1、总复习总复习 第二章第二章 极限与连续极限与连续1. 正确理解数列极限与函数极限的定义，能用定义证明简单函数的极限.例例1、用定义证明下列极限 1)211 (limnn(1)nn21| 1)211 ( |0分析： 对于任意给定的 要使 1log2n1log2N只要 故可取| 1)211 ( |n当nN时 有1)211 (limnn所以证明证明 因为对于任意给定的 存在1log02N| 2| ) 4(24|2xxx424lim22xxx (2) 证明证明 因为对于任意给定的 0 存在 当0|x(2)|时 有424lim22xxx所以 2. 熟练掌握极限存在的充要条件，会用充要条件判定分段函数在分
2、段点的极限的存在性.Axfxx)(lim0)(lim0 xfxxAxfxx)(lim01lim|lim00 xxxxxxxxxxxx|lim|lim001lim|lim00 xxxxxx证明证明 因为 xxx|lim0所以不存在xxx|lim0例例2、证明 不存在,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx设则有;)(lim)(lim)()(lim000ABxgxfxgxfxxxxxx(2);()(lim)(lim00为常数ccAxfxxcfxxxx(3).0()(lim)(lim)()(lim000BBAxgxfxgxfxxxxxx(4);)(lim)(lim)()(lim000BAxg
3、xfxgxfxxxxxx(1)3 熟练掌握极限的四则运算法则4熟练掌握极限存在的准则熟练掌握极限存在的准则. Axhxgxxxx)(lim)(lim00准则I 设函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的某空心邻域内满足条件（1） g(x)f(x)h(x)（2）Axfxx)(lim0则有准则II 单调有界数列必有极限.1sinlim10 xxxe)11 (lim2nnne)11 (limxxxe)1 (lim10 xxx5、熟练掌握重要极限 (1) 用四则运算法则求极限. (2) 用“适当变型法”求极限. (3) 用重要极限求极限. (4) 用无穷小量的性质求极限. (5) 用极限存在的充要条
4、件来确定分段函数在分段点处的极限.6、熟练掌握求极限的方法7. 理解无穷小量与无穷大量的定义。 (1) 以零为极限的变量叫做无穷小量. (2) 绝对值可以无限增大的变量叫做无限大量.8.熟记无穷小的性质，熟练掌握用性质求极限的方法. 性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量. 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量. 性质3 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.设f(x)和g(x)为同一变化过程中的无穷小量， (1)如果0K，则称f(x)和g(x)为此变化过程中的同阶无穷小量； (2)如果K0，则在此变化过程中，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小量，简称f(x)是g(x)的高阶无穷小量，记作f(x
5、)o(g(x)； (3)如果K，则在此变化过程中，称f(x)是比g(x)低阶的无穷小量，简称f(x)是g(x)的低阶无穷小量.Kxgxf)()(lim9. 理解无穷小的阶的概念，会比较无穷小的阶.例例2、求下列各极限 nxxxnnx ) 1 (lim21111lim1xxnx (1)11lim1xxnx1) 1)(1(lim211 xxxxxnnx解解 uuu11lim43 (2)uuu11lim4301111lim44uuuu解解 4)42(lim)42(lim202220 xxxxxx22042limxxx (3)42)(42()42(lim42lim22220220 xxxxxxxx 解
6、解 22312lim4xxx) 312)(4()22)(82(lim4xxxxx322312)22( 2lim4xxx22312lim4xxx (4)解解 0)cos3)(1(lim32xxxxxxxxxx32)cos3)(1(lim(5)4cos301lim32xxxxx解解 xxxxxsinsinlim0 (6)xxxxxsinsinlim0020sin1sin1lim0 xxxxx解解 1)11(limxxxx211)11 ()11 (limeeexxxxx (7)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxxxxx解解 xxx210)21ln(lim3232ln32exxx
7、3sin)21ln(lim0 (8)xxx3sin)21ln(lim0 xxxxx2)21ln(3sin332lim0解解 03)2(lim23kkxxx432lim23xkxxx若 求k的值 所以当x3时 x3与x22xk是同阶的无穷小量 因此 k3例例3、432lim23xkxxx解解 因为例例4、当x0时 无穷小量xsin x2是x的几阶无穷小量？所以当x0时 xsin x2与x是等价无穷小量 1)sin1 (limsinlim2020 xxxxxxx解解 因为1、 下列极限存在的有( ) 121lim0 xx (B)0lim10 xxexxe10lim (C) xxx1lim2 (D)
8、例例5、选择题2) 1(limxxxx121lim0 xxxxe10limxxx1lim2 (B) (C) (D) (A)1)11 (lim) 1(lim22xxxxxx (A) 提示 答 A 2 下列极限正确的有( ).xxe10lim0lim10 xxexxe10lim (A)不存在 这是因为 x10lim10 xxe (B) 当x0时 x1xxe10lim (C) 当x0时 01x1lim1xxe (D) 当x 时 xxe10lim0lim10 xxexxe10lim1lim1xxe (B) (C) (D)(A)答 B C D 3 f(x)在点xx0处有定义 是当xx0时 f(x)有极限
9、的( ) (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充分必要条件 (D)无关的条件 答 D 函数f(x)在x0点的极限与函数f(x)在x0点的定义情况无关 1) 1sin(lim. 421xxx221) 1(1) 1sin(lim1) 1sin(lim22121xxxxxxx21 (A) 1 (B) 0 (C) 2 (D)答 C 十、函数在一点连续的定义；十、函数在一点连续的定义；定义 1 设函数)(xf在)(0 xU 内有定义,如果0lim0 D DD Dyx ,则称函数)(xf在点0 x连续。 定义 2 设函数)(xf在)(0 xU 内有定义,如果 ,则称函数)(xf在点0 x连续。 )()(
10、lim00 xfxfxx:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 2.间断点函数的不连续点 十一初等函数的连续性十一初等函数的连续性 (1) 、连续函数经过有限次四则运算后得到的函数仍为连续函数 (2) 、连续函数经过有限次复合运算后得到的复合函数仍为连续函数 (3) 、严格单调的连续函数的反函数仍为严格单调的连续函数 (4) 、基本初等函数在其定义域内连续 (5) 、一切初等函数在其定义区间内都连续。十二闭区间上连续函数的性质十二闭区间上连续函数的性质ba ,ba ,
11、)(xf在闭区间上连续，则(1)有界性定理：若函数它在上有界)(xfba, (2)最大值和最小值定理：若函数在闭区间上连ba ,续，则它在上必能取得最大值和最小值 (3)介值定理：若函数)(xfba,在闭区间上连续，则它必取得介于端点函数值f（a）与f（b）之间的一切值C.)(xfba,0)()(bfaf0)x(f(4)根的存在定理：若函数在闭区间上连续，且，则方程在（a,b）内至少。 有一个实根例例6、0)(2lim320DDDxxxx证明下列函数y3x21在( )内是连续函数。 从而y3x21在( )内是连续函数 )13 (1)( 3 limlim2200DDDDxxxyxx解解 因为所以
12、y3x21在( )内任意点处都连续 例7、函数 在其定义域内是否连续？ 3|1 |1| |)(xxxxxxf11limlim|lim)(lim1111xxxxxxxxxf) 1()(lim1fxfx 解 、函数的定义域为3, 3因为f(1)|1|1 而 所以函数在x1处不连续因此函数在定义域内不连续例例8、111lim)(lim00 xxxxfxx解解 因为 所以令f(0)1能使f(x)在点x0处连续xxxxf11)(给f(0)补充定义一个什么数值 能使在点x0处连续？例例9、设 0 1 1sin0 0 sin)(xxxxkxxxxf问当k为何值时 函数f(x)在其定义域内连续？解解因为函数在
13、区间(, 0)和(0, )内是连续，所以当k1时 函数f(x)在其定义域内连续 又在x0处 f(0)k f(00)f(00)1，例例10、22sinlim)(lim00 xxxfxx2)23 (lim)(lim200kxxxfxx0 230 2sin)(2xkxxxxxxf设解解 因为函数在区间(, 0)和(0, )内是连续，所以函数f(x)在x0处是连续的 问当k为值时 函数f(x)在其定义域内连续？所以当k2时 函数f(x)在其定义域内连续 又当k2时 f(0)2 并有 例例11、证明 方程yx43x27x10在(1 2)内至少有一个实根证明证明 设f(x) x43x27x10 则f(x)
14、是闭区间1 2上的连续函数，且 f(1)50 f(2)180。根的存在定理知 至少有一点x(1 2)使f(x)0即方程yx43x27x10在(1 2)内至少有一个实根例例12、2)100(lg0arcsin) 0100lg(21210a21arcsin)100lg(xaxx解解 因为是初等函数且在x0有定义210arcsin)100lg(limxaxxx求210arcsin)100lg(limxaxxx所以 例例13、选择题 (A)是连续函数 (B)有界函数 (C)有最大值与最小值 (D)有最大值无最小值 函数在x0处取得最大值 无最小值 所以(D)是正确的 21 xy1、 当|x|1时 ( )答 A B D 21 xy是初等函数 在其定义域1, 1内是连续有界当然在(1, 1)内也是连续的有界的 所以(A)、(B)正确 (A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关的条件 这说明函数f(x)在x0点必须有定义 2、 f(x)在点x0处有定义 是f(x)在x0处连续的( )()(lim00 xfxfxx若函数f(x)在x0点连续 则答 A
