1、概率论初步历史小故事历史小故事v 公元公元1053年，北宋大将狄青奉令讨伐南方的叛乱，年，北宋大将狄青奉令讨伐南方的叛乱，他在誓师时，当着全体将士的面拿出他在誓师时，当着全体将士的面拿出100枚铜钱枚铜钱说：说：“我把这我把这100枚铜钱抛向空中，如果钱落地枚铜钱抛向空中，如果钱落地后，后，100枚铜钱全都正面朝上，那么这次出师定枚铜钱全都正面朝上，那么这次出师定能大获全胜。能大获全胜。”Part 13 概率，又称机率、可能性，是数学概率论的基概率，又称机率、可能性，是数学概率论的基本概念概率是对随机事件发生的可能性的度量，本概念概率是对随机事件发生的可能性的度量，表示一个事件发生的可能性大小
2、的数，是一个在表示一个事件发生的可能性大小的数，是一个在0到到1之间的实数，常用百分比或分数表示之间的实数，常用百分比或分数表示Part 14有下列两个试验：有下列两个试验： 抛掷一枚质地均匀的硬币的试验抛掷一枚质地均匀的硬币的试验. . 掷一颗质地均匀的骰子的试验掷一颗质地均匀的骰子的试验. .问题一：上述两个试验的结果分别有哪些？问题一：上述两个试验的结果分别有哪些？我们把一次试验可能出现的结果叫做我们把一次试验可能出现的结果叫做基本事件基本事件. .Part 15有下列两个试验：有下列两个试验： 抛掷一枚质地均匀的硬币的试验抛掷一枚质地均匀的硬币的试验. . 掷一颗质地均匀的骰子的试验掷
3、一颗质地均匀的骰子的试验. .问题二：上述两个试验中，每个基本事件的概率是多少？问题二：上述两个试验中，每个基本事件的概率是多少？121. 1. P( (正面向上正面向上)=)=P( (反面向上反面向上)=)=162. 2. P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=问题三：观察对比，能否找出上述两个试验的共同特点？问题三：观察对比，能否找出上述两个试验的共同特点？（1 1） 一次试验所有的基本事件的个数一次试验所有的基本事件的个数（2 2） 每个基本事件出现的可能性每个基本事件出现的可能性只有有限个只有有限个相等相等Part 16上述两个试验的共同特点是：上述两个试验的共同
4、特点是： 一次试验所有的基本事件只有有限个一次试验所有的基本事件只有有限个. . 每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等. .具有这两个特点的概率模型叫做具有这两个特点的概率模型叫做古典概型古典概型. .( 是历史上最早研究的概率模型，故称为古典概型是历史上最早研究的概率模型，故称为古典概型. )有限性有限性等可能性等可能性例例1 1：判断下列试验是否是古典概型：判断下列试验是否是古典概型： 种下一粒种子观察它是否发芽种下一粒种子观察它是否发芽. . 体育课上某人投一次篮是否命中体育课上某人投一次篮是否命中. . 在圆面内任意取一点在圆面内任意取一点. . 在整数集内任意取一
5、个整数在整数集内任意取一个整数. .有限性有限性和和等可能性等可能性缺一不可缺一不可Part 17 对于在一定条件下可能出现也可能不出现，且有对于在一定条件下可能出现也可能不出现，且有统计规律性的现象叫做统计规律性的现象叫做随机现象随机现象. . 出现随机现象的事件叫做出现随机现象的事件叫做随机事件随机事件，简称，简称事件事件. .用大写字母用大写字母A、B等表示等表示. . 基本事件本身也是随机事件基本事件本身也是随机事件. . Part 18例例2 2：掷一颗均匀的骰子：掷一颗均匀的骰子： 写出所有的基本事件，是否为古典概型？写出所有的基本事件，是否为古典概型？ 若若( (随机随机) )事
6、件事件A表示掷得奇数点，写出事件表示掷得奇数点，写出事件A； 若若( (随机随机) )事件事件B表示掷得点数大于表示掷得点数大于4 4点，写出事件点，写出事件B. .(1)1,2,3,4,5,6 (2)1,3,5A(3)5 6B ，（1）所有基本事件：）所有基本事件： “出现出现1点，出现点，出现2点，出现点，出现3点，点， 出现出现4点，出现点，出现5点，出现点，出现6点点”（2）事件）事件A: “出现出现1点，出现点，出现3点，出现点，出现5点点”（3）事件）事件B: “出现出现5点，出现点，出现6点点”设设 表示所有的表示所有的基本事件基本事件，12,n 基本事件的集合基本事件的集合记为
7、：记为：12,n 随机事件随机事件A可看作是由一些基本事件组成的集合，可看作是由一些基本事件组成的集合，即为即为基本事件集基本事件集 的某个子集的某个子集. .若随机事件若随机事件A出现的概率记作出现的概率记作P(A)，如何求，如何求P(A)？集集合合表表示示Part 19在古典概在古典概型型中，事件中，事件A出现的概率定义为：出现的概率定义为：()P A 事件事件A所包含的基本事件数所包含的基本事件数试验中所有试验中所有的基本事件数的基本事件数集集合合表表示示基本事件的集合：基本事件的集合：12,n 随机事件随机事件A看做是看做是 的某个子集，则的某个子集，则()P A A所包含的所包含的
8、的个数的个数 中元素中元素 的总个数的总个数Part 110例例3 3：掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率：掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率： 出现出现1 1点；点； 出现偶数点；出现偶数点； 出现的点数大于出现的点数大于2 2； 出现出现0 0点；点； 出现的点数大于出现的点数大于0.0.1,2,3,4,5,6 解：基本事件集合： 1(1)1 ,( )6AP A31(2)2,4,6 ,( )62BP B42(3)3,4,5,6 ,( )63CP C0(4) ()06P 6(5) ()16P Part 111求古典概型中随机事件概率的步骤：求古典概型中随机事件概率的步骤：确定基本事件集，使之
9、符合古典概率的要确定基本事件集，使之符合古典概率的要求；求； 算出试验中所有基本事件的个数；算出试验中所有基本事件的个数； 算出随机事件中包含的基本事件数；算出随机事件中包含的基本事件数； 代入概率公式，得到概率代入概率公式，得到概率Part 112集合集合对比对比 不可能事件不可能事件空集空集必然事件必然事件全集全集随机事件随机事件子集子集我们把试验后必定出现的事件叫做我们把试验后必定出现的事件叫做必然事件必然事件，记作，记作 . . 把不可能出现的事件叫做把不可能出现的事件叫做不可能事件不可能事件，记作，记作. .例例4 4：判断下列事件中哪个是必然事件？哪个是：判断下列事件中哪个是必然事
10、件？哪个是不可能事件？不可能事件？ 方程方程x2+1=0在实数范围内有解在实数范围内有解. . 在十进制中在十进制中1+1=2. . Part 113对于必然事件对于必然事件 、不可能事件、不可能事件 、和随机事件，下面、和随机事件，下面个事实值得我们个事实值得我们注意：注意： 必然事件的概率为必然事件的概率为1 1，即，即P( )=1 . . 不可能事件的概率为不可能事件的概率为0 0，即，即P()=0 . . 对任意事件对任意事件E, ,有有0 0P(E)1 . .12,n 12()()()1nPPP 若若 ， 则则 . .Part 114例例5 5：同时抛掷两枚均匀的硬币，会出现几种结果
11、？：同时抛掷两枚均匀的硬币，会出现几种结果？ 出现出现“一枚正面向上、一枚反面向上一枚正面向上、一枚反面向上”的概率的概率是多少？是多少？基本事件有基本事件有：( (正正, ,正正) )、( (正正, ,反反) )、( (反反, ,正正) )、( (反反, ,反反) ) P( (一正一反一正一反) ) 2142 法一：枚举法法一：枚举法法二：排列组合法法二：排列组合法在遇到在遇到“抛硬币抛硬币”的问题时的问题时, ,要对硬币进行编号用于区分要对硬币进行编号用于区分Part 115掷一个骰子的结果有掷一个骰子的结果有6 6种，我们把两个骰子标上记号种，我们把两个骰子标上记号1 1，2 2以以便区
12、分，它总共出现的情况如下表所示：便区分，它总共出现的情况如下表所示：6543216543211号骰子号骰子 2号骰子号骰子（6，6）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）（5，6）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（4，6）（4，5）（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）（3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（3，2）（3，1）（2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（2，1）（1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）由上表可得，掷两个骰子的基本事件个数为由上表可得，掷两个骰子的基本事件个数为3636例例6 6： 同时掷两个均匀的骰子
13、，计算同时掷两个均匀的骰子，计算（1 1）向上的点数之和是）向上的点数之和是9 9的概率是多少？的概率是多少？（2 2）用大数减小数得差为）用大数减小数得差为d d（两数相等得差（两数相等得差0 0），是否有一个），是否有一个差数比其他差数更可能出现差数比其他差数更可能出现 ？Part 116为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？出现什么情况？你能解释其中的原因吗？ 如果不标上记号，类似于如果不标上记号，类似于(3,6)和和(6,3)的结果将没有区别的结果将没有区别这时，所有可能的结果将是：这时，所有可能的结果将
14、是：6543216543211号骰子号骰子 2号骰子号骰子基本事件的等可能性不满足，不能使用古典概型的概率公式基本事件的等可能性不满足，不能使用古典概型的概率公式（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（4，3）（4，2）（4，1）（3，2）（3，1）（2，1）（6，6）（5，6）（5，5）（4，6）（4，5）（4，4）（3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）Part 1176543216543211号骰子号骰子 2号骰子号骰子（6，6
15、）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）（5，6）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（4，6）（4，5）（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）（3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（3，2）（3，1）（2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（2，1）（1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）例例6 6： 同时掷两个均匀的骰子，计算同时掷两个均匀的骰子，计算（1 1）向上的点数之和是）向上的点数之和是9 9的概率是多少？的概率是多少？（2 2）大数减小数得差）大数减小数得差d d（两数相等得差（两数相等得差0 0），是否有一个），是否有
16、一个差数比其他差数更可能出现差数比其他差数更可能出现 ？Part 118例例6:6:(2)(2)大数减小数得差大数减小数得差d( (两数相等得差两数相等得差0)0)，是否有，是否有一个差数更可能出现？一个差数更可能出现？d基本事件基本事件(i,j)事件事件个数个数01234561(0)366P d 105(1)3618P d 82(2)369P d 41(4)369P d 21(5)3618P d 61(3)366P d (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)(1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5)
17、, (5,4), (5,6), (6,5)(1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4)(1,4), (4,1), (2,5), (5,2), (3,6), (6,3)(1,5), (5,1), (2,6), (6,2)(1,6), (6,1)6108642Part 119练习练习：同时抛掷两颗均匀的骰子，两颗面上都分别：同时抛掷两颗均匀的骰子，两颗面上都分别标有标有1,2,2,3,3,31,2,2,3,3,3，计算出现点数和为，计算出现点数和为4 4的概率？的概率？1233(1,1),(1,2 ),(1,2 ),(3 ,3 )36
18、 解：共个基本事件123123122111221,3,(1,3 ),(1,3 ), 3 ,1 ,(3 ,1),(3 ,1),10(2 ,2 ),(2 ,2 ),(2 ,2 ),(2 ,2 ),A共个基本事件105( )3618P A 所以Part 120历史小故事 公元公元1053年，北宋大将狄青奉令讨伐南方的年，北宋大将狄青奉令讨伐南方的叛乱，他在誓师时，当着全体将士的面拿出叛乱，他在誓师时，当着全体将士的面拿出100枚铜钱说：枚铜钱说：“我把这我把这100枚铜钱抛向空中，枚铜钱抛向空中，如果钱落地后，如果钱落地后，100枚铜钱全都正面朝上，那枚铜钱全都正面朝上，那么这次出师定能大获全胜。么这次出师定能大获全胜。”Part 121 基本事件、随机事件、必然事件、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件的定义不可能事件的定义. . 四种事件概率的值或范围四种事件概率的值或范围. . 古典概型具有的两个特点古典概型具有的两个特点. . 古典概型的概率求法古典概型的概率求法. . ( (步骤、公式、方法步骤、公式、方法) )
