1、 第 1 页 共 8 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 拔高专题拔高专题 抛物线与圆的综合抛物线与圆的综合 一、基本模型构建 常见模型 思考 圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点 坐 标 ，根据交点可求三角形的 边长 ，由于圆的位置不同，三角形 的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。 二、拔高精讲精练 探究点一：探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题 例 1: （2015崇左）如图，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标是（5，4） ，M 与 y 轴相切 于点 C，与 x 轴相交于 A，B 两点 （1）则点 A，B，C 的坐标分别是 A （2，0） ，B （8，0） ，
2、C （0，4） ； （2）设经过 A，B 两点的抛物线解析式为 y= 1 4 （x-5）2+k，它的顶点为 E，求证：直线 EA 与M 相切； （3） 在抛物线的对称轴上， 是否存在点 P， 且点 P 在 x 轴的上方， 使PBC 是等腰三角形？ 如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 （1）解：连接 MC、MA，如图 1 所示：M 与 y 轴相切于点 C，MCy 轴，M（5， 4） ，MC=MA=5，OC=MD=4， C（0，4） ，MDAB，DA=DB，MDA=90，AD= 22 54=3，BD=3， OA=5-3=2，OB=5+3=8， A（2，0） ，B（8，0） ；
3、（2）证明：把点 A（2，0）代入抛物线 y= 1 4 （x-5）2+k，得：k=- 9 4 ，E（5，- 9 4 ） ， 第 2 页 共 8 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 DE= 9 4 ， ME=MD+DE=4+ 9 4 = 25 4 ， EA2=32+ （ 9 4 ） 2=225 16 ， MA2+EA2=52+ 225 16 = 225 16 ， ME2= 225 16 ， MA2+EA2=ME2，MAE=90，即 EAMA，EA 与M 相切； （3）解：存在；点 P 坐标为（5，4） ，或（5，71） ，或（5，4+55） ；理由如下： 由勾股定理得：BC= 22 OCOB= 2
4、2 48=45，分三种情况：当 PB=PC 时，点 P 在 BC 的垂直平分线上，点 P 与 M 重合， P（5，4） ； 当 BP=BC=45时， 如图 2 所示： PD= 22 BPBD= 2 80 3=71， P （5，71） ； 当 PC=BC=45时，连接 MC，如图 3 所示：则PMC=90，根据勾股定理得： PM= 22 PCMC= 2 80 5=55，PD=4+55， P（5，4+55） ；综上所述：存在点 P，且点 P 在 x 轴的上方，使PBC 是等腰三角形， 点 P 的坐标为（5，4） ，或（5，71） ，或（5，4+55） 【变式训练】【变式训练】 （2015柳州）如图
5、，已知抛物线 y=- 1 2 （x2-7x+6）的顶点坐标为 M，与 x 轴 相交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右侧） ，与 y 轴相交于点 C （1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a0） ，并指出顶点 M 的坐 标； （2）在抛物线的对称轴上找点 R，使得 CR+AR 的值最小，并求出其最小值和点 R 的坐标； （3）以 AB 为直径作N 交抛物线于点 P（点 P 在对称轴的左侧） ，求证：直线 MP 是N 的切线 第 3 页 共 8 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （1）解：y=- 1 2 （x2-7x+6）=- 1 2 （x2-7x）-3=- 1
6、2 （x- 7 2 ）2+ 25 8 ，抛物线的解析式化为 顶点式为：y=- 1 2 （x- 7 2 ）2+ 25 8 ，顶点 M 的坐标是（ 7 2 ， 25 8 ） ； （2）解：y=- 1 2 （x2-7x+6） ，当 y=0 时，- 1 2 （x2-7x+6）=0，解得 x=1 或 6，A（1， 0） ，B（6，0） ，x=0 时，y=-3，C（0，-3） 连接 BC，则 BC 与对称轴 x= 7 2 的交点为 R， 连接 AR，则 CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时 CR+AR 的值最小，最 小值为 BC= 22 63=35设直线 BC 的解析式为 y=kx+
7、b，B（6，0） ，C（0，-3） ， 60 3 kb b ，解得 2 3 1 k b ，直线 BC 的解析式为：y= 1 2 x-3，令 x= 7 2 ，得 y= 1 2 7 2 -3=- 5 4 ，R 点坐标为（ 7 2 ，- 5 4 ） ； （3）证明：设点 P 坐标为（x，- 1 2 x2+ 7 2 x-3） A（1，0） ，B（6，0） ，N（ 7 2 ，0） ， 以 AB 为直径的N 的半径为 1 2 AB= 5 2 ，NP= 5 2 ，即（x- 7 2 ） 2+（-1 2 x2+ 7 2 x-3） 2=（5 2 ） 2，化简整理得，x4-14x3+65x2-112x+60=0，
8、（x-1） （x-2） （x-5） （x-6）=0，解得 x 1=1（与 A 重合，舍去） ，x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去） ，x4=6（与 B 重合，舍去） ，点 P 坐 标为（2，2） M（ 7 2 ， 25 8 ） ，N（ 7 2 ，0） ，PM2=（2- 7 2 ）2+（2- 25 8 ）2= 225 64 ，PN2= （2- 7 2 ）2+22= 25 4 = 400 64 ， MN2=（ 25 8 ）2= 625 64 ，PM2+PN2=MN2，MPN=90，点 P 在N 上，直线 MP 是N 的切线 第 4 页 共 8 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【教师总结】本
9、题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析 式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性 强 探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题 例 2:（2015茂名）如图，在平面直角坐标系中，A 与 x 轴相交于 C（-2，0） ，D（-8，0） 两点，与 y 轴相切于点 B（0，4） （1）求经过 B，C，D 三点的抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为 E，证明：直线 CE 与A 相切； （3）在 x 轴下方的抛物线上，是否存在一点 F，使BDF 面积最大，最大值是多少？并求 出点 F 的坐标。
10、 解： （1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把 B（0，4） ，C（-2，0） ，D（-8，0）代入得： 4 0 42 0 648 c abc abc ， 解得 4 1 4 5 2 a b c 经过 B，C，D 三点的抛物线的函数表达式为：y= 1 4 x2+ 5 2 x+4； 第 5 页 共 8 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 （2） y= 1 4 x2+ 5 2 x+4= 1 4 （x+5） 2-9 4 ， E （-5， - 9 4 ） ， 设直线 CE 的函数解析式为 y=mx+n， 直线 CE 与 y 轴交于点 G， 则 0 5 4 2 9 mn mn ， 解得： 3 4
11、 3 2 m n ， y= 3 4 x+ 3 2 ， 在 y= 3 4 x+ 3 2 中，令 x=0，y= 3 2 ，G（0， 3 2 ） ， 如图 1， 连接 AB， AC， AG， 则 BG=OB-OG=4- 3 2 = 5 2 ， CG= 22 OCOG= 22 2 3 ( ) 2 = 5 2 ， BG=CG，AB=AC， 在ABG 与ACG 中， ABAC BGCG AGAG ，ABGACG，ACG=ABG，A 与 y 轴相切于点 B（0，4） ，ABG=90，ACG=ABG=90点 C 在A 上，直线 CE 与A 相切； （3）存在点 F，使BDF 面积最大， 如图 2 连接 BD，
12、BF，DF，设 F（t， 1 4 t2+ 5 2 t+4） ， 过 F 作 FNy 轴交 BD 于点 N，设直线 BD 的解析式为 y=kx+d，则 4 08 d kd ，解得 4 1 2 k d 直线 BD 的解析式为 y= 1 2 x+4， 点 N 的 坐 标 为 （ t ， 1 2 t+4 ） ， FN= 1 2 t+4- （ 1 4 t2+ 5 2 t+4 ） =- 1 4 t2-2t ， S DBF =SDNF+S BNF = 1 2 ODFN= 1 2 8 （- 1 4 t2-2t）=-t2-8t=-（t+4）2+16，当 t=-4 时，S BDF 最大，最大值是 16，当 t=-
13、4 时， 1 4 t2+ 5 2 t+4=-2，F（-4，-2） 第 6 页 共 8 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【变式训练】【变式训练】如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0，c0）交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C，设过点 A，B，C 的圆与 y 轴的另一个交点为 D已知点 A，B，C 的坐标分别为（-2， 0） ， （8，0） ， （0，-4） （1）求此抛物线的表达式与点 D 的坐标； （2）若点 M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求BDM 面积的最大值。 解： （1）抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（-2，0） ，B（8，0） ，C（0，-4） ， 4
14、20 6480 4 abc abc c ， 解得 1 4 3 2 4 a b c ， 抛物线的解析式为：y= 1 4 x2- 3 2 x-4；OA=2，OB=8，OC=4，AB=10如答图 1，连接 AC、BC，由勾股定理得：AC=20，BC=80AC2+BC2=AB2=100，ACB=90， AB 为圆的直径由垂径定理可知，点 C、D 关于直径 AB 对称，D（0，4） ； （2）解法一：设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，B（8，0） ，D（0，4） ， 80 4 kb b ， 第 7 页 共 8 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 解得 1 4 2 k b ， 直线 BD 解析式为：y
15、=- 1 2 x+4设 M（x， 1 4 x2- 3 2 x-4） ，如答图 2-1， 过点 M 作 MEy 轴，交 BD 于点 E，则 E（x，- 1 2 x+4） ME=（- 1 2 x+4）-（ 1 4 x2- 3 2 x-4） =- 1 4 x2+x+8 SBDM=SMED+SMEB= 1 2 ME （xE-xD） + 1 2 ME （xB-xE） = 1 2 ME （xB-xD） =4ME， SBDM=4（- 1 4 x2+x+8）=-x2+4x+32=-（x-2）2+36当 x=2 时，BDM 的面积有最大值 为 36； 解法二：如答图 2-2，过 M 作 MNy 轴于点 N设 M
16、（m， 1 4 m2- 3 2 m-4） ，SOBD= 1 2 OB OD= 1 2 =16， S梯形OBMN= 1 2（MN+OB） ON= 1 2（m+8） - （ 1 4 m2- 3 2 m-4） =- 1 2 m （ 1 4 m2- 3 2 m-4） -4（ 1 4 m2- 3 2 m-4） ， SMND= 1 2 MNDN= 1 2 m4-（ 1 4 m2- 3 2 m-4）=2m- 1 2 m（ 1 4 m2- 3 2 m-4） ，SBDM=SOBD+S梯 形OBMN-SMND=16- 1 2 m（ 1 4 m2- 3 2 m-4）-4（ 1 4 m2- 3 2 m-4）-2m+ 1 2 m（ 1 4 m2- 3 2 m-4）=16-4 （ 1 4 m2- 3 2 m-4）-2m=-m2+4m+32=-（m-2）2+36；当 m=2 时，BDM 的面积有最大值为 36 第 8 页 共 8 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 【教师总结】本题考查了待定系数法求解析式，在解答此类问题时要注意构造出辅助线，利 用圆的有关性质、勾股定理、三角形面积的求法等综合求解.
