1、1.1.3 导数的几何意义 1.1.平均变化率平均变化率函数函数y=y=f(xf(x) )从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: :2.2.平均变化率的几何意义：平均变化率的几何意义：OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y121)()xf xxx 2 2f f ( (ykx 121)()xf xxx 2 2f f ( (yx 割线的斜率割线的斜率3.3.导数的概念导数的概念函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率处的瞬时变化率0000( )() ()lim xf xxf xfxx 称为函数称为函数
2、y = f (x) 在在 x = x0 处的导数处的导数, 记作记作或或 , 即即0| xxy0() fx4.4.求函数求函数y=y=f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的导数的一般步骤是处的导数的一般步骤是: :001( )()(); yf xxf x求求函函数数的的增增量量002()()( ); 求求平平均均变变化化率率f xxf xyxx003( )()lim. 取取极极限限，得得导导数数xyfxx1.1.根据导数的几何意义描述实际问题根据导数的几何意义描述实际问题. .2.2.求曲线上某点处的切线方程求曲线上某点处的切线方程. .（重点）（重点）3.3.导函数的概念及对导数的几何
3、意义的理解导函数的概念及对导数的几何意义的理解. . （难点）（难点） 平面几何中我们是怎样判断直线是否是平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？圆的割线或切线的呢？探究点探究点1 1 切线切线切线切线割线割线如图直线如图直线l1 1是曲线是曲线C C的切线吗的切线吗? ? l2 2呢呢? ? l2l1AB0 xyl1 1不是曲线不是曲线C C的切线，的切线，l2 2是曲线是曲线C C的切线的切线. .观察图形你能得到什么结论？观察图形你能得到什么结论？切线的定义：切线的定义： 当点当点 沿着曲线趋近于沿着曲线趋近于 点点 ，即，即 时，割线时，割线趋近于一个确定的位置，趋近于一
4、个确定的位置，这个确定位置的直线这个确定位置的直线PTPT称为点称为点P P处的切线处的切线. .nPP0 xnPP注：曲线的切线注：曲线的切线,并不一定与曲线只有一并不一定与曲线只有一 个交点个交点, 可以有多个可以有多个,甚至可以有无穷多个甚至可以有无穷多个.xyoy=f(x) 在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率有何联系？有何联系？平均变化率平均变化率 割线的斜率割线的斜率瞬时变化率（导数）瞬时变化率（导数）切线的斜率切线的斜率0 x 0 x 探究点探究点2
5、 2 导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 在在 处的导数就是曲线处的导数就是曲线在点在点(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率 ， 即：即：( )yf x0 xxk0000()lim()xf xxf xkfxx 曲线在点曲线在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的方程为：处的切线的方程为：000()()().yf xfxxx导数的几何意义导数的几何意义例例1 1 求曲线求曲线y=y=f(xf(x)=x)=x2 2+1+1在点在点P(1,2)P(1,2)处的切线方程处的切线方程. .QPy=x2+1xy-111OjMyx因此因此, ,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1
6、),y-2=2(x-1),即即y=2x.y=2x.0002020111 122()()lim()()lim()lim. xxxf xxf xkxxxxxx解：解：【总结提升总结提升】求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: :求出切点求出切点P P的坐标；的坐标；求切线的斜率，即函数求切线的斜率，即函数y=y=f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的处的导数；导数；利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程. .例例2 2 如图如图, , 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数它表示跳水运动中高度随时间变化的函数105 . 69 . 4)(2ttth的图象的图象.
7、 . 根据图象根据图象, , 请描述、请描述、比较曲线比较曲线 在在 附近的变化情况附近的变化情况. .)(th210,ttttoht0t1t2l0l1l2t4t3解解: :可用曲线可用曲线 h(th(t) ) 在在t t0 0 , t, t1 1 , t, t2 2处的切线刻画曲线处的切线刻画曲线h(th(t) )在上述三在上述三个时刻附近的变化情况个时刻附近的变化情况. .(1)(1)当当t = tt = t0 0时时, , 曲线曲线 h(th(t) ) 在在 t t0 0 处的切线处的切线 l0 0 平行于平行于 t t 轴轴. .故在故在t = tt = t0 0 附近曲线比较平坦附近
8、曲线比较平坦, , 几乎没有升降几乎没有升降. .tohl0t0t1l1t2l2t4t3(2)(2)当当 t = tt = t1 1 时时, , 曲线曲线 h(th(t) ) 在在 t t1 1 处的切线处的切线 l1 1 的斜率的斜率 h (th (t1 1) 0 .) 0 .故在故在t = tt = t1 1 附近曲线下降附近曲线下降, ,即即函数函数 h(th(t) ) 在在 t = tt = t1 1 附近单调递减附近单调递减. . tohl0t0t1l1t2l2t4t3 从图可以看出，直线从图可以看出，直线 l1 1 的倾斜程度小于直线的倾斜程度小于直线 l2 2 的倾斜程度，这说明
9、曲线的倾斜程度，这说明曲线h(t) h(t) 在在 t t1 1 附近比在附近比在t t2 2 附附近下降得缓慢近下降得缓慢. .(3)(3)当当 t = tt = t2 2 时时, , 曲线曲线 h(t) h(t) 在在 t t2 2处的切线处的切线 l2 2 的斜率的斜率 h h (t(t2 2) ) 0 .0 .故在故在 t = tt = t2 2 附近曲线下附近曲线下降降, ,即函数即函数 h(t) h(t) 在在t = tt = t2 2 附附近也单调递减近也单调递减. . 【总结提升总结提升】通过观察跳水问题中导数的变化情况通过观察跳水问题中导数的变化情况, ,你得到了哪你得到了哪
10、些结论些结论? ?(1)(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；切线近似代替；(2)(2)函数的单调性与其导函数正负的关系；函数的单调性与其导函数正负的关系；(3)(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系. . 例例3 3 如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)c=f(t)（单位：（单位：mg/mlmg/ml）随时间）随时间t t（单位：（单位：minmin）变化的函数图象，根）变
11、化的函数图象，根据图象，估计据图象，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8 mint=0.2,0.4,0.6,0.8 min时，血管中时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。( (精确到精确到0.1)0.1)解：解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率, ,就是就是药物浓度药物浓度函数函数f(tf(t) )在此时刻的导数在此时刻的导数, , （数形结合，（数形结合，以直代曲）以直代曲）从图象上看从图象上看, ,它表示曲线在该点处的切它表示曲线在该点处的切线的斜率线的斜率. .下表给出了药物浓度瞬时
12、变化率的估计值，验证一下，下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值，验证一下，这些值是否正确这些值是否正确. .t t0.20.20.40.4 0.6 0.6 0.8 0.8药物浓度的药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率f(tf(t) ) 04 . 10.40.4-0.7-0.7 0000,.,(derivativefunction)().,lim.xfxxxxxfxxfxxfxyfxfxxfxyfxyx 从从求求函函数数在在处处导导数数的的过过程程可可以以看看到到 当当时时是是一一个个确确定定的的数数 这这样样 当当变变化化时时便便是是 的的一一个个函函数数 我我们们称称它它为为的的简简称称的的导导函
13、函数数有有时时也也记记作作即即导导函函数数导数导数一、选择题一、选择题1.1.曲线曲线y y2x2x2 21 1在点在点(0,1)(0,1)处的切线的斜率处的切线的斜率是是( () )A A4 4 B B0 0C C4 4 D D不存在不存在B B2曲线 y12x22 在点(1，32)处切线的倾斜角为 ( ) A1 B.4 C.54 D4 B B3 3若曲线若曲线y yh(xh(x) )在点在点P(aP(a，h(ah(a)处的切线方程处的切线方程为为2x2xy y1 10 0，那么，那么( () )A Ah(ah(a) )0 0 B Bh(ah(a)0)0 )0 D Dh(ah(a) )不确定
14、不确定B B4.4.曲线曲线y yx x3 3在点在点P P处的切线斜率为处的切线斜率为3 3，则点，则点P P的坐的坐标为标为( () )A.(A.(2 2，8) B.(1,1)8) B.(1,1)，( (1 1，1)1)C.( 2 , 8) D.C.( 2 , 8) D.B B1128（-，-，- ）- ）二、填空题 5已知曲线 y1x1 上两点 A(2，12)，B(2x，12y)，当 x1 时，割线 AB 的斜率为_ 16- -6P 是抛物线 yx2上一点，若过点 P 的切线与直线y12x1 垂直，则过点 P 的切线方程为_ y y2x2x1 12.2.函数函数 在在 处的导数处的导数
15、的的几何意义几何意义，就是函数就是函数 的图象在点的图象在点 处的切线的斜处的切线的斜率率（数形结合）（数形结合） )(xf0 xx 0/xf)(xf00,()P xf x0000/()()()lim xf xxf xfxx切线切线 的斜率的斜率k k1.1.曲线的切线定义曲线的切线定义4.4.导函数导函数( (简称导数简称导数) ) 0()( )( )limxf xxf xfxx 3.3.利用利用导数的几何意义导数的几何意义解释实际生活问题，体会解释实际生活问题，体会 “数形结合数形结合”，“以直代曲以直代曲”的数学思想方法的数学思想方法. . 以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对
16、象聪明在于勤奋，天才在于积累. 华罗庚小时候，我可以在母亲的背上无忧无虑的长大，是母亲编织了女儿的梦，点燃了心中那盏灯，伴我走过人生那坎坷的路程。小时候，我可以在母亲的背上无忧无虑的长大，是母亲编织了女儿的梦，点燃了心中那盏灯，伴我走过人生那坎坷的路程。我想不起病重的母亲是怎样背着我走路，我是怎样在母亲背上长大，可想而知，有病的母亲比健康的人更艰难。是母亲让我学会了人之初，做人做事的道理。当时我不懂母亲的心，她的爱她的温柔，她的关怀和牵挂，不懂事的我在母亲的包容下慢慢地长大，当我知我想不起病重的母亲是怎样背着我走路，我是怎样在母亲背上长大，可想而知，有病的母亲比健康的人更艰难。是母亲让我学会了
17、人之初，做人做事的道理。当时我不懂母亲的心，她的爱她的温柔，她的关怀和牵挂，不懂事的我在母亲的包容下慢慢地长大，当我知道和读懂母亲的时候，母亲含着眼泪，带着多少担忧与牵挂永远的离开了我。道和读懂母亲的时候，母亲含着眼泪，带着多少担忧与牵挂永远的离开了我。我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取
18、代，也是我的最爱，更是难忘的爱！母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取代，也是我的最爱，更是难忘的爱！我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人对她的冷眼，天寒地冷的无奈我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人对她的冷眼，天寒地冷的无奈我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一个不满周岁
19、的孩子，可想而知，这是多么不容我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一个不满周岁的孩子，可想而知，这是多么不容易的事，每当小姨妈讲起那段往事，我就想起那苦难无助地童年，小姨妈无私的爱，让我永远难忘。小姨妈的人生很苦，很少有人去关她，可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出了她的青春和所有的爱。易的事，每当小姨妈讲起那段往事，我就想起那苦难无助地童年，小姨妈无私的爱，让我永远难忘。小姨妈的人生很苦，很少有人去关她，可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出
20、了她的青春和所有的爱。我母亲去世后小姨妈也经常照顾我，关心我。她不但关爱我，还有我的三姨家兄弟妹们。还在我母亲没有去世时，我的三姨妈由于有病去世了，留下四个孩子，最小的才两岁，她为了照顾这四个孩子，就和我三姨父结婚，把他们养大成人，现在孩子们都有了自己的我母亲去世后小姨妈也经常照顾我，关心我。她不但关爱我，还有我的三姨家兄弟妹们。还在我母亲没有去世时，我的三姨妈由于有病去世了，留下四个孩子，最小的才两岁，她为了照顾这四个孩子，就和我三姨父结婚，把他们养大成人，现在孩子们都有了自己的家，可是小姨妈由于劳累过度，而病倒了，现在病在床上不能自理，当我今年回家看到小姨妈时，我很惭愧，她为我们付出的太多
21、了，可我们又给了她什么，她看到我时那含泪的笑容，我才体会到母爱的无私和伟大，也许她不求我们什么，能常回家看看足矣，可我们却家，可是小姨妈由于劳累过度，而病倒了，现在病在床上不能自理，当我今年回家看到小姨妈时，我很惭愧，她为我们付出的太多了，可我们又给了她什么，她看到我时那含泪的笑容，我才体会到母爱的无私和伟大，也许她不求我们什么，能常回家看看足矣，可我们却做不到，当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。做不到，当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣
22、，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师戴尔戴尔泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷
23、追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追你真没用，连一只受伤的兔子都追不到！不到！”猎狗听了很不服气地辩解道：猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！我已经尽力而为了呀！”再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地
24、问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？”兔子说：兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！”泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出圣经圣经马太福音马太福音中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。高塔餐厅参加免费聚
25、餐会。圣经圣经马太福音马太福音中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。几天后，班中一个几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字
26、不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？你为什么能背下这么长的文字呢？”这个男孩不假思索地回答道：这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。我竭尽全力。”16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔盖茨。盖茨
27、。泰勒牧师讲的故事和比尔泰勒牧师讲的故事和比尔盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了28左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所本教科书，可以学完十几所大学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有大学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
