向量数量积推导距离公式。量积推导距离公式。 教学难点：教学难点：空间向量的射空间向量的射影的理解，数形结合思想影的理解，数形结合思想的灵活运用，空间直角坐的
4、灵活运用，空间直角坐标系的建立，求法向量，标系的建立，求法向量，向量的选取。向量的选取。第一部分：内容分析第一部分：内容分析 教学方法：教学方法：采用启发诱导式采用启发诱导式教学，并结合实践探索，互教学，并结合实践探索，互动教学。动教学。 教学手段：教学手段：因为要充分体现因为要充分体现数形结合，有大量的图形对数形结合，有大量的图形对比引导，以多媒体展示作为比引导，以多媒体展示作为黑板板书补充。黑板板书补充。第一部分：内容分析第一部分：内容分析 知识目标：知识目标：理解向量射影与公式的关系，理解向量射影与公式的关系，基本掌握空间距离公式的推导和简单运用基本掌握空间距离公式的推导和简单运用步骤步
5、骤 能力训练目标：能力训练目标：培养动手能力，培养动手能力，计算表计算表达能力达能力 创新素质目标：创新素质目标：通过立体几何的向量解通过立体几何的向量解法体会知识之间的互通性，事物内在存在法体会知识之间的互通性，事物内在存在的本质联系，懂得通过思维的拓展从事物的本质联系，懂得通过思维的拓展从事物的广泛联系中寻找解决问题的方法的广泛联系中寻找解决问题的方法 情感目标：情感目标：化繁为简，化难为易，在师化繁为简，化难为易，在师生共同探索中增强学生学数学的信心和热生共同探索中增强学生学数学的信心和热情情第一部分：内容分析第一部分：内容分析 学生情况：知识方面，这节课要从简单学生情况：知识方面，这节
6、课要从简单入手，逐渐深入，渐近式展开；心理方入手，逐渐深入，渐近式展开；心理方面，学生对数学普遍有负担，要将探究面，学生对数学普遍有负担，要将探究带进课堂带进课堂,激发学生学习数学的兴趣；生激发学生学习数学的兴趣；生理方面，高二的学生已经具备了独立思理方面，高二的学生已经具备了独立思考的能力考的能力,观察分析能力也有所提高，可观察分析能力也有所提高，可以适应对本节知识的深化。以适应对本节知识的深化。 学法指导：引导学生体验探究的过程学法指导：引导学生体验探究的过程,使使学生的学习过程变成在教师指导下的学生的学习过程变成在教师指导下的“再创造过程再创造过程”，使学生从具体操作中，使学生从具体操作
7、中掌握知识掌握知识,在愉悦的气氛中自主探索，逐在愉悦的气氛中自主探索，逐渐形成渐形成 “独立思考、积极探索独立思考、积极探索”的学习的学习方式，达到课程整合的终极目标。方式，达到课程整合的终极目标。第二部分：学情分析第二部分：学情分析第三部分：教学过程第三部分：教学过程 复习引入：复习引入：从平面向量投影开始知识的准备 新课讲解：新课讲解：数形结合展示知识的发现与迁移，并对知识归纳总结 巩固练习巩固练习知识的运用掌握 小结作业小结作业第三部分：教学过程第三部分：教学过程复习引入复习引入 新课讲解新课讲解 巩固练习巩固练习 小结作业小结作业 实践探索实践探索公式推导公式推导形成思路形成思路射影与
8、数量积射影与数量积数形结合数形结合运用运用例题讲解例题讲解概括概括解题步骤解题步骤第三部分：教学过程第三部分：教学过程 先提出两个问题：1.1.如图棱长为如图棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点D D1 1到平面到平面BBBB1 1C C1 1C C的距离是多少？直线的距离是多少？直线D D1 1C C1 1与与B B1 1B B的距离呢？的距离呢？2.2.点点D D1 1到平面到平面ABAB1 1C C的距离又是多的距离又是多少？还有体对角线少？还有体对角线BDBD1 1与面对与面对角线角线B B1 1C C的距离怎么求
9、？的距离怎么求？这两个问题是在同一背景，但有层这两个问题是在同一背景，但有层次区别。次区别。ABCDA1B1C1D1复习引入复习引入 第三部分：教学过程第三部分：教学过程复习引入复习引入 要解决以上问题前先回忆一要解决以上问题前先回忆一下数量积的性质及这些性质下数量积的性质及这些性质各自作用？各自作用？baba0证明垂直|,cosbababa夹角公式，求角221221221)()()(|zzyyxxaaa空间两点间距离eaaea,cos|射影有什么有什么作用？作用？第三部分：教学过程第三部分：教学过程复习引入复习引入 APlPAn实践探索实践探索 的线段。的距离到直线示点，另指出表射影上的的法
10、向量直线在如右图，作出lPPAnlAP.1离的线段。的距到平面点的射影，另指出表示上的法向量在平面如右图，作出PnCPBPAP,. 2P（2）nHABCH新课讲解新课讲解 复习引入复习引入 第三部分：教学过程第三部分：教学过程实践探索实践探索 的距离异面直线表示出来，另求这两条上的射影，并用数量积共法向量的公与在异面直线作出nllCECD21,. 3ACD（3）nB1l2lE新课讲解新课讲解 第三部分：教学过程第三部分：教学过程复习引入复习引入 新课讲解新课讲解 射影与数量积射影与数量积数形结合数形结合ACD（3）nB1l2lEAPlPAn（1）PnHABCH（2）|,cos|nnAPnAPA
11、Pd|,cos|nnCDnCDCDd复习引入复习引入 第三部分：教学过程第三部分：教学过程公式推导公式推导形成思路形成思路空间距离公式空间距离公式|,cos|nnanaad怎么用？怎么用？|nadn为单位向量时，当距离=射影长度表示义之外，可以通过坐标定必须求数量积，除了新课讲解新课讲解 复习引入复习引入 第三部分：教学过程第三部分：教学过程公式推导公式推导形成思路形成思路建建 系系 求坐标求坐标 求数量积，法向量的模求数量积，法向量的模 求求 解解新课讲解新课讲解 复习引入复习引入 第三部分：教学过程第三部分：教学过程运用运用例题讲解例题讲解 例：例：已知正方体已知正方体ABCD-AABCD
12、-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1棱棱长为长为1 1，求求:(1):(1)点点D D1 1到平面到平面ABAB1 1C C的距离；的距离； (2)(2)体对角线体对角线BDBD1 1与面对角线与面对角线B B1 1C C的距离的距离。回到一开始的问题回到一开始的问题2 2，尝试用向量，尝试用向量数量积求解，起到前呼后应作用数量积求解，起到前呼后应作用新课讲解新课讲解 xABCDA1B1C1D1yz运用运用例题讲解例题讲解 复习引入复习引入 第三部分：教学过程第三部分：教学过程新课讲解新课讲解 1( , ,1)ACBnx y(1)设平面的法向量100ACn AB 由n且=n解得（-1
13、,-1,0）( 1,0,0)AD 又(0,0,0),D(1,0,0),A1(1,1,1)B1(0,1,0),(0,0,1), (1,1,0)CDB则各点坐标如下：则各点坐标如下：解析：建立如图坐标系：解析：建立如图坐标系：xABCDA1B1C1D1yz例题讲解例题讲解 复习引入复习引入 第三部分：教学过程第三部分：教学过程新课讲解新课讲解 ( , ,1)nx y(2)设向量100ACn AB 且n ，=n解得（-1,2,1）1(0,0,1)BB 又1116=6BB ndnBDBC 与的距离13=3DA B CA Dndn 到 平 面的 距 离CxA1B1C1D1yzDAB复习引入复习引入 新课
14、讲解新课讲解 第三部分：教学过程第三部分：教学过程概括概括解题步骤解题步骤 代公式求解代公式求解 1.步骤步骤建建 系系求点及向量坐标求点及向量坐标 （设并）求法向量（设并）求法向量 求数量积和法向量的模求数量积和法向量的模 2.分析强调分析强调 a.建系方法建系方法 b.斜线段向量的任斜线段向量的任意性意性 c.法向量求法法向量求法 第三部分：教学过程第三部分：教学过程复习引入复习引入 新课讲解新课讲解 巩固练习巩固练习 1.在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中中AB=a, BC=b, CC1=c,(ab),求求:AC与与BD1的距离。的距离。ABCDA1B1C1D12.如图：如图：
15、ABC是中是中B为直角，为直角，SA平面平面ABC, SA=BC=2,AB=4, M,N,D分别是分别是SC,AB,BC的中点，的中点，求求:A到平面到平面SND的距离。的距离。ABCSMND第三部分：教学过程第三部分：教学过程复习引入复习引入 新课讲解新课讲解 巩固练习巩固练习 小结作业小结作业 1.1.距离等于射影长度距离等于射影长度|,cos|nnanaad2.2.公式中公式中 的非唯一性的非唯一性a3.3.向量法求距离的一般步骤向量法求距离的一般步骤4.4.向量法的优势及适用情形向量法的优势及适用情形小小 结：结： 第三部分：教学过程第三部分：教学过程复习引入复习引入 新课讲解新课讲解 巩固练习巩固练习 小结作业小结作业 作作 业：业： 1.正方体正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为的边长为4，M,N,E,F分别是棱分别是棱A1D1, A1B1, D1C1, B1C1的中点，的中点，求：平面求：平面AMN与平面与平面EFBD的距离的距离（请对比等体积法怎么求？）（请对比等体积法怎么求？）2. ABC-A1B1C1是各条棱长均为是各条棱长均为1的的正三棱柱，正三棱柱，D是侧棱是侧棱CC1的中点，的中点，求：点求：点C C到平面到平面ABAB1 1D D的距离。的距离。
