1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷) 一、选择题 1.B A=x|-1 , 故选 B. 评析 本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式. 12.D 当 n=2k 时,a2k+1+a2k=4k-1, 当 n=2k-1 时,a2k-a2k-1=4k-3, a2k+1+a2k-1=2,a2k+1+a2k+3=2,a2k-1=a2k+3, a1=a5=a61. a1+a2+a3+a60=(a2+a3)+(a4+a5 + a60+a61 =3+7+11+ 260-1)= =3061=1 830. 评析 本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想. 二、填空题 1
2、3. 答案 y=4x-3 解析 y=3ln x+1+x =3ln x+4,k=y|x=1=4,切线方程为 y-1=4(x-1),即 y=4x-3. 评析 本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力. 14. 答案 -2 解析 由 S3+3S2=0 得 4a1+4a2+a3=0,有 4+4q+q 2=0,解得 q=-2. 评析 本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果. 15. 答案 3 解析 把|2a-b|= 两边平方得 4|a| 2-4|a|b|cos 45+|b|2=10. |a|=1,|b| 2-2 |b|-6=0. |b|=3 或|b|=- (舍去). 评析 本
3、题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为 数量问题是求解的关键. 16. 答案 2 解析 f(x)= =1+ ,令g(x)= ,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0, 故 M+m=2. 评析 本题考查了函数性质的应用,运用了奇函数的值域关于原点对称的特征,考查了转 化与化归的思想方法. 三、解答题 17. 解析 由 c= asin C-ccos A 及正弦定理得 sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于 sin C0,所以 sin( - )= . 又 00,则当 x -,ln a)时, f (x)0, 所以, f(x)
4、在(-,ln a 上单调递减,在 ln a,+ 上单调递增. 由于 a=1,所以(x-k)f (x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1. 故当 x0 时,(x-k)f (x)+x+10 等价于 k0 . 令 g(x)= - +x,则 g(x)= - - - +1= - - - . 由 知,函数 h(x)=e x-x-2 在 0,+ 上单调递增.而 h(1)0,所以 h(x)在 0,+ 上存在唯一的零点.故 g(x)在 0,+ 上存在唯一的零点.设此零点为 ,则 1,2 . 当 x 0, 时,g(x)0. 所以 g(x)在 0,+ 上的最小值为 g . 又由 g =0,可得 e =+2,
5、所以 g =+1 2,3 . 由于式等价于 kg ,故整数 k 的最大值为 2. 评析 本题考查了函数与导数的综合应用,判断出导数的零点范围是求解第 问的关 键. 22. 证明 因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DEBC. 又已知CFAB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CFAD,连结AF,所以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF. 因为 CFAB,所以 BC=AF,故 CD=BC. 因为 FGBC,故 GB=CF. 由 可知 BD=CF,所以 GB=BD. 而DGB=EFC=DBC,故BCDGBD. 评析 本题考查了直线和圆的位置关系,处理好平行
6、的关系是关键. 23. 解析 由已知可得 A( , ), B 2cos + ,2sin + , C 2cos + ,2sin + , D 2cos + ,2sin + , 即 A(1, ),B(- ,1),C(-1,- ),D( ,-1). 设 P 2cos ,3sin ,令 S=|PA| 2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则 S=16cos 2+36sin2+16=32+20sin2. 因为 0sin 21,所以 S 的取值范围是32,52. 评析 本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法,正确“互化” 是关键,难点是建立函数 S=f . 24. 解析 当 a=-3 时, f(x)= - , , , , - , . 当 x2 时,由 f x 3 得-2x+53,解得 x1; 当 2x3 时, f x 3 无解; 当 x3 时,由 f x 3 得 2x-53,解得 x4. 所以 f x 3 的解集为x|x1 或 x4. f x |x-4|x-4|-|x-2|x+a|. 当 x1,2时,|x-4|-|x-2|x+a| 4-x-(2-x |x+a| -2-ax2-a. 由条件得-2-a1 且 2-a2,即-3a0. 故满足条件的 a 的取值范围为-3,0. 评析 本题考查了含绝对值不等式的解法,运用零点法分类讨论解含绝对值的不等式,考 查了运算求解能力.
