1、1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 浙江理科数学 1.(2016 浙江,理 1)已知集合 P=xR|1x3,Q=xR|x24,则 P(RQ)=( ) A.2,3 B.(-2,3 C.1,2) D.(-,-21,+) 答案 B Q=xR|x24=xR|x-2,或 x2 , RQ=xR|-20)的焦点重合,e 1,e2分别为 C1,C2的离心率,则( ) A.mn,且 e1e21 B.mn,且 e1e21. 故选 A. 8.(2016 浙江,理 8)已知实数 a,b,c.( ) A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|1,则 a2+b2+c20),则 A=
2、,b= . 答案 1 解析2cos2x+sin 2x=cos 2x+1+sin 2x = sin( )+1, A= ,b=1. 11.(2016 浙江,理 11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2, 体积是 cm3. 答案 72 32 解析由三视图,可知该几何体为两个相同长方体组合而成,其中每个长方体的长、宽、高分别为 4 cm,2 cm,2 cm,所以其体积为 2(224)=32(cm3).由于两个长方体重叠部分为一个边长为 2的正方 形 ,所以其表面积为 2(222+424)-2(22)=72(cm2). 12.(2016 浙江,理 12)已知 ab1,若
3、 logab+logba= ,a b=ba,则 a= ,b= . 答案 4 2 解析设 logba=t,由 ab1,知 t1 . 由题意,得 t+ ,解得 t=2,则 a=b 2. 由 ab=ba,得 b2b= ,即得 2b=b2,即 b=2, a=4. 13.(2016 浙江,理 13)设数列an的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则 a1= ,S5= . 5 答案 1 121 解析由题意,可得 a1+a2=4,a2=2a1+1, 所以 a1=1,a2=3. 再由 an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2) , 得 an+1-an=2an,即 an+1
4、=3an(n2). 又因为 a2=3a1,所以数列an是以 1 为首项,3为公比的等比数列. 所以 S5= - - =121. 14.(2016 浙江,理 14) 如图,在ABC中,AB=BC=2,ABC=120.若平面 ABC外的点 P 和线段 AC 上的点 D,满足 PD=DA,PB=BA,则四面体 PBCD 的体积的最大值是 . 答案 解析由题意易知ABDPBD,BAD=BPD=BCD=30,AC=2 . 设 AD=x,则 0x2 ,CD=2 -x,在ABD中,由余弦定理知 BD= - - .设PBD中 BD 边上的高为 d,显然当平面 PBD平面 CBD时,四面体 PBCD的体积最 大
5、 , 从而 VP-BCD dS BCD = BCCDsin 30= - - , 令 - =t1,2,则 VP-BCD - (易知 - 在 上单调递减),即 VP-BCD的最 大值为 . 15.(2016 浙江,理 15)已知向量 a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量 e,均有|a e|+|b e| ,则 a b 的最 大值是 . 答案 解析由题意得对任意单位向量 e,均有|(a+b) e| |a e|+|b e| ,即|(a+b) e|max ,即 |a+b| ,所以|a|2+|b|2+2a b6,即 a b ,即 a b 的最大值为 . 16.(2016 浙江,理 16)在ABC
6、中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若ABC的面积 S= ,求角 A 的大小. 6 解(1)由正弦定理 得 sin B+sin C=2sin Acos B, 故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B) =sin B+sin Acos B+cos Asin B. 于是 sin B=sin(A-B). 又 A,B(0,),故 00,当 x1 时,(x2-2ax+4a-2)-2|x- 1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式 F(x)=x2-2ax+4a-2 成立的 x的取值范围为2,2a. (2)设函数 f
7、(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则 f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2, 所以,由 F(x)的定义知 m(a)=minf(1),g(a), 即 m(a)= - - 当 0x2 时,F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2), 当 2x6 时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6). 所以,M(a)= - 19.(2016 浙江,理 19) 如图,设椭圆 +y 2=1(a1). (1)求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长(用 a,k表示); (2)若任意以点 A(0,1
8、)为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点,求椭圆离心率的取值范围. 解(1)设直线 y=kx+1被椭圆截得的线段为 AP,由 得(1+a 2k2)x2+2a2kx=0. 故 x1=0,x2=- . 因此|AP|= |x1-x2| = . (2)假设圆与椭圆的公共点有 4个,由对称性 可设 y轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P,Q,满足 |AP|=|AQ|. 记直线 AP,AQ的斜率分别为 k1,k2,且 k1,k20,k1k2. 由(1)知,|AP|= , |AQ|= , 9 故 , 所以( )1+ +a2(2-a2) =0. 由于 k1k2,k1,k20, 得 1+ +a2(2-a2) =0, 因此( )( )=1+a 2(a2-2), 因为式关于 k1,k2的方程有解的充要条件 是 1+a2(a2-2)1,所以 a . 因此,任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点的充要条件为 1lo - , 且 m0n0,则 ( ) ( ) - =| |-2, 与式矛盾. 综上,对于任意 nN*,均有|an|2.
