1、一、选择题 1.若 log4(3a4b)log2ab，则 ab 的最小值是( ) A.62 3 B.72 3 C.64 3 D.74 3 解析 先判断a，b的符号，再将已知的式子转化为关于a，b的方程，最后根 据基本不等式求解. 由题意得 ab0， ab0， 3a4b0， 所以 a0， b0. 又 log4(3a4b)log2ab，所以 log4(3a4b)log4ab， 所以 3a4bab，故4 a 3 b1. 所以 ab(ab) 4 a 3 b 73a b 4b a 72 3a b 4b a 74 3， 当且仅当3a b 4b a 时取等号，故选 D. 答案 D 2.要制作一个容积为 4
2、m3，高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价 是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 ( ) A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元 解析 设底面矩形的一条边长是 x m，总造价是 y 元，把 y 与 x 的函数关系式 表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值. 由题意知，体积 V4 m3，高 h1 m，所以底面积 S4 m2，设底面矩形的一 条边长是 x m，则另一条边长是4 x m，又设总造价是 y 元，则 y204 10 2x8 x 80202x8 x160，当且仅当 2x 8 x，即 x2 时取得等号. 答案 C
3、 3.函数 ylog2 x 1 x15 (x1)的最小值为( ) A.3 B.3 C.4 D.4 解析 x1，x10， ylog2 x 1 x15 log2 x1 1 x16 log2(26)log283. 答案 B 4.若 a，b，c0 且 a(abc)bc42 3，则 2abc 的最小值为( ) A. 31 B. 31 C.2 32 D.2 32 解析 a(abc)bc42 3 a(ab)(ab)c(ab)(ac)42 3. 而 2abc(ab)(ac)2 （ab）（ac） 2 42 32 32. 当且仅当 abac，即 bc 时等号成立. 答案 D 5.若不等式 x22xay22y 对任
4、意实数 x、y 都成立，则实数 a 的取值范围 是( ) A.a0 B.a1 C.a2 D.a3 解析 x22xay22y，对任意实数 x、y 都成立， 则 ay22yx22x2(x1)2(y1)2恒成立，而 2(x1)2(y1)2 2，a2. 答案 C 6.在下列函数中，最小值是 2 的是( ) A.yx 5 5 x(xR 且 x0) B.ylg x 1 lg x(10，运用基本不等 式取等号的条件是 3x 1 3x，而 x0 成立，故选 C.D 中，00，b0，ab2 ab0， 当且仅当 ab 时，取等号. 1 a 1 b2 1 ab0， 当且仅当1 a 1 b，即 ab 时取等号. ，得
5、(ab) 1 a 1 b 2 ab2 1 ab4，当且仅当 ab 时，取等号. 11.如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 在 AM 上，D 在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点，已知|AB|3 米，|AD|2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 AN 的长应在什么范围内？ (2)当 AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最小？并求最小面积； (3)若 AN 的长度不少于 6 米，则当 AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最 小？并求出最小面积. 解 设 AN 的长为 x 米(x2)，矩形 AMPN 的面积为 y. |DN| |AN| |DC| |AM|，|AM| 3x x2， S矩形AMPN|AN| |AM| 3x2 x2(x2) (1)由 S矩形AMPN32 得 3x2 x232， x2，3x232x640， 即(3x8)(x8)0，2x24， 则 g(x1)g(x2)3(x1x2)12（x 2x1） x1x2 3（x 1x2）（x1x24） x1x2 ， x1x24，x1x20，x1x216， g(x1)g(x2)0，g(x)在4，)上递增. y3(x2) 12 x212 在6，)上递增. 当 x6 时，y 取得最小值，即 S矩形AMPN取得最小值 27 平方米.
