1、2022-5-19电子信息工程学院18.1 非线件控制系统概述非线件控制系统概述一、为什么研究非线性控制系统一、为什么研究非线性控制系统 理想的线性系统并不存在，实际系统往往都是非线性系统，只是做了一些合理的假设以后把他们看成线性系统来处理。但是，这种线性方法并不是在一切情况下都适用的。系统中的非线性主要存在于两个部分1）控制仪表和传动机构2）对象本身的特性 2022-5-19电子信息工程学院2小偏差线性化：小偏差线性化：实质：实质：将连续变化的非线性函数y=f(x)在平衡工作点（x0 y0）展开为泰勒级数：xyy=f(x)x0202200)()(! 21)()()(00 xxdxxfdxxd
2、xxdfxfyxx增量较小时略去其高次幂项，则有)()()(0000 xxxfxfxfyyxKy2022-5-19电子信息工程学院3例单摆运动 lMgsinMg单摆运动示意图根据牛顿运动定律可以直接导出此系统的动态方程为0sindt22MgdtdldMl非线性项这是一输入为零，输出量为摆幅的二阶非线性微分方程。当控制系统处在自动调节状态的小摆幅下运行时，可应用小偏差线性化方法将非线性系统线性化。000cossin)sin(sinsin平衡状态为 000)()(dt)(22MgdtdldMl0dt22MgdtdldMl线性二阶微分方程2022-5-19电子信息工程学院4小偏差线性化条件：小偏差线
3、性化条件：（1）系统中的变量在某一额定工作点附近做微小变化。（2）非线性特性在此工作点可导，也就是曲线光滑。在许多情况下，上述条件并不能够满足，如：存在有本质非线性情况。1 1、饱和特性、饱和特性atekaatekaatetketx)( )( )( )()(aak0ue放大器等很多元件都具有饱和特性2 2、死区特性、死区特性0)( 10)( 1)(sgn )( )(sgn)()( 0)(teteteateteatekatetxaak0ue测量元件，电机等都有死区2022-5-19电子信息工程学院53 3、间隙特性、间隙特性0)( )(0)( )()(txatektxatektxaak0 xe齿
4、轮间隙是典型的间隙特性4 4、继电器特性、继电器特性2022-5-19电子信息工程学院6二、非线性控制系统的特点二、非线性控制系统的特点2 2、稳定性分析复杂。、稳定性分析复杂。 1 1、非线性系统的重要特征是不满足线性叠加原理。、非线性系统的重要特征是不满足线性叠加原理。例：一阶非线性系统：) 1(2ccccc 两个平衡状态 ， 0c1c其解为tttecceccectc000001111)(平衡状态 是稳定的平衡状态0c小范围稳定10c1c平衡状态 是不稳定的平衡状态c=1c(t)c=0tc01c01 由于描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程，因此叠加原理不能应用。故能否应用叠加原理
5、是两类系统的本质区别。故能否应用叠加原理是两类系统的本质区别。2022-5-19电子信息工程学院7 对于线性系统，只有一个平衡状态，而且其稳定性只取决于系统本身的结构和参数，与外作用和初始条件无关。对于非线性系统，系统可能存在多个平衡状态，系统的稳定性需要考虑各个平衡状态的稳定性，而且其平衡状态的稳定性与外作用和初始条件有关。总结：总结：3、可能存在自激振荡现象、可能存在自激振荡现象 所谓自激振荡自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。 范德波尔方程 0)1 (22cccc 0非线性阻尼项 2022-5-19电子信息工程学院80)1 (22ccc
6、c 当扰动使 时 1c0)1 (22c系统具有负阻尼 此时系统从外部获得能量， 的运动呈发散形式 )(tc当扰动使 时 1c0)1 (22c系统具有正阻尼 此时系统消耗能量 ， 的运动呈收敛形式 )(tc1c当 时，系统为零阻尼，其运动呈等幅振荡形式 系统能克服扰动的影响，保持幅值为1的等幅振荡自持振荡自持振荡 tc(t)10-1非线性系统的自持振荡2022-5-19电子信息工程学院94 4、频率响应发生畸变、频率响应发生畸变 非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量(基频分量)外，还含有关于 的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。 例：死区非线性特性三、非线性系统的分析与设
7、计方法三、非线性系统的分析与设计方法 (1) 相平面法 相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。该方法既能提供稳定性信息，又能提供时间响应信息，特别适用于分析非线性系统在不同初始条件下或非周期信号输入(脉冲、阶跃、斜坡等)作用下的瞬态响应特性。但相平面法只限于一阶、二阶系统的分析和设计。 (2) 描述函数法 描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。特别适用于分析非线性系统的稳定性或自激振荡 。 (3) 逆系统法2022-5-19电子信息工程学院10常见的本质非线性aak0ueaak0ueaak0 xe2022-5-19电子信息工程学院118.2 8.2 相平
8、面法相平面法一、相平面的基本概念一、相平面的基本概念 描述二阶时不变系统的常微分方程为),(ccfc ),(ccf是 和 的线性或非线性函数 )(tc)(tc 系统运动的相变量相变量( (状态变量状态变量) ) )(tc)(tc )(tc)(tc 横坐标纵坐标0)(tc)(tc 相平面相平面（ ， ）直角坐标平面称为相平面相平面 )(tc)(tc 在一定的初始条件 下，求解),(00cc),(ccfc )(tc)(tc 相变量从初始时刻 对应的状态点起 ，随着时间 的推移，状态点在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹相轨迹 。t),(00cc0t不同的初始状态对应不同的相轨迹相轨迹簇。相轨迹簇。2
9、022-5-19电子信息工程学院12相平面图相平面图相轨迹簇相轨迹簇相平面相平面相平面法根据相平面图分析系统的运动特征0cc )(tc )(tcttt1t2t3t4t1t2t3t4t1t2t3t42022-5-19电子信息工程学院13例8-1 某弹簧-质量运动系统如图所示，若初始条件为 ， ，试确定系统自由运动的相轨迹 。 0)0(cc0)0(cc 描述系统自由运动的微分方程式为 0cc cdccdc)(202022cccc该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、 为半径的圆 2020cc分离变量积分得：cc 00c0c 2022-5-19电子信息工程学院14例8-2 已知系统的结构图如下图
10、所示，求零初始条件，单位阶跃输入下系统运动的相轨迹。-( )R s( )C sk11Tss1) 1()(0TssksG系统的开环传递函数)() 1()()(11)(20sRksTsTsssRsGsE对单位阶跃输入)( 1)(ttr关于误差的微分方程为0keeeT 由给定零初始条件得1)0(e0)0(e ee (1,0)0MP2022-5-19电子信息工程学院15二、相轨迹的性质：二、相轨迹的性质：（1）相轨迹上每一点斜率）相轨迹上每一点斜率),(ccfc ),(ccfcdccddtdcdccddtcdc cccfdccd),(相轨迹斜率（2 2）相轨迹的奇点）相轨迹的奇点 0c 0),(ccf
11、当相轨迹同时满足 ， 时 ，该点相轨迹的斜率为0/0 ，是一个不定值，因此通过该点的相轨迹就有无数多条。 0c 同时满足 ， 的点称为奇点。0),(ccf0c 0),(ccf如果在一条线上满足 ， 则该直线为奇线 。0c 2022-5-19电子信息工程学院16（3 3）相轨迹正交于）相轨迹正交于 轴轴c在 轴上 ，因而除去奇点外，在这些点上的斜率为，这表示相轨迹与相平面的横轴正交。c0c （4 4）相轨迹的运动方向）相轨迹的运动方向在相平面的上半平面， 0c 随着时间的推移，系统状态沿相轨迹的运动方向是 的增大方向，即向右运动。 c在相平面的下半平面， 0c 随着时间的推移，系统状态沿相轨迹的
12、运动方向是 的减小方向，即向左运动。 ccc 0c 00c 2022-5-19电子信息工程学院17 三、相轨迹的绘制方法相轨迹的绘制方法（1）解析法（2）等倾线法直接由微分方程获得 和 的解析关系式 。)(tc)(tc 基本思想：基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。 （不需求解微分方程）等倾线：相平面上相轨迹具有相等斜率的点的连线等倾线：相平面上相轨迹具有相等斜率的点的连线。),(ccfc cccfdccd),(该方程给出了相轨迹在相平面上任一点 处切线的斜率。取相轨迹切线的斜率为某一常数 ，得等倾线方程 ：),(cc aa
13、ccfc),( 对于线性系统，等倾线为直线，非线性系统的等倾线为曲线。2022-5-19电子信息工程学院18试用等倾线法绘制二阶系统的相轨迹图。 例8-310022cccnn acccdccdnn22cacnn22等倾线方程5 . 01n， 设 ，等倾线方程为cac11过原点，斜率 的直线11ak据此，求得 取不同值时的等倾线：0a1k2a1k2 . 1a5k1ak2a2 . 1a1a0acc a当 取不同的值时，就得到不同斜率的等倾线，在每一条等倾线上作一系列相应斜率为 的短线段。 aa2022-5-19电子信息工程学院19 （3） 法（圆弧近似法）2a2 . 1a1a0acc 在绘制相轨迹
14、时，只要从初始点出发，沿着方向场依次连接各等倾线上的短线段。就得到系统在确定初始条件下的完整的相轨迹。由图可见，由任何初始状态出发的相轨迹是一卷向坐标原点的螺旋线。 使用等倾线法绘制相轨迹应注意：坐标轴小和应选用相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线；一般地，等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确。但随所取等倾线的增加，绘图工作量增加，同时也使作图产生的积累误差增大。为提高作图精度，可采用平均斜率法，即取相邻两条等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线间直线的斜率。2022-5-19电子信息工程学院20四、线性系统的相轨迹四、线性系统的相轨迹一阶线性系统一阶线性系统一阶
15、线性系统自由运动的微分方程：0ccTcTc1c cT0稳定不稳定2022-5-19电子信息工程学院21二阶线性系统二阶线性系统二阶线性系统自由运动的微分方程：0bccac 022cccnn 对应的特征方程的特征根2422, 1baa求其等倾线方程：令cbccadccdatbctc)()( 等倾线方程等倾线斜率为：abk两条特殊的等倾线：)()()(tcatbctc等倾线斜率过等倾线的相轨迹的斜率当相轨迹运动至特殊的等倾线时，将沿着等倾线收敛或发散渐近线2022-5-19电子信息工程学院22两条特殊的等倾线斜率满足：)()()(tcatbctc02ba2422, 1baa二阶线性系统自由运动的微
16、分方程 所对应的特征方程的特征根1、0b2422, 1baa12c ccc1cc22022-5-19电子信息工程学院232、0ba21, 012adccdcc 0ac c0a奇线0c 0 cac 发散收敛2022-5-19电子信息工程学院243、0b取ba2（1）1012cc 0相轨迹是以振荡的方式卷向平衡点（2）12, 1两个相等的负实根相轨迹是以非振荡的方式趋向平衡点cc cc2022-5-19电子信息工程学院25（3）11两个互异的负实根2cc cc1cc2相轨迹是以非振荡的方式趋向平衡点（4）01一对纯虚根2cc 0相轨迹为等幅振荡2022-5-19电子信息工程学院26（5）0112c
17、c 0（6）112c c2022-5-19电子信息工程学院27（6）12, 1c c总结：2022-5-19电子信息工程学院283 3、奇点与极限环、奇点与极限环 （1）奇点同时满足 ， 的点称为奇点。0),(ccf0c 2022-5-19电子信息工程学院29c cjjc c0jc c0jc cjc c0jc c稳定焦点不稳定焦点稳定节点不稳定节点 中心点 鞍点2022-5-19电子信息工程学院30cc 0ccc 0c尽量增大此类极限环的尺寸尽量减小此类极限环的尺寸稳定的极限环不稳定的极限环2022-5-19电子信息工程学院31cc 0cc 0cc尽量增大此类极限环的尺寸尽量避免此类极限环的存
18、在半稳定的极限环半稳定的极限环2022-5-19电子信息工程学院32非线性系统的相平面分析（针对于本质非线性）非线性系统的相平面分析（针对于本质非线性） 基本思想：分段线性化非线性系统分区线性系统相轨迹开关线-( )R s( )C s) 1(TsskMMem继电型非线性元件特性 0eMm 0eMm开关线： 0ec c区区继电型非线性系统的分析 例例8-48-42022-5-19电子信息工程学院33设)( 1)(ttrcre) 1()()(TssKsMsC在在区内区内 0eMm 系统误差方程为 KMKmeeT deedee 由deeda令等倾线方程 TaTKMe/1/显然等倾线是平行于 轴的一族
19、直线，因此相轨迹是沿水平方向平移的一族曲线。 e渐近线：0deeda令KMec c区区KM2022-5-19电子信息工程学院34在在区内区内 0eMm系统误差方程为 KMKmeeT 两个区域的相平面图关于原点对称 等倾线方程 TaTKMe/1/渐近线：KMe c c区区KMKM2022-5-19电子信息工程学院35初始状态(1，0) c c区区KMKMABCD 由A点开始，沿相轨迹曲线运动到开关线上的衔接点B；进入区，再从B点开始沿相轨迹曲线运动到分界线上的衔接点C；然后再进入I区，如此往复。经过如此的往返振荡，从理论上说系统状态最后收敛于原点(0，0)。系统运动曲线呈衰减振荡形式，静态误差为
20、零。2022-5-19电子信息工程学院36)(tc-)(tx)(ty0)( tr)(sGN非线性环节线性部分设非线性环节输入输出描述为)(xfy 当非线性环节的输入信号为正弦信号tAtxsin)(8.3 8.3 描述函数法描述函数法 一、描述函数的基本概念描述函数的基本概念一般情况下， 为非正弦周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：)(ty)sin()sincos()(1010nnnnnntnYAtnBtnAAty直流分量 第n次谐波分量 2022-5-19电子信息工程学院37直流分量直流分量当非线性元件的特性对坐标原点是当非线性元件的特性对坐标原点是奇对称奇对称时，时，00A)sin()sin
21、cos()(1010nnnnnntnYAtnBtnAAty200)(21tdtyA20cos)(1ttdntyAn20sin)(1ttdntyBn22nnnBAYnnnBAarctg直流分量 第n次谐波分量 一般本质非线性均满足 当系统的线性环节具有低通滤波特性时，可认为当系统的线性环节具有低通滤波特性时，可认为 中只有一次中只有一次谐波分量会对输出产生影响。谐波分量会对输出产生影响。)(ty)sin(sincos)(1111tYtBtAty非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。2022-5-19电子信息工程学院38定义：定义： 正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一正
22、弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数描述函数。 AjABeAYeANANjANj111)()()()sin(sincos)(1111tYtBtAtytAtxsin)(非线性系统描述函数法分析的应用有三个条件：非线性系统描述函数法分析的应用有三个条件： 1、非线性系统应简化成一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式 。2、非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的。3、系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。 2022-5-19电子信息工程学院39二、描述函数的计算二、描述函数的计算 关于描述函
23、数的计算，具有以下特点： 若)(ty)()(tyty为奇函数，即，则0cos)()cos()(1cos)(cos)(1cos)(1cos)(10000201ttdtytdttyttdtyttdtyttdtyttdtyA为奇函数，且又为半周期内对称)(ty201sin)(4ttdtyB描述函数为实数AjABeAYeANANjANj111)()()(2022-5-19电子信息工程学院40例例8-78-7设继电特性为0,0,)(xMxMxy试计算该非线性特性的描述函数。输入信号 tAxsin2,0,)(tMtMxy02)(2102200tdtdMtdtyA直流分量为零2020120022014|co
24、s|cossin)(10|sin|sincoscoscos)(1MuuMttdtyBuuMttdttdMttdtyAAMAjABAN4)(11继电特性的描述函数2022-5-19电子信息工程学院41典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数 ：理想继电特性 AM4有死区的继电特性 hAAhAM,142有滞环的继电特性 hAAMhjAhAM,41422有死区与滞环的继电特性 hAmAMhjAhAmhAM),1(21122222022-5-19电子信息工程学院42三、非线性系统稳定性分析的描述函数法三、非线性系统稳定性分析的描述函数法 1.化简成标准形式2.稳定性分析用奈氏判据，闭环频率特性)()(1)()()()(jGANjGANjRjC)(1)(0)()(1 ANjGjGAN特征方程负倒描述函数：-1/N(A)2022-5-19电子信息工程学院43对于奈氏判据，线性系统的对应非线性系统的/N(A)。设线性部分是最小相位系统，稳定性判据如下。1）线性部分频率特性G(j)不包围/N(A)，稳定。2）线性部分频率特性G(j)包围/N(A)，不稳定。3）线性部分频率特性G(j)与/N(A)相交，可能产生自持振荡，需进一步分析。
