1、1 第十四章第十四章选修模块 14.1 几何证明选讲几何证明选讲 专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线 (2015沈阳大连二模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理 22)选修 41:几何证明选讲 如图,O 内切于ABC的三边于 D,E,F,AB=AC,连接 AD 交O 于点 H,直线 HF交 BC的延长线于点 G. 求证:(1)圆心 O 在直线 AD 上; (2)点 C 是线段 GD的中点. 证明:(1)AB=AC,AF=AE,CF=BE. 又 CF=CD,BD=BE, CD=BD. 又ABC是等腰三角形, AD是CAB的角平分线. 圆心 O 在直线 AD上. (2) 连接 DF,由(1)知,
2、DH是O的直径, DFH=90, FDH+FHD=90, FDH=G. G+FHD=90. O与 AC相切于点 F, AFH=GFC=FDH, GFC=G,CG=CF=CD, 点 C是线段 GD 的中点. (2015江西新余一中高考模拟,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理 22)如图,ABC 内接于圆 O,AD平分BAC交圆于点 D,过点 B 作圆 O 的切线交直线 AD于点 E. 求证:(1)EBD=CBD; (2)AB BE=AE DC. 证明:(1)BE 为圆 O 的切线, EBD=BAD. AD平分BAC, 2 BAD=CAD. EBD=CAD. CBD=CAD, EBD=CBD.
3、(2)在EBD和EAB 中,E=E,EBD=EAB, EBDEAB. . AB BE=AE BD. AD平分BAC,BD=DC. AB BE=AE DC. 专题 6 圆的切线的性质与判 定 (2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,圆的切线的性质与判定,解答题,理 22)如图,点 A 在直径 为 15 的O 上,PBC是过点 O 的割线,且 PA=10,PB=5. (1)求证:PA与O相切; (2)求 S ACB 的值. (1)证明:连接 OA, O的直径为 15,OA=OB=7.5. 又 PA=10,PB=5,PO=12.5. 在APO中,PO2=156.25,PA2+OA2=156.25,
4、 即 PO2=PA2+OA2,PAOA. 又点 A在O上,故 PA与O 相切. (2)解:PA为O的切线,ACB=PAB. 又由P=P,PABPCA. . 设 AB=k,AC=2k,BC 为O的直径且 BC=15,ABAC, BC=k=15, k=3. S ACB =AC AB= 2k k=k2=45. 专题 7 与圆有关的比例线 段 (2015江西重点中学十校二模联考,与圆有关的比例线段,解答题,理 22)如图,过圆 E 外一点 A作一 条直线与圆 E 交于 B,C两点,且 AB=AC,作直线 AF 与圆 E 相切于点 F,连接 EF交 BC于点 D,已知圆 E 的半径为 2,EBC=30.
5、 3 (1)求 AF的长; (2)求证:AD=3ED. (1)解:延长 BE 交圆 E 于点 M,连接 CM,则BCM=90. BM=2BE=4,EBC=30,BC=2. 又AB=AC,AB=BC=,AC=3. 根据切割线定理得 AF2=AB AC=3=9,即 AF=3. (2)证明:过 E作 EHBC于 H, EOH=ADF,EHD=AFD, EDHADF. . 又由题意知 CH=BC=,EB=2, EH=1,. AD=3ED. (2015江西重点中学协作体二模,与圆有关的比例线段,解答题,理 22)如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,半径 OBOP,AB 交 PO 于点 C. (1)
6、求证:PA=PC; (2)若圆 O的半径为 3,PO=5,求线段 AC 的长度. (1)证明:PA 与圆 O 相切于点 A, PAB=ADB. BD为圆 O的直径, BAD=90. ADB=90-B. BDOP,BCO=90-B. BCO=PCA=PAB, 即PAC为等腰三角形.PA=PC. (2)解:假设 PO与圆 O相交于点 M,延长 PO交圆 O于点 N. PA 与圆 O相切于点 A,PMN是圆 O的割线, PA2=PM PN=(PO-OM)(PO+ON). PO=5,OM=ON=3,PA=4. 由(1)知 PC=PA=4,OC=1. 在 RtOAP 中,cosAOP=, AC2=9+1
7、-231. AC=. (2015江西重点中学协作体一模,圆的切线的性质与判定,解答题,理 22)如图,已知 PE切圆 O于点 E, 割线 PBA交圆 O于 A,B 两点,APE的平分线和 AE,BE 分别交于点 C,D. 4 求证:(1)CE=DE; (2). 证明:(1)PE 切圆 O于 E,PEB=A. 又PC 平分APE,CPE=CPA. PEB+CPE=A+CPA. CDE=DCE,即 CE=DE. (2)PC平分APE,. 又 PE切圆 O于点 E,割线 PBA交圆 O于 A,B 两点, PE2=PB PA,即. . (2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,圆的切线的性质与判定,解答题
8、,理 22)如图所示,PA为圆 O的 切线,A为切点,PO交圆 O于 B,C两点,PA=20,PB=10,BAC 的角平分线与 BC和圆 O分别交于点 D 和 E. (1)求证:AB PC=PA AC; (2)求 AD AE的值. (1)证明:PA 为圆 O 的切线,PAB=ACP. 又P 为公共角,PABPCA. . AB PC=PA AC. (2)解:PA为圆 O的切线,BC 是过点 O的割线, PA2=PB PC. PC=40,BC=30. 又CAB=90,AC2+AB2=BC2=900. 又由(1)知, AC=12,AB=6. 连接 EC,则CAE=EAB, ACEADB, AD AE
9、=AB AC=612=360. 14.2 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 专题 5 参数方程与普通方程的互化 (2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,参数方程与普通方程的互化,解答题,理 23)在极坐标系中, 圆 C 的方程为 =2acos (a0),以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为(t为参数). (1)求圆 C的标准方程和直线 l的普通方程; (2)若直线 l与圆 C 恒有公共点,求实数 a的取值范围. 解:(1)由 5 则. 直线 l的普通方程为 4x-3y+5=0. 由 =2acos 得,2=2acos. 又2=x2+y2,cos=x
10、, 圆 C的标准方程为(x-a)2+y2=a2. (2)直线 l与圆 C 恒有公共点, |a|, 两边平方得 9a2-40a-250,(9a+5)(a-5)0. a的取值范围是 a-或 a5. 专题 6 极坐标方程与参数方程的应用 (2015江西重点中学协作体一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)直线 l的参数方程为 曲线 C的极坐标方程为(1+sin2)2=2. (1)写出直线 l的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l与曲线 C相交于两点 A,B,若点 P为(1,0),求. 解:(1)由直线 l的参数方程为消去 t可得 l:x-y-=0. 由曲线 C 的极坐标
11、方程(1+sin2)2=2,可得 x2+y2+y2=2, 即+y2=1. (2)将直线 l的参数方程代入曲线 C:x2+2y2=2,得 7t2+4t-4=0. 设 A,B两点在直线 l中对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=-,t1t2=-. , 的值为. (2015江西上饶一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)在直角坐标系 xOy中,直线 l是过 定点 P(4,2)且倾斜角为 的直线;在极坐标系(以坐标原点 O为极点,以 x轴非负半轴为极轴,取相同单 位长度)中,曲线 C的极坐标方程为 =4cos . (1)写出直线 l的参数方程,并将曲线 C的方程化为直角坐标方程;
12、 (2)若曲线 C 与直线相交于不同的两点 M,N,求|PM|+|PN|的取值范围. 解:(1)直线 l的参数方程为(t为参数). 曲线 C的极坐标方程 =4cos 可化为 2=4cos. 把 x=cos,y=sin 代入曲线 C 的极坐标方程可得 x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4. (2)把直线 l的参数方程为(t为参数)代入圆的方程可得:t2+4(sin+cos)t+4=0. 曲线 C 与直线 l相交于不同的两点 M,N, =16(sin+cos)2-160. sincos0. 又 0,),. 又 t1+t2=-4(sin+cos),t1t2=4, |PM|+|PN|=|t1|+
13、|t2|=|t1+t2|=4|sin+cos|=4sin. , , sin. |PM|+|PN|的取值范围是(4,4. (2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程(为参数).以 O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C的极坐标方程; (2)直线 l的极坐标方程是 2sin=3,射线 OM:=与圆 C的交点为 O,P,与直线 l的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 解:(1)利用 cos2+sin2=1,把圆 C的参数方程(为参数)化为(x-1)2+y2=1, 2-2cos=0,即 =2cos
14、. (2)设(1,1)为点 P的极坐标,由 解得 6 设(2,2)为点 Q的极坐标, 由解得 1=2,|PQ|=|1-2|=2. |PQ|=2. (2015江西新余一中高考模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)已知曲线 C:=1,直线 l:(t 为参数). (1)写出曲线 C的参数方程,直线 l的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P作与 l夹角为 30的直线,交 l于点 A,求|PA|的最大值与最小值. 解:(1)由题意得,曲线 C:=1, 所以曲线 C的参数方程为( 为参数), 因为直线 l:(t为参数), 所以直线 l的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C上
15、任意一点 P(2cos,3sin), 则点 P到直线 l的距离为 d=, 则|PA|=|4cos+3sin-6|=|5sin(+)-6|. 当 sin(+)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为; 当 sin(+)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为. (2015沈阳大连二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为(为参数),曲线 C2的参数方程为( 为参数),以 O 为极 点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1和 C2的极坐标方程; (2)已知射线 l1:=,将 l1逆时针旋转得到 l2:
16、=+,且 l1与 C1交于 O,P 两点,l2与 C2交于 O,Q两点,求 |OP| |OQ|取最大值时点 P的极坐标. 解:(1)曲线 C1的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,所以 C1极坐标方程为 =4cos. 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4, 所以 C2极坐标方程为 =4sin. (2)设点 P极点坐标(1,4cos),即 1=4cos. 点 Q 极坐标为, 即 2=4sin. 则|OP| |OQ|=12=4cos 4sin=16cos =8sin+4. ,2+. 当 2+,即 =时|OP| |OQ|取最大值,此时点 P 极点坐标. (2015江西重点中学十校二模
17、联考,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)已知曲线 C的极坐 标方程是 =2cos ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l的参数方程是(t为参数). (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l的普通方程; (2)设点 P(m,0),若直线 l与曲线 C交于 A,B 两点,且|PA| |PB|=1,求实数 m的值. 解:(1)曲线 C的极坐标方程是 =2cos,化为 2=2cos,可得直角坐标方程:x2+y2=2x. 直线 l的参数方程是(t为参数),消去参数 t可得 x=y+m. (2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x,化为 t2
18、+(m-)t+m2-2m=0, 由 0,解得-10,可设 t1,t2是上述方程的两个实根. t1+t2=-9,t1t2=20. 又直线 l过点 P(2,6), 可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=9. 14.3 不等式选讲不等式选讲 专题 1 含绝对值不等式的解 法 (2015 江西师大附中、鹰潭一中模拟,含绝对值不等式的解法,解答题,理 24)设函数 f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)解不等式 f(x)0; (2)若x0R,使得 f(x0)+2m20,即|2x-1|x+2|, 即 4x2-4x+1x2+4x+4, 即 3x2-8x+30,求得它的解集为.
19、(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|= 故 f(x)的最小值为 f=-. 根据x0R,使得 f(x0)+2m2-,即 4m2-8m-55; 当-1x1时,f(x)=x+43,5; 当 x3; 所以函数 f(x)的值域为3,+). 又直线 y=(aR)与函数 y=f(x)的图象恒有公共点, 所以3,所以 a-1. 即 a的取值区间是(-,-1. (2015江西上饶一模,含绝对值不等式的解法,解答题,理 23)已知 aR,设关于 x的不等式|2x- a|+|x+3|2x+4 的解集为 A. (1)若 a=1,求 A; (2)若 A=R,求 a的取值范围. 解:(1)若 a=1,则|2x-1|+
20、|x+3|2x+4. 当 x-3 时,原不等式可化为-3x-22x+4,可得 x-3; 当-3时,原不等式可化为 3x+22x+4,可得 x2; 8 综上,A=x|x0,或 x2. (2)当 x-2 时,|2x-a|+|x+3|02x+4成立; 当 x-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+32x+4; xa+1或 x. a+1-2或 a+1. a-2. 综上,a 的取值范围为 a-2. (2015江西新余一中高考模拟,含绝对值不等式的解法,解答题,理 24)设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)0; (2)若 f(x)+3|x-4|m对一切实数 x
21、均成立,求 m的取值范围. 解:(1)当 x4时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+50, 得 x-5,所以 x4成立; 当-x0, 得 x1,所以 10. (1)求的最小值; (2)若不等式|2x-1|-|x+1|对任意 a,b 恒成立,求 x的取值范围. 解:(1)a+b=1,a0,b0, (a+b)=5+5+2=9, 当且仅当,即 a=且 b=时取等号, 的最小值为 9. (2)若不等式|2x-1|-|x+1|对任意 a,b 恒成立, 则需|2x-1|-|x+1|9,可转化为 或 分别解不等式组可得-7x-1,x11,-1x. 综合可得 x 的取值范围为-7,11. (2015江西重点中学协作体二模,不等式的证明,解答题,理 24)已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式 f(x)6 的解集; (2)若关于 x的不等式 f(x)|a-1|的解集非空,求实数 a的取值范围. 解:(1)不等式 f(x)6 即|2x+1|+|2x-3|6, 或或 解得-1x-,解得-x,解得x2. 故由不等式可得x2 或-x或-1x4,解此不等式得 a5. 故实数 a的取值范围为(-,-3)(5,+).
