1、1 第十二章第十二章概率与统计 12.2 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 专题 1 古典概型的概 率 (2015辽宁鞍山一模,古典概型的概率,填空题,理 15)现有 5 双不同号码的鞋,从中任意取出 4只,则 恰好只能配出一双的概率为 . 解析:总的基本事件数为 =210, 恰有两只成双的取法是 =120. 故从中任意取出 4只,则恰好只能配出一双的概率 P= . 答案: 专题 3 几何概型在不同测度中的 概率 (2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,几何概型在不同测度中的 概率,选择题,理 7)不等式组- 表示的点集记为 A,不等式组 - 表示的点集记为 B
2、, 在 A 中任取一点 P,则 PB 的概率为( ) A. B. C. D. 解析:分别画出点集 A,B.如图, A 对应的区域面积为 44=16,B 对应的区域面积如图阴影部分,为 - (x+2-x2)dx=( - )| - . 由几何概型公式得,在 A 中任取一点 P,则 PB的概率为 . 答案:A 12.4 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 专题 2 离散型随机变量的均值与 方差 (2015沈阳一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 19)某学校举行联欢会,所有参演的节目都 由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖,甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”
3、三类票 各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的 概率为 ,且三人投票相互没有影响,若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖; 否则,该节目不能获一等奖. (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率; (2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票数之和 X 的分布列及数学期望. 解:(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件 A,则事件 A包含该节目可以获 2 张“获奖票”或 该节目可以获 3 张“获奖票”. 2 甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为 ,且三人投 票相互没有影响,
4、 某节目的投票结果是最终获一等奖的概率: P(A)= ( ) ( ) ( ) . (2)所含“获奖”和“待定”票数之和 X 的值为 0,1,2,3, P(X=0)= ( ) , P(X=1)= ( )( ) , P(X=2)= ( ) ( ) , P(X=3)= ( ) , X的分布列为: X 0 1 2 3 P EX=0 +1 +2 +3 =2. (2015辽宁大连二十四中高考模拟,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 18)某单位组织职工开 展构建绿色家园活动,在今年 3月份参加义务植树活动的职工中,随机抽取 M名职工为样本,得到这些 职工植树的株数,根据此数据作出了频数与频率统计表和频
5、率分布直方图如图: (1)求出表中 M,p 及图中 a的值; (2)单位决定对参加植树的职工进行表彰,对植树株数在25,30)区间的职工发放价值 800元的奖品,对 植树株数在20,25)区间的职工发放价值 600元的奖品,对植树株数在15,20)区间的职工发放价值 400 元的奖品,对植树株数在10,15)区间的职工发放价值 200 元的奖品,在所取样本中,任意取出 2 人,并设 X 为此二人所获得奖品价值之差的绝对值,求 X的分布列与数学期望 E(X). 分组 频 数 频 率 10,15) 5 0.25 15,20) 12 n 20,25) m p 25,30) 1 0.05 合计 M 1
6、 解:(1)由题可知 =0.25, =n, =p, 又 5+12+m+1=M, 解得 M=20,n=0.6,m=2,p=0.1, 则15,20)组的频率与组距之比 a 为 0.12. (2)两人所获得奖品价值之差的绝对值可能为 0 元,200 元,400 元,600元,则 P(X=0)= , P(X=200)= , 3 P(X=400)= , P(X=600)= . 所以 X的分布列为 X 0 200 400 600 P EX=0 +200 +400 +600 . (2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,离散型随机变量的均值与 方差,解答题,理 18)为调查市民对汽
7、车品牌的认可度,在秋季车展上,从有意购车的 500 名市民中,随机 抽取 100名市民,按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如下: 频率分布表 分组(单位: 岁) 频 数 频率 20,25) 5 0.05 25,30) 20 0.20 30,35) 0.350 35,40) 30 40,45) 10 0.10 合计 100 1.000 (1)频率分布表中的位置应填什么数?并补全频率分布直方图,再根据频率分布直方图统计这 500 名志愿者的平均年龄; (2)在抽出的 100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20名参加宣传活动,再从这 20名中选 取 2名志愿者担任主要发言人.记这
8、 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学 期望. 频率分布直方图 解:(1)由题意知频率分布表中的位置应填数字为 100-5-20-30-10=35. 位置应填数字为 =0.30. 补全频率分布直方图,如图所示. 频率分布直方图 4 平均年龄估值为 (450.05+550.2+650.35+750.3+850.1)=33.5(岁). (2)由表知,抽取的 20人中,年龄低于 30岁的有 5人,故 X 的可能取值为 0,1,2. P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= . X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0 +1 +2 . (2015辽宁
9、鞍山一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 19)某大学对参加了“世博会”的该校 志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个 等次,若某志愿者考核为合格,授予 0.5 个学分;考核为优秀,授予 1 个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙 考核为优秀的概率分别为 ,他们考核所得的等次相互独立. (1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率; (2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量 ,求随机变量 的分布列和数学期 望 E. 解:(1)记“甲考核为优秀”为事件 A,“乙考核为优秀”为事件 B,“丙考核为优
10、秀”为事件 C,“志愿者甲、乙、 丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件 E, 则事件 A,B,C 相互独立, 与事件 E是对立事件. 则 P(E)=1-P( )=1-P( ) P( ) P( )=1- . (2) 的可能取值为 ,2, ,3. P( )=P( )= , P(=2)=P(A )+P( B )+P( C)= , P( )=P(A B )+P(A C)+P( B C)= , P(=3)=P(A B C)= . 的分布列为 2 3 P E= +2 +3 . 5 专题 3 均值与方差在决策中的 应用 (2015辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟,均值与方差在决策中的应用,解答题,理 18)“
11、十一黄 金周”期间,某市再次迎来了客流高峰,小李从该市的 A地到 B地有 L1,L2两条路线(如图),L1路线上有 A1,A2,A3三个路口,各路口遇到堵塞的概率均为 ;L2路线上有 B1,B2两个路口,各路口遇到堵塞的概率 依次为 . (1)若走 L1路线,求最多遇到 1次堵塞的概率; (2)按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求,请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的出行路线, 并说明理由. 解:(1)设走 L1路线,最多遇到 1次堵塞为 A事件, 则 P(A)= ( ) ( ) , 故走 L1路线,最多遇到 1次堵塞的概率为 . (2)设走 L2路线,遇到堵塞的次数为 X,则 X 的可能取值为 0,1,2, P(X=0)=( - ) ( - ) , P(X=1)= ( - ) ( - ) , P(X=2)= , 则 EX= 0+ 1+ 2= . 设走 L1路线,遇到堵塞的次数为 Y,则 Y 服从二项分布,YB( ),则 EY=3 =2. 由于 EXEY,故 L2路线是最好的出行路线.
