1、第一节第一节 复变函数积分的概念复变函数积分的概念一、积分的定义三、积分存在的条件及其计算法二、积分的性质四、小结与思考12一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线: 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, , 如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向( (或正向或正向), ), 那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, .
2、 C记为记为3简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线简单闭曲线C的正向的正向是指当曲线上的点是指当曲线上的点P顺此方顺此方向前进时向前进时, , 邻近邻近P点的曲线点的曲线的内部始终位于的内部始终位于P点的左方点的左方. xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点, 另一个作为终点另一个作为终点, 除特殊声明外除特殊声明外, 正方正方向总是指从起点到终点的方向向总是指从起点到终点的方向.42.积分的定义积分的定义:, ,
3、 , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 设分点为设分点为个弧段个弧段任意分成任意分成把曲线把曲线的一条光滑的有向曲线的一条光滑的有向曲线终点为终点为内起点为内起点为为区域为区域内内定义在区域定义在区域设函数设函数oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一点上任意取一点在每个弧段在每个弧段 5,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 记记 , , 11的长度的长度这里这里kkkkkkzzszzz ( , 0 时时
4、无限增加且无限增加且当当 n , )( , , 记为记为的积分的积分沿曲线沿曲线函数函数那么称这极限值为那么称这极限值为一极限一极限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不论对如果不论对CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 6关于定义的说明关于定义的说明: .d)( , )1( CzzfC记为记为那么沿此闭曲线的积分那么沿此闭曲线的积分是闭曲线是闭曲线如果如果 . ),( )( , )2(定积分的定义定积分的定义实变函数实变函数这个积分定义就是一元这个积分定义就是一元而而轴上的区间轴上的区间是是如果如果xuzfbxaxC 7二、积分的性质二、积分的性质复积分与实
5、变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )4(那末那末上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线估值不等式估值不等式8性质性质(4)的证明的证明 , 1两点之间的距离两点之间的距离与与是是因为因为 kkkzzz , 度度为这两点之间弧段的长为这两点之间弧段的长ks knkkzf 1)( 所以所以 nkkkzf1)( nkkksf1)
6、( 两端取极限得两端取极限得.d)(d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因为因为 nkksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所以所以证毕证毕9三、积分存在的条件及其计算法三、积分存在的条件及其计算法1. 存在的条件存在的条件.d)( , )(一定存在一定存在积分积分是光滑曲线时是光滑曲线时是连续函数而是连续函数而如果如果 CzzfCzf证证 ),()()( ttyitxtzzC由参数方程给出由参数方程给出设光滑曲线设光滑曲线正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向, , BA及终点及终点对应于起点对应于起点及及参数参数 10, 0)( ttz并且并且 , ),()
7、,()( 内处处连续内处处连续在在如果如果Dyxviyxuzf , ),( ),( 内均为连续函数内均为连续函数在在和和那么那么Dyxvyxu , kkki 设设 )( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因为因为 )()(11 kkkkyyixx, kkyix 11knkkzf 1)( 所以所以 nkkkkkkkyixviu1)(,(),( nkkkkkkknkkkkkkkyuxviyvxu11),(),(),(),( , , 都是连续函数都是连续函数由于由于vu根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,12当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
8、 , , ),( , 下式两端极限存在下式两端极限存在的取法如何的取法如何点点的分法任何的分法任何不论对不论对kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 13 : ddd )(相乘后求积分得到相乘后求积分得到与与yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式142. 积分的计算法积分的计算法. d)( 积分
9、来计算积分来计算函数的线函数的线可以通过两个二元实变可以通过两个二元实变 Czzf ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf15 ttztzfzzfCd)()(d)(则则光滑曲线光滑曲线相互连接所组成的按段相互连接所组成的按段等光滑曲线依次等光滑曲线依次是由是由如果如果 , , 21nCCCC Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzfzzfzzf在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中, 总假定被
10、积函数是连续的总假定被积函数是连续的, 曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.16例例1 解解 . 43 : ,d 的直线段的直线段从原点到点从原点到点计算计算iCzzC 直线方程为直线方程为, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d CCyixiyxzz又因为又因为17 ddddd CCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关, 43 曲线曲线的的是怎样从原点连接到点是怎样从原点连接到点所以不论所以不论iC .2)43(d2
11、izzC 18例例2 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计算ixixyiCzzC (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x19(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttizt
12、z 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 20 xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()( tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 21例例3 解解 . 2 : ,d zCzzC圆周圆周为为其中其中计算计算积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(2 iez d2diiez Czz
13、d 20d22 iie)2( z因为因为 20d)sin(cos4 ii. 0 22例例4 解解. , , ,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri23zxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0,
14、 0, 0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关. .24例例5解解. d1 , 43 绝对值的一个上界绝对值的一个上界试求积分试求积分的直线段的直线段为从原点到点为从原点到点设设 CziziC 1)(0 ,)43( ttizC的参数方程为的参数方程为根据估值不等式知根据估值不等式知 Czizd1 Csizd1ittizC)14(311 , 上上因为在因为在2522)14()3(1 tt2592542512 t,35 Czizd1 从而从而 Csd35325 .325d1 Cziz故故5 26四、小结与思考四、小结与思考 本课我们学习了积
15、分的定义、存在条件以本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重本课中重点掌握复积分的一般方法点掌握复积分的一般方法.27思考题思考题?d)( )( 函数定积分是否一致函数定积分是否一致与一元与一元的积分定义式的积分定义式复函数复函数 Czzfzf28思考题答案思考题答案 , , 是实轴上区间是实轴上区间若若C,d)(d)( xxfzzfC则则,)(是实值的是实值的如果如果xf即为一元实函数的定积分即为一元实函数的定积分.d)( , , ,d)( )( ,C zzfzzfzf必须记作必须记作线的限制线的限制要受积分路要受积分路因为这是一个线积分因为这是一个线积分记作记作的积分的积分的函数的函数终点为终点为一般不能把起点为一般不能把起点为 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .29作业：作业： P57 例4. P79 2. 3. 6.
