1、 模块检测 B (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 50 分) 1.下列有关坐标系的说法中，错误的是( ) A.在直角坐标系中，通过伸缩变换可以把圆变成椭圆 B.在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小 C.任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程 D.同一条曲线可以有不同的参数方程 解析 直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变换可以改变图 形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭 圆，椭圆也可以变成圆是一样的，而平移变换不改变图形的形状和大小而只改 变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不
2、能化成普通方程的，同一 条曲线根据参数的选取的不同可以有不同的参数方程. 答案 C 2.曲线的参数方程为 x3t22， yt21 (t 为参数)，则曲线是( ) A.线段 B.双曲线的一支 C.圆 D.射线 解析 消去参数 t，得到方程 x3y5. 又因为 x3t222，所以方程为 x3y5 (x2). 所以曲线应为射线. 答案 D 3.一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切， 则反射光线所在直线的斜率为( ) A.5 3或 3 5 B.3 2或 2 3 C.5 4或 4 5 D.4 3或 3 4 解析 由已知，得点(2，3)关于 y 轴的对称点为(2，3
3、)，由入射光线与反 射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3).设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.由反射光 线与圆相切，则有 d|3k22k3| k21 1，解得 k4 3或 k 3 4，故选 D. 答案 D 4.极坐标方程 2(2sin )2sin 0 表示的图形为( ) A.一个圆与一条直线 B.一个圆 C.两个圆 D.两条直线 解析 将所给方程进行分解，可得(2) (sin )0，即 2 或 sin ， 化成直角坐标方程分别是 x2y24 和 x2y2y0，可知分别表示两个圆. 答案 C 5.在参数方程 xatcos ， y
4、btsin (t 为参数)所表示的曲线上有 B，C 两点，它们对 应的参数值分别为 t1，t2，则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是( ) A.t 1t2 2 B.t 1t2 2 C.|t 1t2| 2 D.|t 1t2| 2 解析 将参数值代入方程，分别得到 B，C 两点的坐标，而 M 点为 BC 中点， 则有 xMx BxC 2 ，可得 M 点对应的参数值为t 1t2 2 . 答案 B 6.极坐标方程 cos 20 表示的曲线为( ) A.极点 B.极轴 C.一条直线 D.两条相交直线 解析 cos 20，cos 20，k 4，为两条相交直线. 答案 D 7.已知 P 点的柱坐标是 2
5、， 4，1 ，点 Q 的球面坐标为 1， 2， 4 ，根据空间坐标 系中两点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式|AB| （x1x2）2（y1y2）2（z1z2）2，可知 P、Q 之间的距离为( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 2 2 解析 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把 P 点的柱坐标转化为空 间直角坐标( 2， 2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把 Q 点 的球坐标转化为空间直角坐标 2 2 ， 2 2 ，0 ，代入两点之间的距离公式即可得 到距离为 2. 答案 B 8.双曲线 xtan ， y 2 cos ( 为参数)的渐近线方
6、程为( ) A.x 2y0 B.x 4y0 C.2x y0 D.4x y0 解析 将双曲线方程化为普通方程为y 2 4x 21， 则 a2，b1， 渐近线方程为 y 2x，应选 C. 答案 C 9.已知曲线的方程是 x4cos3 ， y4sin3 ( 为参数)，则该曲线( ) A.关于原点、x 轴、y 轴都对称 B.仅关于 x 轴对称 C.仅关于 y 轴对称 D.仅关于原点对称 答案 A 10.在参数方程 xatcos ， ybtsin (t 为参数)所表示的曲线上有 B，C 两点，它们对 应的参数值分别为 t1，t2，则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是( ) A.t 1t2 2 B.t
7、 1t2 2 C.|t 1t2| 2 D.|t 1t2| 2 解析 当 tt1时， x 1at1cos ， y1bt1sin ， tt2时， x 2at2cos ， y2bt2sin ， 中点坐标为 x1x2 2 at 1cos at2cos 2 at 1t2 2 cos ， y1y2 2 bt 1sin bt2sin 2 bt 1t2 2 sin ， 中点 M 对应的参数值是t 1t2 2 . 答案 B 二、填空题(每小题 5 分，共 25 分) 11.已知直线 l 的参数方程为 x2t， y3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
8、 sin24cos 0(0， 02)，则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 _. 解析 参数方程 x2t， y3t 化为普通方程为 yx1.由 sin24cos 0，得 2sin24cos 0，其对应的直角坐标方程为 y24x0，即 y24x.由 yx1， y24x 可得 x1， y2，故直线和抛物线的交点坐标为(1，2)，故交点的极径为 1222 5. 答案 5 12.若曲线 x2pt， y2pt2 (t 为参数)上异于原点的不同两点 M1M2所对应的参数分别是 t1、t2，则弦 M1M2所在直线的斜率是_. 解析 设 M1(2pt12pt21)，M2(2pt2，2pt22)， k2pt
9、2 12pt22 2pt12pt2 t21t22 t1t2t1t2. 答案 t1t2 13.在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为 sin2cos 和 sin 1.以极点 为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲 线 C1和 C2交点的直角坐标为_. 解析 因为 xcos ，ysin ，由 sin2cos ，得 2sin2cos ，所以曲 线 C1的普通方程为 y2x. 由 sin 1， 得曲线 C2的普通方程为 y1.由 y 2x， y1 得 x1， y1，故曲线 C1 与曲 线 C2交点的直角坐标为(1，1). 答案 (1，1) 14.在以 O 为极点
10、的极坐标系中，圆 4sin 和直线 sin a 相交于 A，B 两 点.若AOB 是等边三角形，则 a 的值为_. 解析 由 4sin 可得 x2y24y，即 x2(y2)24.由 sin a 可得 ya. 设圆的圆心为 O，ya 与 x2(y2)24 的两交点 A，B 与 O 构成等边三角形，如图所示.由对称性知OOB30 ，ODa.在 RtDOB 中， 易求 DB 3 3 a， B 点的坐标为 3 3 a，a . 又B 在 x2y24y0 上， 3 3 a 2 a24a0，即4 3a 24a0，解得 a0(舍去)或 a3. 答案 3 15.点 P(x， y)是椭圆 2x23y212 上的一
11、个动点， 则 x2y 的最大值为_. 解析 椭圆为x 2 6 y2 41，设 P( 6cos ，2sin )， x2y 6cos 4sin 22sin() 22. 答案 22 三、解答题(共 6 题，共 75 分) 16.(12 分)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 2cos ， 0， 2 . (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y 3x2 垂直，根据(1)中你得 到的参数方程，确定 D 的坐标. 解 (1)C 的普通方程为(x1)2y21(0y1).可得 C 的参数方程为
12、 x1cos t， ysin t (t 为参数，0t). (2)设 D(1cos t，sin t)，由(1)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆.因 为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同，tan t 3，t 3.故 D 的直角坐标为 1cos 3，sin 3 ，即 3 2， 3 2 . 17.(12 分)求直线 x12t， y2t (t 为参数)被圆 x2y29 截得的弦长. 解 x12t， y2t x1 5t 2 5， y2 5t 1 5 把直线 x12t y2t 代入 x2y29， 得(12t)2(2t)29，5t28t40. |t1t
13、2|（t1t2）24t1t2 8 5 2 16 5 12 5 ，弦长为 5|t1t2|12 5 5. 18.(12 分)过点 A(1，0)的直线 l 与抛物线 y28x 交于 M、N 两点，求线段 MN 的 中点的轨迹方程. 解 设抛物线的参数方程为 x8t2， y8t (t 为参数)， 可设 M(8t21，8t1)，N(8t22，8t2)， 则 kMN8t 28t1 8t228t21 1 t1t2. 又设 MN 的中点为 P(x，y)， 则 x8t 2 18t22 2 ， y8t 18t2 2 . kAP 4（t1t2） 4（t21t22）1， 由 kMNkAP知 t1 t21 8，又 x4
14、（t21t2 2）， y4（t1t2）， 则 y216(t21t222t1t2)16 x 4 1 4 4(x1). 所求轨迹方程为 y24(x1). 19.(12 分)已知 A、B 是椭圆x 2 9 y2 41 与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的 椭圆弧上求一点 P，使四边形 OAPB 的面积最大. 解 椭圆的参数方程为 x3cos ， y2sin ( 为参数). 设点 P 的坐标为(3cos ，2sin )，其中 0 2， SOAPBSAPBSAOB，其中 SAOB为定值，故只需 SAPB最大即可.又 AB 为定 长，故只需点 P 到 AB 的距离最大即可. AB 的方程为 2x3y60，
15、 点 P 到 AB 的距离为 d|6cos 6sin 6| 13 6 13 2sin 4 1 . 当 4时，d 取最大值，从而 SAPB 取最大值，这时点 P 的坐标为 3 2 2 ， 2 . 20.(13 分)已知直线 l： x5 3 2 t， y 31 2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点 M 的直角坐标为(5， 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA| |MB| 的值. 解 (1)2cos 等价于 22cos .将 2x2y2，cos
16、 x 代入 22cos 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22x0. (2)将 x5 3 2 t， y 31 2t (t 为参数)代入 x2y22x0，得 t25 3t180.设这个 方程的两个实根分别为 t1，t2，则由参数 t 的几何意义知，|MA| |MB|t1t2|18. 21.(14 分)将圆 x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍， 得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程； (2)设直线 l：2xy20 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系， 求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上的点(x，y)，依题意， 得 xx1， y2y1. 由 x21y211 得 x2 y 2 2 1， 即曲线 C 的方程为 x2y 2 41.故 C 的参数方程为 xcos t， y2sin t (t 为参数). (2)由 x2y 2 41， 2xy20， 解得 x1， y0 或 x0， y2. 不妨设 P1(1，0)，P2(0，2)，则线段 P1P2的中点坐标为 1 2，1 ，所求直线斜率为 k1 2，于是所求直线方程为 y1 1 2 x1 2 ，化为极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3，即 3 4sin 2cos .
