1、-1-7.1.17.1.1角的推广角的推广课标阐释 1.掌握用“旋转”定义角,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的定义.2.掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法.3.体会运动变化的观点,深刻理解推广后的角的概念.思维脉络 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨在跳水、体操、花样滑冰比赛中,常常听到“转体三周”的说法,那么转体三周运动员要转体多少度呢?显然转过的角是大于360的角,我们如何认识这样的角呢?这样的角不再局限于0360的范围内,可以是任意的大小,还可以有正负,这就是本节要学习的角的概念的推广.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:任意角1.角的概念:一条射线绕其端
2、点旋转到另一条射线所形成的图形.2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微思考始边与终边重合的角一定是零角吗?提示不一定.只有始边没有旋转时才是零角.微练习经过1个小时,时针转过的角度是.答案-30课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:象限角1.象限角将角放在平面直角坐标系中,约定:角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.2.终边相同的角一般地,角+k360(kZ)与角的终边相同,这只需把k360看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的
3、角,它们的差一定是360的整数倍.因此,所有与终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S=|=+k360,kZ.即集合S的每一个元素的终边都与的终边相同,k=0时对应元素为.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析 对于集合S=|=+k360,kZ的理解应注意三点(1)是任意角.(2)“kZ”有三层含义:特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.一般性:表示所有与角终边相同的角(包括自身).从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,当k取正整数时,逆时针旋转;当k取负整数时,顺时针旋转;当k=0时,没有旋转.(3)集合中“k360”与“”之间用“+”连接,如k360-30应看成k36
4、0+(-30),表示与-30角终边相同的角.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微判断(1)钝角是第二象限角.()(2)第二象限角是钝角.()(3)第二象限角大于第一象限角.()答案(1)(2)(3)微练习与-40角终边相同的角的集合是()A.|=k360-40,kZ B.|=k360+40,kZC.|=k36040,kZD.|=k360+80,kZ答案A课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测有关角的概念问题有关角的概念问题例1下列说法正确的是()A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角一定是锐角C.终边相同的角之间相差360的整数倍D.大于90的角都是钝角分析根据角的概念、终边相同角的集
5、合等概念解题,特别注意锐角、直角、钝角等特殊的角.解析终边相同的角不一定相等,可能相差k360(kZ),故A错;因为锐角的集合是|090,而第一象限的角的集合是|k360k360+90,故B错;终边相同的角之间相差360的整数倍,故C正确;钝角的集合是|90180时,均大于90,所以大于90的角不一定都是钝角,故D错.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案C反思感悟 判断角的概念问题的关键与技巧(1)解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90的角、090的角等概念.(2)本题也可采用排除法,这时需掌握判断说法是否正确的技巧.判断说法正确需要证明,而判断说法错误只需举一反
6、例即可.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1判断下列说法是否正确:(1)第一象限的角小于第二象限的角;(2)若90180,则为第二象限的角.解(1)不正确.如390角是第一象限的角,120角是第二象限的角,显然390120,所以该说法是错误的.(2)不正确.其中90,180角都不是象限角,显然该说法是错误的.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测终边相同的角的问题终边相同的角的问题例2在角的集合S=|=k90+45,kZ中:(1)有几种终边不相同的角?(2)在集合S中有几个在-360360内的角?分析从代数角度看,取k=,-2,-1,0,1,2,可以得为,-13
7、5,-45,45,135,225,;从图形角度看,是以45角为基础,依次加上(或减去)90的整数倍,即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转90所得的各角,如图所示,结合图形求解.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角共有4种,分别是与45,135,225,315角终边相同的角.(2)令-360k90+45360,又因为kZ,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以在-360360内的角共有8个.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 运用终边相同的角的注意事项所有与角终边相同的角,连同角在内可以用式子k360+(kZ
8、)表示,在运用时需注意以下四点:(1)k是整数,这个条件不能漏掉.(2)是任意角.(3)k360与之间用“+”连接.(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2如图所示,写出终边落在直线y= x上的角的集合.解终边落在y= x(x0)上的角的集合为S1=|=60+k360,kZ,终边落在y= x(x0)上的角的集合为S2=|=240+k360,kZ.于是,终边落在直线y= x上的角的集合为S=S1S2=|=60+2k180,kZ|=60+(2k+1)180,kZ.因为n|n=2k,k
9、Zn|n=2k+1,kZ=Z,所以S=S1S2=|=60+n180,nZ.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测终边相同的角的集合之间的关系终边相同的角的集合之间的关系例3已知集合A=|30+k18080+k180,kZ,集合B=|-45+k36045+k360,kZ,求AB.解因为30+k18080+k180,kZ,所以当k为偶数,即k=2n(nZ)时,30+n36080+n360,nZ;当k为奇数,即k=2n+1(nZ)时,210+n360260+n360,nZ,所以集合A中角的终边在如图阴影()区域内,集合B中角的终边在如图阴影()区域内.所以集合AB中角的终边在阴影()和()
10、的公共部分内.所以AB=|30+n36045+n360,nZ.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 区域角表示的步骤(1)借助图形,在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域.(2)确定-360360范围内的基本角,即区域起始及终止边界所对应的角.(3)写出终边相同的角的集合.解决终边相同的角的集合问题,一般都是利用数形结合解题.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究若本例中集合A=|30+k12080+k120,kZ,求AB.解对于集合A,当k=3n,nZ时,30+n36080+n360.当k=3n+1,nZ时,150+n360200+n360.当k=3n
11、+2,nZ时,270+n360320+n360.故AB=|-45+n360-40+n360或30+n36045+n360,nZ.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.下列叙述正确的是()A.三角形的内角必是第一或第二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角一定是负角D.钝角比第三象限角小解析90的角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280的角是第四象限角,它是正角,故C错;-100角是第三象限角,它比钝角小,
12、故D错.答案B课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.把-1 485化成+k360(0360,kZ)的形式是()A.315-5360B.45-4360C.-315-4360D.-45-10180解析0360,排除C,D选项,经计算可知选项A正确.答案A3.已知是第四象限的角,则 是象限的角.答案第二或第四课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.终边在120角终边所在直线上的所有角的集合是,上述集合在-180,180)内的角是.解析所求角的集合依次为S1=|=120+k360,kZ=|=120+2k180,kZ,S2=|=300+k360,kZ=|=120+(2k+1)1
13、80,kZ,因为n|n=2k,kZn|n=2k+1,kZ=Z,所以S=S1S2=|=120+n180,nZ.当n=-1或n=0时,取得在-180,180)内的角为-60,120.答案|=120+n180,nZ-60,120课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.若角的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合.解以OA为终边的角为75+k360(kZ),以OB为终边的角为-30+k360(kZ),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为|-30+k3600可知,sin 的正负与终边上点的纵坐标的符号相同,所以,当且仅当的终边在第一、二象限,或y轴正半轴上时,sin 0;当且仅当的
14、终边在第三、四象限,或y轴负半轴上时,sin 0;当且仅当的终边在第二、三象限,或x轴负半轴上时,cos 0;当且仅当的终边在第二、四象限时,tan 0.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨以上结果可用下图直观表示. 名师点析 正弦函数值的符号取决于y轴的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于x轴的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于x轴,y轴的符号,同号为正,异号为负.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习1(1)若sin ,cos 都是负数,则是第象限角.(2)若tan 0,则是第象限角.答案(1)三(2)二或四课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习2判断下列各三角
15、函数值的符号:课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测三角函数的定义三角函数的定义例1已知角的终边经过点P(-4a,3a)(a0),求sin ,cos ,tan 的值.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 三角函数值的求解策略当所给角的终边上的点含有字母时,一定要注意分类讨论,并结合函数值的正负进行取舍.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测判断三角函数值的符号判断三角函数值的符号例2判断下列三角函数值的符号.(2)sin 3cos 4tan 5.分析确定一个角的三角函数值的符号,关键要看角在哪一个象限;确定
16、一个式子的符号,则需要观察该式子的结构特点及每部分的符号.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在的象限;(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测三角函数式的化简与求值三角函数式的化简与求值 分析按角x在第一象限,第二象限,第三象限,第四象限进行讨论. 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素
17、养形成当堂检测反思感悟 简单的三角函数的化简求值,因给出的式子中含绝对值符号,所以要分类讨论,分类一定要全,求值一定要准.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案-8 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类讨论思想在三角函数定义中的应用分类讨论思想在三角函数定义中的应用典例 已知角的终边落在直线y=2x上,求sin ,cos ,tan 的值.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛 直线y=2x被点(0,0)分成两条射线,故的终边有两种情况,需分类讨论.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.
18、已知角的终边经过点(-4,3),则cos =()答案A2.若tan sin 0,则是()A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角答案B课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.判断下列各式的符号(填“”或“”):(1)sin 3280;解析(1)因为270328360,所以328是第四象限角,所以sin 3280.答案(1)(2)(3)课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测-84-7.2.27.2.2单位圆与三角函数线单位圆与三角函数线课标阐释 1.理解单位圆的概念.2.理解三角函数线的定义并能运用三角
19、函数线解决相关的问题.思维脉络 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨江南水乡,水车在河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水引进水渠,流向绿油油的大地.在水车转动的瞬间,同学们能想到些什么呢?将图中的水车抽象出一个数学模型,建立平面直角坐标系(如图所示),设水车的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中,任意角的终边与单位圆交于点P,过点P作PMx轴,过点A(1,0)作单位圆的切线,交的终边或其反向延长线于点T,结合三角函数的定义,你能得到sin ,cos ,tan 与MP,OM,AT的关系吗?课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:单位圆一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆
20、.名师点析 (1)当角的终边与单位圆的交点为P(x,y)时,r=OP=1,此时sin =y,cos =x,tan = (x0).因此我们也可以用单位圆上点的坐标表示三角函数值.(2)单位圆的作用就是将r变为1.微思考角的终边与单位圆的交点是否可以表示为(cos ,sin )?课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:三角函数线 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习 课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测三角函数线的作法及应用三角函数线的作法及应用 课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 三角函数线的画法(1)
21、作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得出正弦线和余弦线.(2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交角的终边(为第一或第四象限角)或角终边的反向延长线(为第二或第三角限角)于点T,即可得到正切线课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测变式训练(1)已知角的正弦线的长度为单位长度,那么角的终边()A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=-x上课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测(1)解析根据正弦线的定义知,|sin |=1,所以sin =1,所以角的终边在y轴上.答案B课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检
22、测利用三角函数线比较大小利用三角函数线比较大小例2比较下列各组数的大小.分析在单位圆中正确画出各角需要比较大小的三角函数线. 课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测答案bac 课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测数形结合思想在三角不等式证明中的应用数形结合思想在三角不等式证明中的应用三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具.作
23、三角函数线的前提是作单位圆.根据三角函数线可以判断sin ,cos ,tan 的符号及大小,因此利用三角函数线可以证明三角不等式.课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测方法点睛 要证明一个问题是正确的,我们必须把它所包含的所有情况逐一说明.若漏掉一种情况,整个证明过程就是不严密的.课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测1.下列四个命题中:一定时,单位圆中的正弦线一定;单位圆中,有相同正弦线的角相等;和+有相同的正切线;具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.不正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.
24、3解析由三角函数线的定义知正确,不正确.答案C课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测2.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有()A.abcB.bacC.cabD.acb答案C 课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测答案D 答案AD 课堂篇主题探究探究一探究二素养形成当堂检测-108-7.2.37.2.3同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式课标阐释 1.理解同角三角函数的基本关系式:2.会利用同角三角函数的基本关系式解决相关问题.思维脉络 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨美国气象学家爱德华罗伦兹1963年提出一个观点:“一只南美洲亚马孙河流域热带雨
25、林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风.”这就是闻名于世的“蝴蝶效应”.此效应的本义是事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.从这个比喻我们还可以看出,南美洲亚马孙热带雨林中的一只蝴蝶与美国得克萨斯州的一场龙卷风看起来是毫不相干的两种事物,却有这样的联系,这也验证了哲学理论中事物之间是普遍联系的这一观点.看似不相关的事物间都是相互联系的,那么“同一个角”的三角函数间会存在什么样的关系呢?本节课我们就来探索这个问题.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点:同角三角函数的基本关系 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析 (1)基本关系成立的前提是“同角”,
26、它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.(3)sin2是(sin )2的简写,读作“sin 的平方”,不能将sin2写成sin 2,前者是的正弦的平方,后者是2的正弦,两者是不同的.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微拓展同角三角函数基本关系式的变形1.sin2+cos2=1的变形(1)sin2=1-cos2;(2)cos2=1-sin2;(3)1=sin2+cos2;(4)(sin +cos )2=1+2sin cos ;(5)(sin -cos )2=1-2sin cos .课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习
27、(1)sin22 021+cos22 021=()A.0B.1C.2 021 D.2 021(2)若sin +cos =0,则tan =.解析(1)由平方关系知sin22 021+cos22 021=1.(2)由sin +cos =0得sin =-cos ,答案(1)B(2)-1课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用同角三角函数基本关系式求值利用同角三角函数基本关系式求值 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 利用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方法(1)已知角的某一种三角函数值,求角的其余三角函数值,要
28、注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.(2)若角所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 已知角的正切值,求由sin 和cos 构成的代数式的值(1)对分式齐次式,因为cos 0,一般可在分子和分母中同时除以cosn,使所求代数式化成关于tan 的代数式,从而得解;(2)对整式(一般是指关于sin2,cos2)齐次
29、式,把分母看为“1”,用sin2+cos2替换“1”,从而把问题转化成分式齐次式,在分子和分母中同时除以cos2,即可得关于tan 的代数式,从而得解.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用同角三角函数关系式化简利用同角三角函数关系式化简 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测=|sin 40-cos 40|,因为sin 40cos 40,所以|sin 40-cos 40|=cos 40-sin 40.(2)sin2+sin2-sin2sin2+cos2cos2=sin2(1-sin2)+sin2+cos2cos2=sin
30、2cos2+cos2cos2+sin2=(sin2+cos2)cos2+sin2=cos2+sin2=1.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 三角函数式化简的常用方法(1)化切为弦,即把正切函数化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2+cos2=1,以降低函数次数,达到化简的目的.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用同角三角函数关系式证明利用同角三角
31、函数关系式证明 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.证明恒等式的常用思路:(1)从一边证到另一边,一般由繁到简;(2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者;(3)比较法(作差法,作比法).2.常用的技巧:(1)巧用“1”的代换;(2)化切为弦;(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3已知tan2=2tan2+1,求证sin2=2sin2-1. 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测平方关系的应用技巧平方关系的应用技巧在sin +cos ,sin -cos 和sin cos 三个式子中,已知其中一个可以
32、求另外两个的值,即“知一求二”.它们的关系是(sin +cos )2=1+2sin cos ,(sin -cos )2=1-2sin cos .另外,在化简、证明时,经常利用“1”的代换,将12sin cos 化为完全平方式(sin cos )2.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛 可以通过平方、切化弦、分解因式或配方等手段将所求代数式变形,从而找到所求代数式与已知代数式的关系,达到求值的目的.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案B 课堂篇主题探究探究一探究二探
33、究三素养形成当堂检测答案C 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案sin 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测-140-7.2.47.2.4诱导公式诱导公式课标阐释 1.掌握诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值.2.会用诱导公式进行简单的三角函数的化简和恒等式的证明.3.通过公式的运用,学会从未知到已知、从复杂到简单的转化方法.思维脉络 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨同学们听了老师的记忆口诀后,更是摸不着头脑,老师随后做了解释,同学们脑洞大开,都拍手叫好.这句话和我们学习的诱导公式有什么关系呢?课前篇自主预习激趣诱
34、思知识点拨知识点一:角与+k2(kZ)的三角函数值之间的关系(诱导公式)sin(+k2)=sin ,cos(+k2)=cos ,tan(+k2)=tan .微练习计算:(1)sin 390=;(2)cos 765=;(3)tan(-300)=.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:角的旋转对称一般地,角的终边和角的终边关于角 的终边所在的直线对称.微练习60和120角的终边关于角的终边所在的直线对称.答案90课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点三:角与-的三角函数值之间的关系(诱导公式)sin(-)=-sin ,cos(-)=cos ,tan(-)=-tan . 微练习计算:(1)sin(-
35、45)=;(2)cos(-765)=;(3)tan(-750)=.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点四:角与的三角函数值之间的关系(诱导公式)诱导公式sin(-)=sin ,cos(-)=-cos ,tan(-)=-tan .诱导公式sin(+)=-sin ,cos(+)=-cos ,tan(+)=tan .名师点析 (1)公式的概念:+k2(kZ),-,的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.(2)判断函数值的符号时,虽然把看成锐角,但实际上,对于正弦与余弦的诱导公式,可以为任意角;对于正切的诱导公式,的终边不能落在y轴上,即k+ (kZ).(3)公式既可以
36、用弧度制表示,也可以用角度制表示.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨课前篇自主预习激趣诱思知识点拨课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测直接利用诱导公式化简、求值直接利用诱导公式化简、求值例1(1)已知cos 31=m,则sin 239tan 149的值是()课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 解决化简求值问题的策略:(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.课堂篇主题探
37、究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测给值给值(式式)求值问题求值问题 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 解给值(或式)求值题的基本思路给值(或式)求值,解决的基本思路是认真找出条件式与待求式之间的差异性,主要包括函数名称及角两个方面,然后就是巧妙地选用公式“化异为同”或代入条件式求解.有时还需对条件式或待求式进行适当化简后再作处理.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用诱导公式证明问题利用诱导公式证明问题 分析观察被证等式两端,左边较为复杂,右边较为简简,可以从
38、左边入手,利用诱导公式进行化简,逐步推向右边.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 三角恒等式的证明策略(1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则.(2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类讨论思想在化简中的应用分类讨论思想在化简中的应用 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛 对于式中含有k(kZ)的情况,将k分为k=2n和k=2n+1(kZ)两种情况求解更易于诱导公式
39、的应用.课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案D 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.如果,满足+=,那么下列式子中正确的个数是()sin =sin ;sin =-sin ;cos =-cos ;cos =cos ;tan =-tan .A.1B.2C.3D.4解析因为+=,所以sin =sin(-)=sin ,故正确,错误; cos =cos(-)=-cos ,故正确,错误;tan =tan(-)=-tan ,正确.答案C课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案B 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形
40、成当堂检测答案-5 课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测-169-7.3.17.3.1正弦函数的性质与图像正弦函数的性质与图像课标阐释 1.理解正弦函数的性质,会求正弦函数的周期、单调区间和最值,并能利用正弦函数的性质与图像来解决相关的综合问题.2.了解正弦函数图像的画法,能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图像.3.会用信息技术作正弦曲线.思维脉络 课前篇自主预习激趣诱思知识点拨如图将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板
41、,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像称为正弦曲线.它表示了漏斗相对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:正弦函数性质1.对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin x与之对应,因此y=sin x是一个函数,一般称为正弦函数.2.正弦函数的性质与图像课前篇自主预习激趣诱思知识点拨课前篇自主预习激趣诱思知识点拨3.周期:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期.名师点析 对三角
42、函数的性质的理解(1)如果y=sin x的定义域不是全体实数,那么它的值域就可能不是(2)正弦函数在其定义域上不是单调的.(3)若函数y=sin x的定义域不是R,则一定要在给定定义域内结合函数的单调性求其值域.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习1求f(x)=sin(3+x)的最大值和单调递增区间.微练习2下列函数中,不是周期函数的是()A.y=-sin x,xRB.y=3,xRC.y=sin(4+x),x-10,10D.y=sin x,x(0,+)答案C课前篇自主预习激趣诱思知识点拨课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:正弦函数的图像1.正弦曲线:一般地,y=sin x的函数图像称为正弦
43、曲线.2.“五点法”:(1)画出正弦曲线在0,2上的图像的五个关键点(2)将所得图像向左、向右平行移动(每次2个单位长度).课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析 对三角函数的图像的理解(1)作正弦函数图像时,函数自变量要用弧度制,以保证自变量与函数值都为实数.(2)正弦曲线是轴对称图形,对称轴为x= +k(kZ);正弦曲线也是中心对称图形,且对称中心为(k,0)(kZ).(3)正弦曲线相邻两条对称轴之间的距离为,相邻两个对称中心的距离也为,对称中心到其相邻对称轴的距离为 .课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微判断(1)正弦函数y=sin x的图像向左右和上下无限伸展.()(2)函数y=sin x
44、与y=sin(-x)的图像完全相同.()(3)函数y=sin x的图像关于(0,0)对称.()答案(1)(2)(3)微练习1从函数y=sin x,x0,2)的图像来看,对应于sin x= 的x有()A.1个值B.2个值C.3个值 D.4个值答案B课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习2在“五点法”中,正弦曲线最低点的x轴坐标与最高点的x轴坐标的差等于()答案B 课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测正弦函数的值域、最值正弦函数的值域、最值例1(1)(多选)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是0, ,值域为-5,-1,则a,b的值为()A.a=2,b=-7B.a=-2
45、,b=2C.a=-2,b=1D.a=1,b=-2(2)求函数f(x)=sin(+x)-cos2x的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值.分析(1)根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.(2)利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成正弦,换元求最值.课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 关于与正弦函数有关的最值(1)一次式:如果是关于正弦函数的一次式,要根据一次项的系数正负确定最值;(2)二次式:如果是关于正弦函数的二次式,则通过换元转化为一元二次函数配方求最值.课堂篇主题探
46、究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xsin(+x);分析利用函数奇偶性的定义进行判断.课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提,即首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.(2)注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法,即偶函数也可判断课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探
47、究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测正弦函数单调性的应用正弦函数单调性的应用例3比较下列各组数的大小:分析变形主要有两种:一是异名函数化为同名函数;二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上.课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(4)sin 194=sin(180+14)=-sin 14,cos 160=cos(180-20)=-cos 20=-sin 70.因为0147090,所以sin 14-sin 70,即sin 194cos 160.反思感悟 利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法(1)同名函数,若两角在同一单
48、调区间,直接利用单调性得出,若两角不在同一单调区间,则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间,再进行比较;(2)异名函数,先应用诱导公式转化为同名函数,然后再比较.课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测用用“五点法五点法”作函数的图像作函数的图像例4用“五点法”作出函数y=1+2sin x,x0,2的图像.课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 用“五点法”画函数图像的基本步骤(1)列表:课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3函数y=1-sin x,x0,2的大致图像为图中的(
49、) 课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案B 课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测分类讨论思想在正弦函数中的应用分类讨论思想在正弦函数中的应用典例 求函数y=asin x+b(a0)的最值.解若a0,当sin x=1时,ymax=a+b.当sin x=-1时,ymin=-a+b.若a0时为增函数,当a0,0)的图像,我们可以得到它的性质.(1)定义域:R.(2)值域:-A,A.课前篇自主预习激趣诱思知识点拨课前篇自主预习激趣诱思知识点拨答案C 课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测“五点法五点法”作正弦型函数的图像作正弦型函数的图像 分析采
50、用“五点法”作三角函数图像,关键在于确定“五点”.课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)对应的图像如图: 课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测正弦型函数的图像变换正弦型函数的图像变换 课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测课堂篇主题探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检
