1、、 永州市2022年高考第三次适应性考试试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i为虚数单位，复数在复平面内对应点的坐标为，则（）A. 1B. 2C. D. 2. 设集合，则（）A. B. C. D. 3. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程(单位：万千米)对应维修保养费用(单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：行驶里程/万千米1245维修保养费用/万元0500.902.302.70若用最小二乘法求得回归
2、直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是（）A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元5. 若，则（）A. 56B. 28C. D. 6. 中国古代数学瑰宝九章算术记录形似“楔体”的“羡除”所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形），两个不平行对面是三角形的五面体如图，在羡除中，四边形是边长为2的正方形，均为正三角形，平面，且，则羡除的体积为（）A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在双曲线的右支上，（为双曲线的半焦距），直线与双曲线右支交于另一个点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 8. 在
3、正四棱柱中，为的中点，点为线段上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最大值为（）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（）A. B. C. D. 、均为的最大值10. 已知事件与事件为互斥事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，则（）A. B. C. D. 事件与事件不独立11. 已知函数，则（）A. 图象关于直线对称B. 在上为减函数C. 有4个零点D. ，使12. 已知抛物线:与圆:，点抛物线上，点在圆上，点，则（）
4、A. 的最小值为B. 最大值为C. 当最大时，四边形的面积为D. 若的中点也在圆上，则点的纵坐标的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知，则_.14. 已知非零向量，满足，则与夹角为_15. 已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则_16. 已知函数，若在内单调且有一个零点，则的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 从，这两个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答.已知的内角，的对边分别为，且 .（1）求的值；（2）若外接圆半径为，求的最大值.(注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答记分)19. 某游
5、乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：摸取到的红球个数234中奖等级三等奖二等奖一等奖（1）求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；（2）若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.21. 如图，在三棱柱中，.（1）求证：；（2）若，点满足，求二面角的余弦值.
6、23. 已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和.（1）求数列通项公式；（2）在和中插入个相同的数构成一个新数列：求的前90项和25. 已知椭圆:的焦距为2，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，且直线，的倾斜角互补，求面积的最大值.27. 已知函数.（1）求的极值；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB
7、【12题答案】【答案】ACD【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】#【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】【17题答案】【答案】（1）（2）6【小问1详解】若选：由，得，由余弦定理得：，又因为，所以若选：由，得即，故又因为,所以，所以，所以【小问2详解】由正弦定理得:，即，解得，又由余弦定理得：，即所以，当且仅当“”时取等号. 所以的最大值为6.【19题答案】【答案】（1）（2）答案见解析【小问1详解】解：设一次摸球有奖活动中中奖为事件，则事件包含的基本事件有：, 基本事件总数为：，游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率为.【小问2详解】解：设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为，可以
8、取0，15，20，200，故的分布列为01520200的数学期望由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值，所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理.【21题答案】【小问1详解】连接交于点，连接，四边形为菱形，为中点，又，平面，平面，又平面，.【小问2详解】，在中，在中，有，又，平面，平面，则以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，解得：，设平面的法向量，令，解得：，；又平面，则平面的一个法向量为，又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.【23题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】解：当时，当时，递推得，因为数列各项均为正数，所以，又 ，数列为等差数列，故.【小问2详解】
9、解：在数列中，在之前的所有项数为故时，当时，数列中，之前的所有项数恰好为90 令，则, .【25题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】解：设椭圆的左、右焦点分别为、，因为焦距为2，所以且轴，故又由于，所以解得，故椭圆方程为；【小问2详解】解：设，直线的方程为，由于直线，的倾斜角互补，故联立方程，整理得，故，即且，所以，故的方程为，且所以弦长原点到直线：的距离为，所以故当且仅当时，的面积的最大值为.【27题答案】【小问1详解】解：函数的定义域为，当时，在恒成立，在单调递减，故无极值；当时，令，则，时，在单调递减；时，在单调递增；故在取极小值，且，无极大值综上，当时，无极值；当时，在取极小值，且，无极大值.【小问2详解】解：，即且且，即，为的两个零点由（1）知，当时，在取极小值，且，故又，又恒成立，对任意恒成立，且对任意恒成立令，则，对任意恒成立，则.对任意恒成立令，则当，即时，恒成立故在为单调递增函数，又，对恒成立当，即时，为单调增函数，又，使，当时，故在单调递减当时，不合题意综上，实数的取值范围为.- 13 -
