1、 第 1 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 24.1.3 24.1.3 弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角 教学内容教学内容 1圆心角的概念 2有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等 3定理的推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等, 那么它们所对的圆心角相等, 所对的弦相等 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 教学目标教学目标 了解圆心角的概念:掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可 以推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用 通过复习旋转的知识, 产生圆心角的概念, 然
2、后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都 分别相等,最后应用它解决一些具体问题 重难点、关键重难点、关键 1重点:定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对弦也相等及其 两个推论和它们的应用 2难点与关键:探索定理和推导及其应用 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 (学生活动)请同学们完成下题 已知OAB,如图所示,作出绕 O 点旋转 30、45、60的图形 老师点评:绕 O 点旋转,O 点就是固定点,旋转 30,就是旋转角BOB =30 二、探索新知二、探索新知 如图所示,AOB 的顶点在圆心,
3、像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 (学生活动)请同学们按下列要求作图并回答问题: 如图所示的O 中,分别作相等的圆心角AOB 和A OB 将圆心角 AOB 绕圆心 O 旋转到AOB的位置,你能发现哪些等量关系?为什么? AB=A B,AB=AB 理由:半径 OA 与 OA重合,且AOB=AOB 半径 OB 与 OB重合 点 A 与点 A重合,点 B 与点 B重合 AB与A B重合,弦 AB 与弦 AB重合 AB=A B,AB=AB 因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 在等圆中, 相等的圆心角是否也有所对的弧相等, 所对的弦相等呢? 请同学们现在动手作一作 (学生活动)老师
4、点评:如图 1,在O 和O中, 分别作相等的圆 心角AOB 和AOB得到如图 2,滚动一个圆,使 O 与 O重合,固定圆心,将其中的 一个圆旋转一个角度,使得 OA 与 OA重合 B A O B A O B B A A O 第 2 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 O(O) O O B A BB O(O) O O B A A A (1) (2) 你能发现哪些等量关系?说一说你的理由? 我能发现:AB=A B,AB=A /B/ 现在它的证明方法就转化为前面的说明了, 这就是又回到了我们的数学思想上去呢 化归思想,化未知为已知,因此,我们可以得到下面的定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧
5、相等,所对的弦也相等 同样,还可以得到: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等, 所对的弦也相等 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等, 所对的弧也相等 (学生活动)请同学们现在给予说明一下 请三位同学到黑板板书,老师点评 例例 1 1如图,在O 中,AB、CD 是两条弦,OEAB,OFCD,垂足分别 为 EF (1)如果AOB=COD,那么 OE 与 OF 的大小有什么关系?为什么? (2)如果 OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系?AB 与 CD 的大小 有什么关系? 为什么?AOB 与COD 呢? 分析: (1)要说明 OE=OF,只要在直角
6、三角形 AOE 和直角三角形 COF 中 说明 AE=CF,即说明 AB=CD,因此,只要运用前面所讲的定理即可 (2)OE=OF,在 RtAOE 和 RtCOF 中, 又有 AO=CO 是半径,RtAOERt COF, AE=CF,AB=CD,又可运用上面的定理得到AB=CD 解: (1)如果AOB=COD,那么 OE=OF 理由是:AOB=COD AB=CD OEAB,OFCD AE= 1 2 AB,CF= 1 2 CD AE=CF 又OA=OC RtOAERtOCF OE=OF (2)如果 OE=OF,那么 AB=CD,AB=CD,AOB=COD 理由是: OA=OC,OE=OF RtO
7、AERtOCF AE=CF 又OEAB,OFCD AE= 1 2 AB,CF= 1 2 CD AB=2AE,CD=2CF AB=CD AB=CD,AOB=COD 三、巩固练习三、巩固练习 O B A C E D F 第 3 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 教材 练习 1 四、四、应用拓展应用拓展 例例 2 2如图 3 和图 4,MN 是O 的直径,弦 AB、CD 相交于 MN 上的一点 P, APM= CPM (1)由以上条件,你认为 AB 和 CD 大小关系是什么,请说明理由 (2)若交点 P 在O 的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请 说明理由 B A C E D
8、P O N M F B A C E D P N M F (3) (4) 分析: (1)要说明 AB=CD,只要证明 AB、CD 所对的圆心角相等, 只要说明它们的一 半相等 上述结论仍然成立,它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解: (1)AB=CD 理由:过 O 作 OE、OF 分别垂直于 AB、CD,垂足分别为 E、F APM=CPM 1=2 OE=OF 连结 OD、OB 且 OB=OD RtOFDRtOEB DF=BE 根据垂径定理可得:AB=CD (2)作 OEAB,OFCD,垂足为 E、F APM=CPN 且 OP=OP,PEO=PFO=90 RtOPERtOPF OE=OF 连接 OA、OB、OC、OD 易证 RtOBERtODF,RtOAERtOCF 1+2=3+4 AB=CD 五、归纳总结(学生归纳,老师点评)五、归纳总结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1圆心角概念 2在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等, 那么它们 所对应的其余各组量都部分相等,及其它们的应用 六、布置作业六、布置作业 1教材 P94-95 复习巩固 4、5、