1、 齐次线性方程组解的性质与结构齐次线性方程组解的性质与结构、计算方法都是计算方法都是线性方程组的理论基础线性方程组的理论基础, , 它们在实际应用与研究上都它们在实际应用与研究上都十分重要十分重要, , 必须熟练掌握必须熟练掌握. . 一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是相容的相容的, ,否则就否则就是是不相容或矛盾方程组不相容或矛盾方程组. .1、齐次方程组的解的结构与性质、齐次方程组的解的结构与性质设有设有mn齐次线性方程组齐次线性方程组111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax 若记它的矩阵形式为
2、若记它的矩阵形式为AxO 一定有零解，一定有零解，总相容总相容问题问题 对齐次方程组，在何种情况下有非平凡解，以对齐次方程组，在何种情况下有非平凡解，以及怎样表示出其所有的解？及怎样表示出其所有的解？定理定理mn齐次线性方程组齐次线性方程组存在非平凡解的充分必要条存在非平凡解的充分必要条件是系数矩阵之秩小于未知数个数，即件是系数矩阵之秩小于未知数个数，即 r(A) n，且在能且在能得出其任一解的通解式中含有得出其任一解的通解式中含有n-r(A)个任意常数个任意常数. .说明说明例例1234123412342202220430 xxxxxxxxxxxx解解 对系数矩阵施行初等行变换对系数矩阵施行
3、初等行变换122121221143A12210364036413122rrrr 1 2 210 1 2 4 30 0 00)3(223 rrr212rr 1 02530 124 30 00013423452034203xxxxxx134234523423xxxxxx故故 r(A)=2, 又又n=4, 方程组有非零解且带有方程组有非零解且带有n-r(A)=2常数常数.与原方程组同与原方程组同解的方程组解的方程组1122123142523423xccxccxcxc3142,xcxc令令，1212345232431001xxccxx或或根据根据134234523423xxxxxx则方程组的则方程组的
4、通解通解为为 c1和和c2为两个任意常数为两个任意常数1212cc 12， 称非零解向称非零解向量量 构构成该方程组的成该方程组的基础解系基础解系1234123412342202220430 xxxxxxxxxxxx2、非齐次方程组、非齐次方程组一般一般m n非齐次线性非齐次线性代数方程组的矩阵代数方程组的矩阵- -向量形式为向量形式为 Axb 矩阵矩阵Am n为系数矩阵，分块矩阵为系数矩阵，分块矩阵与与之具有相同系数矩阵的方程组之具有相同系数矩阵的方程组AA b 为为增广矩阵增广矩阵11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxax
5、b 为其为其对应齐次方程组对应齐次方程组( (也称为也称为导出组导出组).).0Ax 非齐次方程组不一定有解，而有重要的非齐次方程组不一定有解，而有重要的相容性定理相容性定理定理定理 对非齐次方程组对非齐次方程组(1) (1) 当当 ()()r Ar A 时时方程组相容，即方程组相容，即有解有解 具体为具体为若若( )( ),r Ar An 方程组有无限多个解，其通解式中方程组有无限多个解，其通解式中的相容性的相容性, ,有如下结论：有如下结论： 若若 ( )( ),r Ar An 则方程组有惟一确定的解则方程组有惟一确定的解. .Axb 带有带有n-r(A)个任意常数个任意常数. . 当当
6、(2) (2) ()()r Ar A 时，方程组不相容，即时，方程组不相容，即无解无解. . （n 表示未知数的个数）表示未知数的个数）方法方法 判定判定 ，只需对增广矩阵实施初等，只需对增广矩阵实施初等行行变换至变换至行行阶梯形矩阵即可看出阶梯形矩阵即可看出( )( )r Ar A和和例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组12341234123423 13 5322 223xxxxxxxxxxxx 1231112311()31532 054012122300002rA b 解解 增广矩阵增广矩阵r(A) = 2，r(A, b) = 3 ， r(A) r(A, b)，第第 3 行对应的
7、方程是行对应的方程是 0 = 2，产生矛盾，产生矛盾，故原线性方程组无解故原线性方程组无解例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组123412423412342 5 83 692 254760 xxxxxxxxxxxxxx 21518100031306901004()02125001011476000011rA b 解解 增广矩阵增广矩阵r(A) = r(A, b) = 4（未知数的个数），（未知数的个数），故原线性方程组有唯一解故原线性方程组有唯一解 x1 = 3，x2 = 4，x3 = 1，x4 = 1例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组12341234123412342
8、2 2 44622436979xxxxxxxxxxxxxxxx 21112101041121401103()46224000133697900000rA b 解解 增广矩阵增广矩阵r(A) = r(A, b) = 3 4（未知数的个数）（未知数的个数）故原线性方程组有无穷多解故原线性方程组有无穷多解解解得与原方程组同解的方程组得与原方程组同解的方程组取取x3作作自由变量自由变量，则，则13234433xxxxx 13234433xxxxx 2111210104112140110346224000133697900000rA b 令令x3 = c，123414131003xxccRxx ，则其则
9、其通解为通解为例例 设有线性方程组设有线性方程组问问l l 取何值时，此方程组有取何值时，此方程组有(1) (1) 唯一解；唯一解；(2) (2) 无解；无解；(3) (3) 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解有无限多个解？并在有无限多解时求其通解123123123(1) 0(1) 3 (1)xxxxxxxxxl ll lllll 解解1 1 对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵11101113111l ll lllll 1311111131110rrlllll ll l 2131(1)111030(2)(1)rrrrl llllllllll
10、lllllllllll 321110300(3)(1)(3)rrllllllllllllllllll 11101113111l ll lllll 1311111131110rrlllll ll l 11101 11()1113 031110 0(3) (1)(3)rAbl ll ll ll ll ll ll ll l l ll ll ll ll l 分析分析讨论方程组的解的情况，就是讨论参数讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l l 取什么值时，取什么值时，第第2 2、3 3行是非零行行是非零行在第在第2 2、3 3行中，有行中，有5 5处地方出现了处地方出现了l l ，要使这，要使这5 5个
11、元素等个元素等于零，于零， l l =0=0，3 3，3 3，1 1 实际上没有必要对这实际上没有必要对这4 4个可能取值逐一进行讨论，个可能取值逐一进行讨论，先从先从方程组有唯一解入手方程组有唯一解入手于是于是 当当 l l 0 且且 l l 3 时时，r(A) = r(A,b) = 3 ，有唯一解，有唯一解 当当 l l = 0 时时，1110( , )11131110A b 1110 00010000r11101 11()1113 031110 0(3) (1)(3)rAbl ll ll ll ll ll ll ll l l ll ll ll ll l r(A) = 1， r(A,b)
12、= 2 ，无解，无解.于是于是 当当 l l 0 且且 l l 3 时时，r(A) = r(A,b) = 3 ，有唯一解，有唯一解 当当 l l = 0 时时，11101 11()1113 031110 0(3) (1)(3)rAbl ll ll ll ll ll ll ll l l ll ll ll ll l r(A) = 1， r(A,b) = 2 ，无解，无解. 当当 l l = 3 时时，r(A) = r(A,b) = 2 ，有无限多解，有无限多解2110( , )12131123A b 1011 01120000r1110( , )1113111A bl ll lllll 解解2 2
13、 因为系数矩阵因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的是方阵，所以方程组有唯一解的充要条件是充要条件是 |A| 0 2111|111(3)111Al lll lll ll l 于是当于是当 l l 0 且且 l l 3 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解余下的步骤同余下的步骤同解法解法1 1注注比较解法比较解法1 1与解法与解法2 2，解法，解法2 2比较简单，但解法比较简单，但解法2 2的方的方法只适用于系数矩阵是法只适用于系数矩阵是方阵方阵的情形的情形对含参数的矩阵作初等变换时，由于对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l l +1， l l +3 等等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对如果作了这样的变换，则需对 l l +1 = 0（或或 l l +3 = 0）的情况另作讨论的情况另作讨论 2111rrl l 2(1)rl l3(3)rl l作业作业P108. 5(2)P116. 6(2), 8(1)P117. 4-5
