1、 1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 dr相离 (2)代数法： 判别式 b24ac 0相交； 0相切； 0)， 圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20). 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2的关系 代数法： 联立两圆方程组成方程组 的解的情况 外离 dr1r2 无解 外切 dr1r2 一组实数解 相交 |r1r2|dr1r2 两组不同的实数解 内切 d|r1r2|(r1r2) 一组实数解 内含 0d|r1r2|(r1r2) 无解 【知识拓展】 1圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x2y2r2上一点
2、P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb) r2. (3)过圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0xy0yr2. 2圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0 条；内切：1 条；相交：2 条；外切： 3 条；外离：4 条 (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组
3、只有一组实数解，则两圆外切( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方 程( ) (4)过圆 O：x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0xy0yr2.( ) (5)过圆 O：x2y2r2外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则 O，P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0xy0yr2.( ) 1(教材改编)圆(x1)2(y2)26 与直线 2xy50 的位置关系是( ) A相切 B相交但直线不过圆心 C相交过圆心 D相离 答案 B 解析 由题意知
4、圆心(1，2)到直线 2xy50 的距离 d|2125| 221 5 6且 21 (2)50， 所以直线与圆相交但不过圆心 2(2016 全国甲卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a 等于( ) A4 3 B 3 4 C. 3 D2 答案 A 解析 由圆的方程 x2y22x8y130，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得 d |1a41| 1a2 1，解之得 a4 3. 3(2016 西安模拟)若直线 xy10 与圆(xa)2y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A3，1 B1,3 C3,1 D(，31，) 答案 C 解析 由题意
5、可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2， |a01| 1212 2，即|a1|2，解得3a1. 4圆 C1：x2y22x6y260 与圆 C2：(x2)2y21 的位置关系是_ 答案 内含 解析 圆 C1的标准方程为(x1)2(y3)236. 其圆心坐标为 C1(1,3)，半径 r16； 圆 C2的圆心坐标为 C2(2,0)，半径 r21. |C1C2|212323 2. 3 21，而圆心 O 到直线 axby1 的 距离 d|a 0b 01| a2b2 1 a2b21. 所以直线与圆相交 (2)直线 2txy22t0 恒过点(1，2)， 12(2)2214(2)50)， 圆心坐标为 M(0，
6、a)，半径 r1为 a， 圆心 M 到直线 xy0 的距离 d |a| 2，由几何知识得 |a| 2 2( 2)2a2，解得 a2. M(0,2)，r12. 又圆 N 的圆心坐标 N(1,1)，半径 r21， |MN| 102122 2， r1r23，r1r21. r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选 B. (2)圆 C 的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为 2. 依题意得 0 a2a222，0|a|2 2. a(2 2，0)(0,2 2) 思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长； (2)利用平面内两点间的距离
7、公式求出圆心距 d，求 r1r2，|r1r2|； (3)比较 d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论 已知两圆 x2y22x6y10 和 x2y210x12ym0. (1)m 取何值时两圆外切； (2)m 取何值时两圆内切； (3)求 m45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 解 两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m， 圆心分别为 M(1,3)，N(5,6)，半径分别为 11和 61m. (1)当两圆外切时， 512632 11 61m， 解得 m2510 11. (2)当两圆内切时，因为定圆的半径 11小于两圆圆心间距离 5， 故只有 61m
8、115，解得 m2510 11. (3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0， 即 4x3y230，所以公共弦长为 2 112|413323| 4232 2 2 7. 题型三 直线与圆的综合问题 命题点 1 求弦长问题 例 3 (2016 全国丙卷)已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|2 3，则|CD|_. 答案 4 解析 设 AB 的中点为 M， 由题意知， 圆的半径 R2 3， |AB|2 3， 所以|OM|3， 解得 m 3 3 ， 由 x
9、 3y60， x2y212 解得 A(3， 3)，B(0，2 3)， 则 AC 的直线方程为 y 3 3(x3)， BD 的直线方程为 y2 3 3x，令 y0，解得 C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4. 命题点 2 直线与圆相交求参数范围 例 4 (2015 课标全国)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交 于 M，N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1， 因为 l 与 C 交于两点，所以|2k31| 1k2 1. 解得4 7
10、3 k4 7 3 . 所以 k 的取值范围为 4 7 3 ，4 7 3 . (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (1k2)x24(1k)x70. 所以 x1x241k 1k2 ，x1x2 7 1k2. OM ON x1x2y1y2 (1k2)x1x2k(x1x2)1 4k1k 1k2 8. 由题设可得4k1k 1k2 812，解得 k1， 所以 l 的方程为 yx1. 故圆心 C 在 l 上，所以|MN|2. 命题点 3 直线与圆相切的问题 例 5 已知圆 C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程 (1)与直线
11、l1：xy40 平行； (2)与直线 l2：x2y40 垂直； (3)过切点 A(4，1) 解 (1)设切线方程为 xyb0， 则|12b| 2 10，b1 2 5， 切线方程为 xy1 2 50. (2)设切线方程为 2xym0， 则|22m| 5 10，m 5 2， 切线方程为 2xy 5 20. (3)kAC21 14 1 3， 过切点 A(4，1)的切线斜率为3， 过切点 A(4，1)的切线方程为 y13(x4)， 即 3xy110. 思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形 (2)圆的切线问题的
12、处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题 (1)(2015 课标全国)过三点 A(1,3)， B(4,2)， C(1， 7)的圆交 y 轴于 M、 N 两点， 则|MN|等于( ) A2 6 B8 C4 6 D10 (2)若直线 xcos ysin 10 与圆(x1)2(ysin )2 1 16相切，且 为锐角，则该直线的 斜率是( ) A 3 3 B 3 C. 3 3 D. 3 答案 (1)C (2)A 解析 (1)由已知，得AB (3，1)，BC(3，9)， 则AB BC3(3)(1)(9)0， 所以AB BC，即 ABBC， 故过三点 A、B、C 的圆以 AC 为直径，
13、得其方程为(x1)2(y2)225， 令 x0，得(y2)224， 解得 y122 6，y222 6， 所以|MN|y1y2|4 6，选 C. (2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径， 即|cos sin21|1 4，|cos cos 2|1 4， 所以 cos cos21 4或 cos cos 21 4(不符合题意，舍去) 由 cos cos21 4，得 cos 1 2， 又 为锐角，所以 sin 3 2 ， 故该直线的斜率是cos sin 3 3 ， 故选 A. 7高考中与圆交汇问题的求解 考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点与圆有 关的最值问题主要表
14、现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相 关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆 的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何 性质 一、与圆有关的最值问题 典例 1 (1)(2015 湖南)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为 (2,0)，则|PA PBPC|的最大值为( ) A6 B7 C8 D9 (2)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y 1x2相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面 积取最大值时，直线 l 的斜率等于( ) A. 3
15、 3 B 3 3 C 3 3 D 3 解析 (1)A，B，C 在圆 x2y21 上，且 ABBC，AC 为圆的直径，故PA PC2PO (4,0)，设 B(x，y)，则 x2y21 且 x1,1，PB (x2，y)，PAPBPC(x6， y)故|PA PBPC| 12x37， 当 x1 时有最大值 497，故选 B. (2)SAOB1 2|OA|OB|sinAOB 1 2sinAOB 1 2. 当AOB 2时， AOB 面积最大 此时 O 到 AB 的距离 d 2 2 . 设 AB 方程为 yk(x 2)(k0)， 即 kxy 2k0.由 d | 2k| k21 2 2 得 k 3 3 . (
16、也可 ktanOPH 3 3 ) 答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题 典例 2 (1)(2015 重庆)已知直线 l：xay10(aR)是圆 C：x2y24x2y10 的对称 轴，过点 A(4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|等于( ) A2 B4 2 C6 D2 10 (2)在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2xy40 相切，则圆 C 面积的最小值为( ) A.4 5 B.3 4 C(62 5) D.5 4 解析 (1)由于直线 xay10 是圆 C： x2y24x2y10 的对称轴， 圆心 C(2
17、,1)在直 线 xay10 上， 2a10，a1，A(4，1) |AC|236440.又 r2，|AB|240436. |AB|6. (2)AOB90 ，点 O 在圆 C 上 设直线 2xy40 与圆 C 相切于点 D， 则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2xy40 的距离，点 C 在以 O 为焦点，以直线 2xy40 为准线的抛物线上， 当且仅当 O，C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|. 又|OD|2004| 5 4 5， 圆 C 的最小半径为 2 5， 圆 C 面积的最小值为 ( 2 5) 24 5. 答案 (1)C (2)A 1(2015 广东)平行于直线 2xy10 且与圆
18、 x2y25 相切的直线的方程是( ) A2xy50 或 2xy50 B2xy 50 或 2xy 50 C2xy50 或 2xy50 D2xy 50 或 2xy 50 答案 A 解析 设所求直线方程为 2xyc0，依题有|00c| 2212 5，解得 c 5，所以所求直线方 程为 2xy50 或 2xy50，故选 A. 2若圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8ym0 外切，则 m 等于( ) A21 B19 C9 D11 答案 C 解析 圆 C2的标准方程为(x3)2(y4)225m. 又圆 C1：x2y21，|C1C2|5. 又两圆外切，51 25m，解得 m9. 3(2016
19、南昌二模)若圆 C1：x2y22axa290(aR)与圆 C2：x2y22byb21 0(bR)内切，则 ab 的最大值为( ) A. 2 B2 C4 D2 2 答案 B 解析 圆 C1：x2y22axa290(aR) 化为(xa)2y29，圆心坐标为(a,0)，半径为 3. 圆 C2：x2y22byb210(bR)，化为 x2(yb)21，圆心坐标为(0，b)，半径为 1， 圆 C1：x2y22axa290(aR)与圆 C2：x2y22byb210(bR)内切， a2b231，即 a2b24，ab1 2(a 2b2)2. ab 的最大值为 2. 4(2016 泰安模拟)过点 P(3,1)作圆
20、 C：(x1)2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则直 线 AB 的方程为( ) A2xy30 B2xy30 C4xy30 D4xy30 答案 A 解析 如图所示：由题意知：ABPC，kPC1 2，kAB2，直线 AB 的方程为 y1 2(x1)，即 2xy30. 5若直线 l：ykx1(k0)与圆 C：x24xy22y30 相切，则直线 l 与圆 D：(x2)2 y23 的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D不确定 答案 A 解析 因为圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)22，所以其圆心坐标为(2,1)，半径为 2， 因为直线 l 与圆 C 相切所以|2k11| k21 2，
21、解得 k 1，因为 k0，所以 k1，所以 直线 l 的方程为 xy10.圆心 D(2,0)到直线 l 的距离 d|201| 2 2 2 3，所以直线 l 与圆 D 相交 6(2016 岳阳一模)已知圆 C：x2(y3)24，过 A(1,0)的直线 l 与圆 C 相交于 P，Q 两点， 若|PQ|2 3，则直线 l 的方程为( ) Ax1 或 4x3y40 Bx1 或 4x3y40 Cx1 或 4x3y40 Dx1 或 4x3y40 答案 B 解析 当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x1，符合题意； 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，由|PQ|2 3，得圆心
22、 C 到直线 l 的距离 d|k3| k21 1，解得 k4 3， 此时直线 l 的方程为 y4 3(x1) 故所求直线 l 的方程为 x1 或 4x3y40. 7(2016 全国乙卷)设直线 yx2a 与圆 C：x2y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB| 2 3，则圆 C 的面积为_ 答案 4 解析 圆 C：x2y22ay20，即 C：x2(ya)2a22，圆心为 C(0，a)，C 到直线 y x2a 的距离 d|0a2a| 2 |a| 2.又由|AB|2 3，得 2 3 2 2 |a| 2 2a22，解得 a22，所 以圆的面积为 (a22)4. 8(2016 天津四校联考)过点
23、(1， 2)的直线 l 将圆(x2)2y24 分成两段弧，当劣弧所对的 圆心角最小时，直线 l 的斜率 k_. 答案 2 2 解析 (12)2( 2)235 2)， 则|4a10| 5 2a0 或 a5(舍) 所以圆 C 的方程为 x2y24. (2)当直线 ABx 轴时，x 轴平分ANB. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x2y24， ykx1， 得(k21)x22k2xk240， 所以 x1x2 2k2 k21，x1x2 k24 k21. 若 x 轴平分ANB， 则 kANkBN y1 x1t y2 x2t0 kx11 x1t kx21 x2t 0 2x1x2(t1)(x1x2)2t0 2k 24 k21 2k 2t1 k21 2t0t4， 所以当点 N 为(4,0)时，能使得ANMBNM 总成立
