1、第七章 哈密顿正则方程东北大学理学院应用力学研究所李永强应用力学研究所 李永强第2页第七章 哈密顿正则方程7.1 哈密顿正则方程哈密顿正则方程 7.2 Hamilton canonic equation的首次积分的首次积分 7.3 泊松括号泊松括号 泊松定理泊松定理 7.4 正则变换正则变换 7.5 用用Lagrange 括号和括号和Poisson括号判别正则变换括号判别正则变换 7.6 哈密顿雅可比方程哈密顿雅可比方程 7.7 变量的分离变量的分离 应用力学研究所 李永强第3页7.1 哈密顿正则方程 保守系统的情形保守系统的情形 非保守系统的情形非保守系统的情形 应用力学研究所 李永强第4页
2、7.1 哈密顿正则方程 保守系统的情形1. Lagrange 变量与变量与Hamilton 变量变量 Lagrange 函数：函数： ； Lagrange 变量：变量变量：变量qj， ，t 称为，其中称为，其中qj为广义坐标，为广义坐标，j =1, 2, ,k Hamilton 以广义动量以广义动量 pj 代替广义速度代替广义速度 Hamilton 变量：变量变量：变量qj ，pj ，t称为，其中称为，其中pj 为广义动量，为广义动量，j =1,2,k Hamilton 函数：函数： 哈密顿正则方程哈密顿正则方程( Hamilton canonical equation)：以：以Hamilto
3、n 函数函数H代代替替Lagrange函数，用函数，用2k个关于广义坐标个关于广义坐标 qj 和广义动量和广义动量 pj 为变量的一阶常微为变量的一阶常微分方程组，称为哈密顿正则方程或简称正则方程。分方程组，称为哈密顿正则方程或简称正则方程。 tqqqqqqLkk,2121jq jq tpppqqqHkk,2121应用力学研究所 李永强第5页7.1 哈密顿正则方程 保守系统的情形2哈密顿正则方程的推导哈密顿正则方程的推导 利用勒让德变换把以利用勒让德变换把以( qj , , t )为变量的为变量的Lagrange函数函数L变换成以变换成以( qj, pj, t )为新变量的为新变量的Hamil
4、ton函数函数 H jq LqpHkjjj1将将Lagrange函数函数 HqpLkjjj1代入代入Hamilton原理，即原理，即 0dd10101ttkjjjtttHqptL对上式进行变分运算，得对上式进行变分运算，得 0d101 ttkjjjjjjjjjtqqHppHpqqp应用力学研究所 李永强第6页7.1 哈密顿正则方程 保守系统的情形0d101 ttkjjjjjjjjjtqqHppHpqqp将上式中的第一项改写成将上式中的第一项改写成 kjjjkjjjkjjjkjjjqpqptqtpqp1111dddd则有则有 0d101011 ttkjjjjjjjttkjjjtqqHpppHqq
5、p因为系统在始末位置是确定的，有因为系统在始末位置是确定的，有 010tqtqjj于是有于是有 0d101 ttkjjjjjjjtqqHpppHq应用力学研究所 李永强第7页7.1 哈密顿正则方程 保守系统的情形根据广义动量的定义根据广义动量的定义 ，由勒让德变换可得，由勒让德变换可得 jjqLpjjpHq因此因此 0d101 ttkjjjjtqqHp对于完整系统，由于对于完整系统，由于qj 是相互独立的，且可取任何值，则是相互独立的，且可取任何值，则 jjqHp即得关于变量即得关于变量 的的Hamilton正则方程正则方程 tpqjj, jjjjqHppHq,k,j 21应用力学研究所 李永
6、强第8页7.1 哈密顿正则方程 保守系统的情形3. Lagrange函数和函数和Hamilton函数的对比函数的对比 Lagrange函数函数L和和Hamilton函数函数H都可看作是系统的描述函数都可看作是系统的描述函数 Lagrange函数包含了位形空间中描述系统运动的全部特征；函数包含了位形空间中描述系统运动的全部特征； Hamilton函数包含了相空间中描述系统运动的全部特征。函数包含了相空间中描述系统运动的全部特征。 Hamilton原理、原理、Hamilton正则方程和正则方程和Lagrange方程是互为等价的。方程是互为等价的。 4. Hamilton函数的物理意义函数的物理意义
7、 为改写为改写 中的第一项，将广义动量中的第一项，将广义动量 代代入，并利用欧拉齐次函数定理，有入，并利用欧拉齐次函数定理，有 kjjjHp qLjjpLq 2121020202kjjjLHqLLLLLLLLTTVq（Euler齐次函数的意义齐次函数的意义 ） 212jjLqLLq应用力学研究所 李永强第9页7.1 哈密顿正则方程 保守系统的情形因为因为 210LLLL22LT11LT00LTV即即 20HTTV与广义能量积分对比，与广义能量积分对比，Hamilton函数函数 H 与广义能量积分意义相同。与广义能量积分意义相同。 对于保守系统，则对于保守系统，则 T=T2 , T0=0 ，因此
8、，因此 HTV总机械能总机械能 对于保守系统，对于保守系统，Hamilton函数函数H等于系统的总机械能等于系统的总机械能。 5. 证明：证明： ddHtHt 表明表明 H 的变化与系统的变化无关，仅与的变化与系统的变化无关，仅与 H 是否显含是否显含 t 有关有关 11kkjjjjjjjjjjdHHHHHHHHHHqpdtqptqppqtt应用力学研究所 李永强第10页7.1 哈密顿正则方程 非保守系统的情形 Hamilton原理一般式原理一般式 10d0ttTWt其中主动力的虚功可写成其中主动力的虚功可写成 1kjjjWVQq 式中式中 和和 分别表示有势力和非有势力的虚功。这样分别表示有
9、势力和非有势力的虚功。这样Hamilton原理可变为原理可变为 V1kjjjQq1100dd0kkttjjjjttjjTVQqtLQqt 将根据勒让德变换将根据勒让德变换 得到的得到的 代入上式，代入上式，并进行变分运算，得并进行变分运算，得 1kjjjHp qL1kjjjLp qH应用力学研究所 李永强第11页7.1 哈密顿正则方程 非保守系统的情形 11001100111dddd0kkkttjjjjjjttjjjkkttjjjjjjjjjjjjjttjjjjjjLQqtp qHQqtHHHHqppqqpQqtqppQqtqppq就可得到存在就可得到存在非有势力作用的非有势力作用的Hamil
10、ton正则方程正则方程 jjjjjHqpHpQq ,k,j 21 其中其中Q j 为系统的非有势力对应于广义坐标为系统的非有势力对应于广义坐标 qj 的广义力。的广义力。 应用力学研究所 李永强第12页7.1 哈密顿正则方程例例7-1 试用试用Hamilton正则方程求出水平弹簧质量振动系统的运动微分方程正则方程求出水平弹簧质量振动系统的运动微分方程 解：单自由度系统，解：单自由度系统，x为广义坐标为广义坐标 LTV212Tmx212Vkx221122Lmxkx构造构造H函数函数 xLpmxxxpxm2222111,2222xxxxpHP xLp xmxkxkxH x pm对于保守系统对于保守
11、系统 xjjHpqxpmjxjHppkxq 应用力学研究所 李永强第13页7.1 哈密顿正则方程所以所以 xpxmxpkx 消去消去px得：得： xkx m 整理得整理得 0mxkx20nxx2nk mxjjHpqxpmjxjHppkxq 应用力学研究所 李永强第14页7.1 哈密顿正则方程例例7-2 水平直管以匀角速度水平直管以匀角速度 绕铅直轴旋转。管内放有用弹绕铅直轴旋转。管内放有用弹簧相联的两相同质量簧相联的两相同质量 m 的小球。小球可沿直管无摩擦的小球。小球可沿直管无摩擦地滑动。已知弹簧刚度系数为地滑动。已知弹簧刚度系数为 k ，原长为，原长为 l ，试写出系，试写出系统的统的Ha
12、milton正则方程。小球尺寸略去不计。正则方程。小球尺寸略去不计。 解：两个自由度，解：两个自由度，x1、x2为广义坐标，主动力均为有势力为广义坐标，主动力均为有势力 22222211221122Tm xxm xx22112Vk xxl2222221212211122LTVm xxxxk xxl构造构造H函数函数 111Lpmxx222Lpmxx 则则 11xp m22xpm应用力学研究所 李永强第15页7.1 哈密顿正则方程2222221 1221212212222221212211122111222jjjHp qLp xp xm xxxxk xxlppmxxk xxlm11xp m22x
13、pmHamilton正则方程正则方程 22112112111Hpmxk xxlmxk xxlx 22222122121Hpmxk xxlmxk xxlx 给定初始条件给定初始条件 后，就可得出正则变量后，就可得出正则变量 的函数的函数 00001212,xxpp1212,x xp p应用力学研究所 李永强第16页7.2 Hamilton canonic equation的首次积分 系统的首次积分是方程降阶降维的基础，讨论系统的首次积分是方程降阶降维的基础，讨论Hamilton canonic equation的降阶降维问题的降阶降维问题 能量积分能量积分 循环积分循环积分 H 中不显含某些广义
14、动量的情况中不显含某些广义动量的情况应用力学研究所 李永强第17页7.2 Hamilton canonic equation的首次积分 能量积分如果如果Hamilton函数函数 ，即不显含，即不显含 t 时，则时，则 ,jjHH qp0Ht可得可得 0dHHdtt则则 Hh（常数）（常数） 因为因为 20HTTV所以所以 20HTTVhHamilton canonic equation的能量积的能量积分分 如果是保守系统，则如果是保守系统，则TT2，T00 则则 HTVh即即Hamilton equation的首次积分等于总机械能（机械守恒）的首次积分等于总机械能（机械守恒） 应用力学研究所
15、李永强第18页7.2 Hamilton canonic equation的首次积分 循环积分由由 H 函数定义函数定义 1, , , ,kjjjH q p tp qq p tL q q q p tt对某一广义坐标对某一广义坐标 ql 求偏导数求偏导数 11kkjjjjllljlqHqLLpqqqqq代入代入 （勒让德变换，或定义广义动量），得（勒让德变换，或定义广义动量），得 jjpLq llHLqq 因此，如果在因此，如果在Lagrange函数中存在某个循环坐标函数中存在某个循环坐标ql，则在，则在Hamilton函函数中也存在相同的循环坐标数中也存在相同的循环坐标ql。 设设q1, q2,
16、 ql ( lk )为为Lagrange函数函数L的循环坐标，则的循环坐标，则H函数可表示为函数可表示为 121,llkkHH qqqpp t应用力学研究所 李永强第19页7.2 Hamilton canonic equation的首次积分 循环积分根据正则方程有根据正则方程有 0iiHpq 1,2,il于是得于是得 l 个循环积分个循环积分 iipC 1,2,il 利用循环坐标可对利用循环坐标可对Hamilton正则方程进行降维，将上式代入正则方程进行降维，将上式代入Hamilton函数得函数得 121212,llklllkHH qqq C CC ppp t此时此时Hamilton正则方程为
17、正则方程为 jjjjqHppHq 1, 2, jllk 对于循环坐标，有对于循环坐标，有 jjjjpCHqp 1,2,il即对即对 H 求求 pj 偏导，后将偏导，后将 pj 用用 Cj 代替代替 应用力学研究所 李永强第20页7.2 Hamilton canonic equation的首次积分 循环积分jjjjpCHqp 1,2,il积分上式，得积分上式，得: 121212,dllklllkiiiH qqq C CC ppp tqtCp 1,2,il为积分常数。为积分常数。 iCjjqHp 降为降为 ( j =l+1, l+2, k ) 若系统有若系统有 l 个循环坐标，则个循环坐标，则Ha
18、milton正则方程的个数由正则方程的个数由2k个降为个降为2(k-l)个。因此对于一个力学系统，希望找到尽可能多的循环坐标，循环坐标越个。因此对于一个力学系统，希望找到尽可能多的循环坐标，循环坐标越多，对于方程的求解就越有利。多，对于方程的求解就越有利。 应用力学研究所 李永强第21页7.2 Hamilton canonic equation的首次积分 H 中不显含某些广义动量的情况设设p1, p2, pl ( l k )不显含在不显含在 H 中，则中，则Hamilton函数可表示为函数可表示为 1212,kllkHH q qqppp t则则 jjjjHqpHpq 0 iiiiHpqpC 1
19、,2,il方程故由方程故由 k 个减少到个减少到 k-l 个。个。 H函数化为函数化为 121212,lllkllkHH C CC qqqppp t应用力学研究所 李永强第22页7.2 Hamilton canonic equation的首次积分 H 中不显含某些广义动量的情况iiiiqCHpq 1,2,il 121212,lllkllkHH C CC qqqppp tdiiiHptCq 1,2,il （ 方程个数由方程个数由 k 个，减少为个，减少为 k-l 个）个） jp 故共降维故共降维2l ，即方程个数减少为，即方程个数减少为2( k-l )个。个。 应用力学研究所 李永强第23页7.
20、2 Hamilton canonic equation的首次积分例例7-3 空心圆管空心圆管OA绕铅垂轴绕铅垂轴O在水平面内转动。它对在水平面内转动。它对O轴的轴的转动惯量转动惯量J0=md2，质量为，质量为m的质点的质点M在圆管内运动，在圆管内运动，设质点受引力设质点受引力Fr= -m/r2，式中，式中 r 是质点到转轴是质点到转轴O点点的矢径，的矢径，是常数。试列出系统的是常数。试列出系统的Hamilton正则方程正则方程并求首次积分。并求首次积分。 解：系统有两个自由度，选解：系统有两个自由度，选r、为广义坐标，系统的动能为广义坐标，系统的动能 222222220111222TJm rr
21、m rrd取无穷远处为零势能点，势能取无穷远处为零势能点，势能 rrVFdr而而 2rmFr 2 rmmVdrrr 222212mLTVm rrdr应用力学研究所 李永强第24页7.2 Hamilton canonic equation的首次积分广义动量广义动量 rLpmrr222212mLTVm rrdrrprm22()Lpm rd22()pm rd求求Hamilton函数，因为系统为保守的，故函数，因为系统为保守的，故 222222222211()2()2rrpppmmHTVmrdpmm rdrmrdr由上式可知，由上式可知，为循环坐标，则存在循环积分，即广义动量守恒为循环坐标，则存在循环
22、积分，即广义动量守恒 应用力学研究所 李永强第25页7.2 Hamilton canonic equation的首次积分rrpHrpm2222212ppHpm rdm rd22222222222112rprrpHmmprmrrrdm rd 0Hp p= 常数常数 22pm rdh又又 ,rHH r pp则则 0Ht 存在广义能量积分存在广义能量积分 即即 T +V = 常数常数 222212mrrdhmr应用力学研究所 李永强第26页7.3 泊松括号 泊松定理利用泊松方法，从已求出的首次积分中寻找新的首次积分利用泊松方法，从已求出的首次积分中寻找新的首次积分 泊松括号泊松括号 用泊松括号表示的
23、正则方程用泊松括号表示的正则方程 泊松定理（雅可比泊松定理（雅可比-泊松定理）泊松定理） 应用力学研究所 李永强第27页7.3 泊松括号 泊松定理 泊松括号设设 、是是q1, q2, , qk, p1, p2, pk, t 的函数，即的函数，即 , jjjjqp tqp t1,2,jk则泊松括号定义为则泊松括号定义为 1,kjjjjjqppq 泊松括号的性质泊松括号的性质( 1 ) 常数常数 C 与任意函数与任意函数 所组成的泊松括号为零，即所组成的泊松括号为零，即 ,0CC 证：证： 1,0kjjjjjCCCqppq应用力学研究所 李永强第28页7.3 泊松括号 泊松定理 泊松括号( 2 )
24、 两个相同函数所组成的泊松括号为零，即两个相同函数所组成的泊松括号为零，即 ,0 ( 3 ) 组成泊松括号的两个函数交换顺序，则与原来的差一个符号。即组成泊松括号的两个函数交换顺序，则与原来的差一个符号。即 , 证：证： 1,kjjjjjjjjjqppqqppq ( 4 ) , , 应用力学研究所 李永强第29页7.3 泊松括号 泊松定理 泊松括号( 5 ) 1 ,0 ijijijq pij当当证证: 1,kjjiiijlllllppqqq pqppq( 6 ) 若若 1nii则则 1,nii 1,nii 证证: =1=1=1=1=1=1=1=1=1,kknniijjiijjjjjjjjknn
25、kiiiijiijjjjjjjjjniiqppqqppqqppqqppq 应用力学研究所 李永强第30页7.3 泊松括号 泊松定理 泊松括号证证: ( 7 ) 泊松括号服从代数分配，即泊松括号服从代数分配，即 1212, ( 8 ) 121221, 12121212122121=1111222111,kkjjjjjjjjjjjjknjjjjjjjjjjqppqqpppqqqppqqppq 1221, 应用力学研究所 李永强第31页7.3 泊松括号 泊松定理 泊松括号证证: ( 9 ) ,ttt =1=11,=kjjjjjkjjjjjkjjjjjjjjjjttqppqtqppqtqpqtptpq
26、ptqq ,kjjjjjjjjtpptqqptpqttt应用力学研究所 李永强第32页7.3 泊松括号 泊松定理 泊松括号证证: ( 10 ) 如果如果 = ( qj, pj, t ) ( j = 1, 2, k )，则有泊松恒等式和雅可比恒等式，则有泊松恒等式和雅可比恒等式 ,0 =1=1221,=kkjjjjjjjjjjjjkljljljllqppqqpppqqqq ppp pq 222222kj=111122=kkklllljlljljjlljllljlljljljljllqp ppp qpq qpq pqqq ppq qqq ppp pq 222222kkj=1 l=122-=jljl
27、ljljjlljlljljlljljljljjlljqqp ppp qpq qpq pqpqq ppq qqq ppqp pqq 22222211-kkjlljljljljjlljjlljljljljlqp pqpp qpq qppq pqpqq pppq q , 轮换轮换 可得到类似式，从而得证。可得到类似式，从而得证。 , , 应用力学研究所 李永强第33页7.3 泊松括号 泊松定理 用泊松括号表示的正则方程根据泊松括号的定义，有根据泊松括号的定义，有 =1,kjjjppHHp Hqppq其中其中 0jpq1 0 jjjppj当当1,2,jk因此因此 ,jjp HHq 同理可得同理可得 ,
28、jjq HHp 对一完整系统受有势力作用时，其正则方程为对一完整系统受有势力作用时，其正则方程为: jjqHp jjpHq 1,2,jk 于是就可得到用泊松括号表示的正则方程为于是就可得到用泊松括号表示的正则方程为: , jjjjqq Hpp H1,2,jk应用力学研究所 李永强第34页7.3 泊松括号 泊松定理 用泊松括号表示的正则方程用泊松括号判断系统的首次积分用泊松括号判断系统的首次积分 设系统的首次积分为设系统的首次积分为 1212,kkf q qqp pp tC则有则有 1ddd0dddnjjjjjqpfffftqtptt首次积分应为正则的一个解，式中首次积分应为正则的一个解，式中
29、， 应均满足正则方程，即应均满足正则方程，即 jq jp jjqHp jjpHq 1,2,jk将正则方程代入上式将正则方程代入上式df /dt 1d0dkjjjjjffHfHftqppqt应用力学研究所 李永强第35页7.3 泊松括号 泊松定理 用泊松括号表示的正则方程利用泊松括号，则上式可写成利用泊松括号，则上式可写成 ,0ff Ht此式即为正则方程的首次积分所应满足的充要条件。此式即为正则方程的首次积分所应满足的充要条件。 如果如果 f 不显含时间不显含时间 t ，则，则 ,0f H 即如函数即如函数 f 满足泊松括号条件，则函数即为满足泊松括号条件，则函数即为正则方程的首次积分正则方程的
30、首次积分 应用力学研究所 李永强第36页7.3 泊松括号 泊松定理 用泊松括号表示的正则方程例例7-4 质量为质量为 m 的质点的质点 M 在稳定的势力场中运动，其势能函数为在稳定的势力场中运动，其势能函数为V=V( x,y,z )，试求它对质直角坐标轴，试求它对质直角坐标轴Oxyz 的三轴的动量矩的三轴的动量矩Lx、Ly,、Lz与与Hamilton函数函数 H 所构成的泊松括号：所构成的泊松括号：( Lx, H ) , ( Ly, H ) , ( Lz, H )。 解：取解：取x, y, z为广义坐标，因为是保守系统，为广义坐标，因为是保守系统，Hamilton函数函数 HTV系统动能系统动
31、能 22212Tm xyz势能势能 , ,VV x y z所以所以 2221, ,2Hm xyzV x y z广义动量（勒让德变换）广义动量（勒让德变换）:xpTxmx ypTymy zpTzmz 则则 xxpmyypmzzpm 从而从而 2222221, ,2, ,2xyzxyzHmpmpmpmV x y zpppmV x y z应用力学研究所 李永强第37页7.3 泊松括号 泊松定理 用泊松括号表示的正则方程质点的动量矩质点的动量矩 00ijkLMmvrmvxyzmxmymzxzyLymzzmyypzpyxzLzmxxmzzpxpzyxLxmyymxxpyp则则 31,1100 xxxxx
32、xxxxjjjjjxxyyzzyzyzLLLLLLLLHHHHHHHHL HqppqxppxyppyzppzVVp pzp pymymzVVzyyz因为对应于广义坐标因为对应于广义坐标x , y, z的广义力的广义力Fx , Fy, Fz与势能函数与势能函数 V 有如下关系有如下关系: xVFx yVFy zVFz 应用力学研究所 李永强第38页7.3 泊松括号 泊松定理 用泊松括号表示的正则方程这样这样 ,xxzxLHzFyFmF 同理可得同理可得 ,yyLHmF ,zzL HmF如果有势力如果有势力 为有心力，并令坐标原点取在力心，则为有心力，并令坐标原点取在力心，则 F 0 xmF 0y
33、mF 0zmF 因此因此 ,0 xL H ,0yLH ,0zL H 由泊松括号性质由泊松括号性质1可得可得 1xLC2yLC3zLC 为正则方程的首次积分，即质点为正则方程的首次积分，即质点 M 在运动过程中在运动过程中Lx、Ly,、Lz 都保持恒都保持恒量，这实际上就是熟知的质点在有心力作用下运动时，对力心的动量矩在量，这实际上就是熟知的质点在有心力作用下运动时，对力心的动量矩在三个直角坐标轴方向分别守恒。三个直角坐标轴方向分别守恒。 应用力学研究所 李永强第39页7.3 泊松括号 泊松定理 泊松定理（雅可比-泊松定理） 定理：定理： 已知函数：已知函数： (q1, q2, , qk, p1
34、, p2, , pk, t )=C1和函数和函数(q1, q2, , qk, p1, p2, , pk, t )=C2是正则方程的首次积分，则函数是正则方程的首次积分，则函数( , ) =C3也是它的首也是它的首次积分。次积分。( ,)为函数为函数 及及所构成的泊松括号。所构成的泊松括号。 证明：证明： 已知已知 (q1, q2, , qk, p1, p2, , pk, t )=C1和和(q1, q2, , qk, p1, p2, , pk, t )=C2是正则方程的首次积分，因此是正则方程的首次积分，因此 ,0Ht,0Ht则则 ,Ht ,Ht 应用力学研究所 李永强第40页7.3 泊松括号
35、泊松定理 泊松定理（雅可比-泊松定理） 由泊松括号性质由泊松括号性质(10)，函数，函数H, , 构成泊松恒等式：构成泊松恒等式： ,0HHH 可得可得 ,0Htt 则则 ,0Htt 即即 ,0Htt 可推得可推得 ,0Ht 即即 ,0Ht 则则 也是正则方程的首次积分也是正则方程的首次积分 3,C 应用力学研究所 李永强第41页7.3 泊松括号 泊松定理 泊松定理（雅可比-泊松定理） 泊松定理的说明泊松定理的说明 若系统存在能量积分若系统存在能量积分H = h，且已知另一首次积分，且已知另一首次积分 (qj, pj, t )=C，则由泊，则由泊松定理可得松定理可得( , H )=C1也是正则
36、方程的首次积分也是正则方程的首次积分 因此，因此， (qj, pj, t )=C，则，则 ,0Ht即即 1,HCt 上式说明，若系统存在能量积分，则正则方程的首次积分对时间上式说明，若系统存在能量积分，则正则方程的首次积分对时间的导数的导数 亦是其首次积分；推广下去，函数亦是其首次积分；推广下去，函数 ， ，也都是首次积分。也都是首次积分。 2tC 223tC334tC应用力学研究所 李永强第42页7.3 泊松括号 泊松定理 泊松定理（雅可比-泊松定理） 应用泊松定理求首次积分的说明应用泊松定理求首次积分的说明 根据定理，似乎只要已知正则方程的两个首次积分，便可连续应用泊根据定理，似乎只要已知
37、正则方程的两个首次积分，便可连续应用泊松定理求出正则方程的全部首次积分，但事实并非如此。因为用这样的方松定理求出正则方程的全部首次积分，但事实并非如此。因为用这样的方法得到的首次积分常常为原积分的线性组合或恒等式，不是独立的，因此法得到的首次积分常常为原积分的线性组合或恒等式，不是独立的，因此，不能由它再求出新的积分。，不能由它再求出新的积分。内旋积分系的概念内旋积分系的概念设设f1, f2, , fs 是正则变量是正则变量qj，pj的函数，且是正则方程的一组首次积分。若的函数，且是正则方程的一组首次积分。若( f , f ) = 0 ( , = 1,2, , s ) 则不能由这组首次积分得到
38、新的首次积分，这组积分为内旋积分系。则不能由这组首次积分得到新的首次积分，这组积分为内旋积分系。 例如，不受力作用的自由质点，它的能量积分和三个动量积分成为内例如，不受力作用的自由质点，它的能量积分和三个动量积分成为内旋积分系。旋积分系。 应用力学研究所 李永强第43页7.3 泊松括号 泊松定理 泊松定理（雅可比-泊松定理） 例例7-5 质量为质量为m的质点的质点M，受有心力的作用，如取力心为坐标原点，受有心力的作用，如取力心为坐标原点O，则质点运动时对则质点运动时对Ox 及及Oy 轴的动量矩守恒，试用泊松定理证明质点轴的动量矩守恒，试用泊松定理证明质点M 对对Oz轴的动量矩轴的动量矩 Lz=
39、常数，即守恒常数，即守恒解：取质点解：取质点M的直角坐标的直角坐标x, y, z为广义坐标，按质点对为广义坐标，按质点对Ox 及及Oy 轴的动轴的动量矩守恒条件，得到它的正则方程的两个首次积分量矩守恒条件，得到它的正则方程的两个首次积分 xzyLymzzmyypzpayxzLzmxxmzzpxpbLx, Ly均为正则方程的首次积分。根据泊松定理均为正则方程的首次积分。根据泊松定理( Lx, Ly)=C 也为首次积分，即也为首次积分，即 应用力学研究所 李永强第44页7.3 泊松括号 泊松定理 泊松定理（雅可比-泊松定理） 31,0000yyxxxyjjjjjyyyyyyxxxxxxxxyyzz
40、zyxyxzLLLLL LqpppLLLLLLLLLLLLxppxyppyzppzpzpxy pxpypLC 故对故对Oz轴的动量距守恒，即轴的动量距守恒，即Lz = C应用力学研究所 李永强第45页7.4 正则变换正则变换的目的：正则变换的目的：通过构造新的通过构造新的Hamilton函数，该系统具有更简洁函数，该系统具有更简洁的正则形式和更多的循环坐标，即得到系统更多的首次积分，的正则形式和更多的循环坐标，即得到系统更多的首次积分，且保证正则方程的形式不变。且保证正则方程的形式不变。 正则变换正则变换( Canonical transformation ) 母函数的各种形式母函数的各种形式
41、 应用力学研究所 李永强第46页7.4 正则变换 正则变换( Canonical transformation )点变换点变换 描述同一力学系统可以采用不同的广义坐标，如描述同一力学系统可以采用不同的广义坐标，如q1, q2, , qk和和Q1, Q2, , Qk，二者之间存在着一定的变换关系，二者之间存在着一定的变换关系 12,jjkQQq qq t1,2,jk 上述变换是将一组旧广义坐标上述变换是将一组旧广义坐标q1, q2, , qk所确定的位形空间中的所确定的位形空间中的一个点，变换到一组新广义坐标一个点，变换到一组新广义坐标Q1, Q2, , Qk所确定的位形空间中的所确定的位形空间
42、中的一个点。这种变换称为一个点。这种变换称为点变换点变换。 点变换不影响点变换不影响Lagrange方程的结构。方程的结构。 应用力学研究所 李永强第47页7.4 正则变换 正则变换( Canonical transformation )正则变换正则变换( Canonical transformation ) 正则变量：正则变量：q1, q2, , qk, p1, p2, , pk 正则变量（共轭变量）：正则变量（共轭变量）：Q1, Q2, , Qk, P1, P2, , Pk 变换关系：变换关系： 12121212, ,jjkkjjkkQQq qqp pp tPP q qqp pp t( 正
43、则变换正则变换 ) 对旧的正则变量，正则方程为对旧的正则变量，正则方程为 jjjjHqpHpq 1,2,jk 应用力学研究所 李永强第48页7.4 正则变换 正则变换( Canonical transformation )通过变换，旧的通过变换，旧的Hamilton函数函数H=H( qj, pj, t)变换成新的变换成新的Hamilton函数函数H*=H*( Qj, Pj, t)，且保持正则方程的形式不变，即，且保持正则方程的形式不变，即 * jjjjHQPHPQ 1,2,jk 变量变量Q1, Q2, , Qk, P1, P2, , Pk仍称为仍称为正则变量或共轭变量正则变量或共轭变量。 相空
44、间的变换并非全为正则变换，如何构成正则变换？相空间的变换并非全为正则变换，如何构成正则变换？（两组变量需满足什么条件才能实现正则变换）（两组变量需满足什么条件才能实现正则变换）要求：要求： 1. H*函数更简洁函数更简洁 2. 有更多的循环坐标有更多的循环坐标 3. 新变量表示的动力学方程仍为正则的、简单、对称。新变量表示的动力学方程仍为正则的、简单、对称。 应用力学研究所 李永强第49页7.4 正则变换 正则变换( Canonical transformation )新旧两组正则变量新旧两组正则变量 q、p和和Q、P均应满足均应满足Hamilton原理原理即即 101, ,d0ktjjtjp
45、 qH q p tt101, ,d0ktjjtjPQH Q P tt上面两式同时成立时，两个被积函数并非完全相等，可以相差任一函数上面两式同时成立时，两个被积函数并非完全相等，可以相差任一函数F对时间对时间 t 的全导数。如设的全导数。如设 F 是是q、Q 和和 t 的函数的函数 ,jjFF q Q t1,2,jk 由于系统在始末位置是确定的，则由于系统在始末位置是确定的，则 10111000dd,0dtjjjjtFtF qtQttF qtQttt应用力学研究所 李永强第50页7.4 正则变换 正则变换( Canonical transformation )的构造方法如下：的构造方法如下： ,
46、jjF q Q t*11d, ,dkkjjjjjjjjFp qH qp tPQHQ P tt对上式乘以对上式乘以dt，可变为，可变为 *11d,dd, ,ddkkjjjjjjjjpqH qp ttP QHQ P ttF正则变换成立的充要条件是：正则变换成立的充要条件是： 变换式使得两个微分式变换式使得两个微分式 1d,dkjjjjjpqH qp tt与与 *1d, ,dkjjjP QHQ P tt的差等于某个函数的差等于某个函数F( q, Q, t )的全微分。的全微分。 应用力学研究所 李永强第51页7.4 正则变换 正则变换( Canonical transformation )将上式改写
47、成将上式改写成 *1111dddddddkkkkjjjjjjjjjjjjFFFpqP QHHtFqQtqQt比较各项的系数，可以得到如下变换关系比较各项的系数，可以得到如下变换关系 jjFpqjjFPQ *FHHt旧变量对旧变量对 F 的关系的关系 新变量对新变量对 F 的关系的关系 新旧新旧 H 函数关系函数关系 变换是否为正则变换依赖于任意函数变换是否为正则变换依赖于任意函数F( q, Q, t )的选择，的选择，F称为母函数。称为母函数。 应用力学研究所 李永强第52页7.4 正则变换 正则变换( Canonical transformation )母函数母函数 F 如不含时间如不含时间
48、 t 时，有时，有 H*=H 一般情况下，当给出了一组变换式以后，可根据微分式一般情况下，当给出了一组变换式以后，可根据微分式 *11d,dd, ,ddkkjjjjjjjjpqH qp ttP QHQ P ttF来判别变换是否为正则的来判别变换是否为正则的. 若给出一个母函数若给出一个母函数 F ，可由下式，可由下式 得到一组正则变换。得到一组正则变换。 在正则变换中，由于变换的广泛性，使得经过变换后的新变量在正则变换中，由于变换的广泛性，使得经过变换后的新变量可能不再具有原来物理意义上的可能不再具有原来物理意义上的“坐标坐标”和和“动量动量”了。了。 1,2,jkjjFpqjjFPQ *FH
49、Ht应用力学研究所 李永强第53页7.4 正则变换 母函数的各种形式 为了实现两组正则变量的变换，母函数为了实现两组正则变量的变换，母函数 F 必须是包括两组变量的必须是包括两组变量的函数。由于函数。由于 4k 个两组正则变量和时间个两组正则变量和时间 t 通过通过 2k 个变换关系联系着，个变换关系联系着，所以其中只有所以其中只有 2k+1 个变量是独立的。母函数个变量是独立的。母函数 F 在这在这 2k 个变量中要求个变量中要求两组变量各占一半，只含新变量或只含旧变量均不能使下式成立。两组变量各占一半，只含新变量或只含旧变量均不能使下式成立。 *11d,dd, ,ddkkjjjjjjjjp
50、qH qp ttP QHQ P ttF因此，母函数因此，母函数 F 所显含的变量在最简单的情况下有四种不同形式：所显含的变量在最简单的情况下有四种不同形式： F1( q , Q, t ), F2( p , Q, t ), F3( q , P , t ), F4( p , P, t ) 应用力学研究所 李永强第54页7.4 正则变换 母函数的各种形式 1) 母函数为母函数为F1( q , Q, t )，该形式已讨论过，有关结果为，该形式已讨论过，有关结果为 1,2,jkjjFpqjjFPQ *FHHt2) 母函数为母函数为F2( p , Q, t ) 应用勒让德变换，在应用勒让德变换，在F1(
