1、 牛吃草问题最先在牛顿的普牛吃草问题最先在牛顿的普通算术中出现，通算术中出现，他提出一个他提出一个非常有趣的问题：有一片牧场，非常有趣的问题：有一片牧场，已知有已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草吃尽；把草吃尽；如果有如果有2323头牛头牛，9 9天天把草吃尽。把草吃尽。如果有牛如果有牛2121头头，几天几天能把草吃能把草吃尽？尽？人们人们把这道题叫做把这道题叫做“牛顿牛顿问题问题”，也称作，也称作“牛吃草问牛吃草问题题”。牛顿牛顿 3 3、牛吃草问题三部曲、牛吃草问题三部曲有一片牧场，已知有有一片牧场，已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草吃尽；把草吃尽；2323头牛头牛，9 9天天把
2、草吃尽。把草吃尽。如果有牛如果有牛2121头头，几天几天能把草吃尽？能把草吃尽？牧草总量不知道，牧草总量不知道，它随着时间的增长而增长它随着时间的增长而增长但原来草坪上有的但原来草坪上有的草的数量是永远不变的草的数量是永远不变的有一片牧场，已知有有一片牧场，已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草吃尽；把草吃尽；2323头牛头牛，9 9天天把草把草吃尽。如果有牛吃尽。如果有牛2121头头，几天几天能把能把草吃尽？草吃尽？把每头牛每天的吃草量把每头牛每天的吃草量看做看做一个单位一个单位，或者我们可以说是或者我们可以说是一份一份有一片牧场，已知有有一片牧场，已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草
3、把草吃尽；吃尽；2323头牛头牛，9 9天天把草吃尽。如果有把草吃尽。如果有牛牛2121头头，几天几天能把草吃尽？能把草吃尽？设：每头牛每天的吃草量是设：每头牛每天的吃草量是1 1份。份。276=162原草量原草量+6天的生长量天的生长量239=207原草量原草量+9天的生长量天的生长量有一片牧场，已知有有一片牧场，已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草把草吃尽；吃尽；2323头牛头牛，9 9天天把草吃尽。如果有把草吃尽。如果有牛牛2121头头，几天几天能把草吃尽？能把草吃尽？设：每头牛每天的吃草量是设：每头牛每天的吃草量是1 1份。份。每天新生草量：每天新生草量：原草量：原草量：162-1
4、5162-156=726=72或或207-15207-159=729=72276=162原草量原草量+6天的生长量天的生长量239=207原草量原草量+9天的生长量天的生长量 草地上草地上原有的草原有的草162-15162-156=726=72新新 草地上草地上原有的草原有的草162-15162-156=726=72新新新新新新新新新新新新新新新新新新新新162-15162-156=726=7215头头 吃吃剩下剩下21-15=6头头72份份15份份+72（21-15）=12天天有一片牧场，已知有有一片牧场，已知有2727头头牛，牛，6 6天天把草把草吃尽；吃尽；2323头牛头牛，9 9天天把
5、草吃尽。如果有把草吃尽。如果有牛牛2121头头，几天几天能把草吃尽？能把草吃尽？设：每头牛每天的吃草量是设：每头牛每天的吃草量是1 1份。份。每天新生草量：每天新生草量：原草量：原草量：162-15162-156=726=72或或207-15207-159=729=72假设假设1515头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有的草，可吃天数：的草，可吃天数：7272（21-1521-15）=12=12（天）（天）276=162原草量原草量+6天的生长量天的生长量239=207原草量原草量+9天的生长量天的生长量例例1 牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧
6、草牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供可供10头牛吃头牛吃20天，可供天，可供15头牛吃头牛吃10天。问：这片牧草天。问：这片牧草可供可供25头牛吃多少天？头牛吃多少天？ 1020=200原草量原草量+20天的生长量天的生长量1510=150原草量原草量+10天的生长量天的生长量草每天的生长量：草每天的生长量：（200-150）（20-10）=5原草量：原草量：200-205=100 或或150-105=1005头头 吃吃剩下剩下25-5=20头头100份份5份份+100（25-5）=5天天920=180原草量原草量+20天的生长量天的生长量1510=150原草量原草量+10天的生
7、长量天的生长量草每天的生长量：草每天的生长量：（180-150）（20-10）=3原草量：原草量：180-203=120 或或150-103=1203头头 吃吃剩下剩下18-3=15头头120份份3份份+120（18 - 3）= 8 天天1020=200原草量原草量+20天的生长量天的生长量1510=150原草量原草量+10天的生长量天的生长量每天新生草量：每天新生草量：（200-150200-150）（）（20-1020-10）=5=5原草量：原草量：200-5200-520=10020=100或或150-5150-510=10010=100假设假设5 5头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原
8、有的头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有的100100份草，那剩下多少牛呢？份草，那剩下多少牛呢？1001004=254=25（头）（头）共有多少头牛呢？共有多少头牛呢？25+5=25+5=3030（头）（头）设：每头牛每天的吃草量是设：每头牛每天的吃草量是1 1份。份。520=100原草量原草量+20天的生长量天的生长量615=90原草量原草量+15天的生长量天的生长量每天新生草量：每天新生草量：（100-90100-90）（）（20-1520-15）=2=2原草量：原草量：100-2100-220=6020=60或或90-290-215=6015=60假设假设2 2头牛专吃每天新生长的草
9、，剩下的牛吃原有的头牛专吃每天新生长的草，剩下的牛吃原有的6060份草，那剩下多少牛呢？份草，那剩下多少牛呢？60606=106=10（头）（头）共有多少头牛呢？共有多少头牛呢？10+2=1210+2=12（头）（头）246=144原草量原草量+6天的生长量天的生长量218=168原草量原草量+8天的生长量天的生长量每天新生草量：每天新生草量：（168-144168-144）（）（8-28-2）=5=5设：每头牛每天的吃草量是设：每头牛每天的吃草量是1 1份。份。例例4 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进入了一些水，如果用现漏
10、洞时已经进入了一些水，如果用12人舀水，人舀水，3小时舀小时舀完，如果只有完，如果只有5个人舀水，要个人舀水，要10小时才能舀完，现在想在小时才能舀完，现在想在6小时舀完，需要多少人？小时舀完，需要多少人？ 123=36份份原水量原水量+3小时进水量小时进水量510=50份份原水量原水量+10小时的进水量小时的进水量每小时的进水量：每小时的进水量：（50-36）（10-3）=2份份原水量：原水量：36-32=30份份 或或50-102=30份份30份份2份份+30份水需要几个人份水需要几个人6小时舀完？小时舀完？306=5（人）（人）2人人5+2=7（人）（人）复习复习 520=100原水量原
11、水量+20天天进水量进水量615=90原水量原水量+15天天的进水量的进水量每分钟的进水量：每分钟的进水量：（100-90）（）（20-15）=2原水量：原水量：100-202=60 或或90-152=60 60份份2份份+606=10（台）（台）2台台共需要共需要10+2=12（台）（台）例例5 5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开开4 4个检票口需个检票口需3030分钟，同时开分钟，同时开5 5个检票口需个检票口需2020分钟。如
12、果分钟。如果同时打开同时打开7 7个检票口，那么需要多少分钟？个检票口，那么需要多少分钟？ 假设每分钟每个检票口进的人数为假设每分钟每个检票口进的人数为1份份430=原有等待的人数原有等待的人数+30分钟新增的人数分钟新增的人数520=原有等待的人数原有等待的人数+20分钟新增的人数分钟新增的人数每分钟新增的人数每分钟新增的人数=（430-520）（30-20）= 2（份）（份）原有等待的人数原有等待的人数= 430-302=60（份）（份）专门安排专门安排2个检票口检新增加的人个检票口检新增加的人60（7-2）=12（分钟）（分钟）例例7 7：有一片青草，每天的生长速度都是相同：有一片青草，
13、每天的生长速度都是相同的，已知这片青草可供的，已知这片青草可供1515头牛吃头牛吃2020天，或者天，或者是供是供3333头牛吃头牛吃1212天，如果一头牛的吃草量等天，如果一头牛的吃草量等于于4 4只羊的吃草量，那么只羊的吃草量，那么8 8头牛与头牛与6464只羊一起只羊一起吃，可以吃上多少天？吃，可以吃上多少天？1515头牛头牛2020天天3333头牛头牛1212天天8 8头牛头牛+64+64只羊只羊几天？几天？6464只羊只羊=16=16头牛，相当于求头牛，相当于求2424头牛吃几天的问题头牛吃几天的问题例例6 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不
14、仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛头牛吃吃5天，或可供天，或可供15头牛吃头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛天。照此计算，可供多少头牛吃吃10天？天？ 205=100份份原草量原草量-5天的减少量天的减少量156=90份份原草量原草量-6天的减少量天的减少量草每天的减少量：草每天的减少量： （100-90）（6-5）=10份份原草量：原草量：100+510=150份份90+610=150份份剩下剩下150-100=50份份150份份10份份-50份草可供多少头牛吃份草可供多少头牛吃10天？天？（150-1010）10=5头头
15、10天减少天减少1010=100份份自主训练自主训练 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃头牛吃8天，天，可供可供25头牛吃头牛吃9天，那么可供天，那么可供21头牛吃几天？头牛吃几天？ 308=240份份原草量原草量-8天的减少量天的减少量259=225份份原草量原草量-9天的减少天的减少量量草每天的减少量：草每天的减少量： （240-225）（9-8）=15份份原草量：原草量：240+815=360份份 或或220+915=360份份21份份15份份+每天吃每天吃21份份
16、360（21+15）=10天天每天减少每天减少15份份例例5 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩级梯级，女孩每分钟走每分钟走15级梯级，结果男孩用了级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩分钟到达楼上，女孩用了用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 205 = 自动扶梯的级数自动扶梯的级数-5分钟减少的级数分钟减少的级数156 = 自动扶梯的级数自动扶梯的级数-6分钟减少的级数分钟减少的级数男孩：男孩：女孩：女孩：每分
17、钟减少的级数每分钟减少的级数=(205-156) (6-5)=10(级级)自动扶梯的级数自动扶梯的级数= 205+510=150（级）（级）3100=自动扶梯级数自动扶梯级数+100秒新增的级数秒新增的级数2300=自动扶梯级数自动扶梯级数+300秒新增的级数秒新增的级数自动扶梯级数自动扶梯级数=（2300-3100）（300-100）=1.5（级）（级）每秒新增的级数：每秒新增的级数：3100-1001.5=150（级）（级） 48= 原有等待的人数原有等待的人数+8分钟新增的人数分钟新增的人数64= 原有等待的人数原有等待的人数+6分钟新增的人数分钟新增的人数每分钟新增的人数每分钟新增的人
18、数= （48 - 64）（8 - 4）= 2（份）（份）原有等待的人数原有等待的人数= 48 - 82=16（份）（份）16 （ 3 - 2 ） = 16（分钟）（分钟） 60 - 16 =44 （分钟）（分钟） 例例6 有有3个牧场长满草，第一牧场个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供公亩，可供22头牛吃头牛吃54天，第二牧场天，第二牧场28公亩，可供公亩，可供17头牛吃头牛吃84天，第三牧场天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃公亩，可供多少头牛吃24天？天？ 解：假设解：假设1头牛头牛1天吃天吃1份草份草2254=1188份份平均每公顷有草量：平均每公顷有草量：118833=36份份第二块草量为：第二块草量为：1784=1428份份平均每公顷有草量：平均每公顷有草量：142828=51份份第一块草量为：第一块草量为：每公亩草每天的生长量为：每公亩草每天的生长量为：（51-36）（84-54）=0.5份份每公亩的草量：每公亩的草量：36-540.5=9份份或或51-840.5=9份份（409+400.524）24=35（头）（头）第三块牧场可供：第三块牧场可供： 710 = 70份份50 5 = 10 天天12070 = 50份份7= 5 只只
