1、角平分线综合复习角平分线综合复习岳西县天堂初中 徐长林（一）导语（一）导语 学习几何应该具有三种基本能力：学习几何应该具有三种基本能力：1 1、善于处理已知信息的能力：根、善于处理已知信息的能力：根据已知条件能找到相应的基本几何据已知条件能找到相应的基本几何图形，并且由此联想出相应的几何图形，并且由此联想出相应的几何结论，还能够和其它的已知条件综结论，还能够和其它的已知条件综合起来或通过添加辅助线联想出更合起来或通过添加辅助线联想出更多的几何图形和新的结论；多的几何图形和新的结论； 2 2、从求证找出证明方法的能力；、从求证找出证明方法的能力；3 3、不断积累经验的能力。、不断积累经验的能力。
2、（二）角平分线的基本几何图形（二）角平分线的基本几何图形 角的平分线角的平分线三角形的角平分线三角形的角平分线角平分线的性质和判定角平分线的性质和判定角平分线与全等三角形角平分线与全等三角形 角平分线与构造全等三角形角平分线与构造全等三角形BAPO（1）AFEDBC注：在角平分线上向角的两边作两条注：在角平分线上向角的两边作两条相等的线段，中相等线段在对称的位置；相等的线段，中相等线段在对称的位置；中相等线段在不对称的位置。中相等线段在不对称的位置。（以上结论自己想想）（以上结论自己想想）（2）AFEDBC 例例1 1、如图，、如图，F F是是BCDBCD、CBECBE的角平分的角平分线的交点
3、，点线的交点，点F F到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，则点，则点F F到到ACAC的距离为的距离为 BACE FD例例1图图 例例2 2、如图，已知点、如图，已知点P P到到OMOM、ONON、ABAB的距离恰好都相的距离恰好都相等，则点等，则点P P的位置：在的位置：在MONMON的平分线上；在的平分线上；在BANBAN的平分线上；在的平分线上；在ABMABM的平分线上；的平分线上；P P为为MONMON、BANBAN、ABMABM三条角平分线的交点。上述三条角平分线的交点。上述论述中，正确的有论述中，正确的有 （ ） A A1 1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个
4、个OANBMP例例2图图BACD例例3图图A1A2例例3 3、如图，在、如图，在ABCABC中，中，A Aa aABCABC与与ACDACD的平分线交于点的平分线交于点A A1 1，得，得A A1 1；A A1 1BCBC与与A A1 1CDCD的平分线相交于点的平分线相交于点A A2 2，得，得A A2 2； ；A A20092009BCBC与与A A20102010CDCD的平分线相交于点的平分线相交于点A A20102010，得得A A20102010 则则A A20102010 （三）角平分线与直角三角形、（三）角平分线与直角三角形、 等腰三角形和线段垂直平分线等腰三角形和线段垂直平分
5、线 例例4 4、如图，在、如图，在ABCABC中，中，BOBO平分平分ABCABC，COCO平分平分ACBACB， MNBCMNBC且过且过O O点交点交ABAB于于M M，交，交ACAC于于N.AB=8N.AB=8，AC=7AC=7，则，则AMNAMN的的周长为周长为 CNBMAO例例4图图 例例5 5、如图，、如图，ADAD是是ABCABC的角平分线，的角平分线，DEDE，DFDF分别是分别是ABDABD和和ACDACD的高的高. .求证：求证：ADAD垂直垂直平分平分EFEF B E C DF A例例5图图 例例6 6、如图，、如图，AOP=BOP=15AOP=BOP=150 0，PCO
6、APCOA，PDOAPDOA，若，若PC=4PC=4， 则则PD= PD= P C B A D O例例6图图 例例7 7、如图，、如图，ABCABC中，中，BCBC的垂直平分线的垂直平分线DEDE与与BACBAC的平分线交于点的平分线交于点E E，过，过E E作作EPABEPAB于于P P，EQACEQAC的延长线于的延长线于Q.Q. 求证：求证：BP=CQ.BP=CQ.例例7图图 DBCEPQATHANK YOUSUCCESS2022-5-22可编辑（四）角平分线与面积（四）角平分线与面积 例例8 8、如图，、如图，ABCABC的三边的三边ABAB、BCBC、CACA长分别是长分别是2020
7、、3030、4040，其三条角平分线将，其三条角平分线将ABCABC分为三个分为三个三角形，则三角形，则 等于等于（ ）A. 1A. 11 11 B.11 B.12 23 C.23 C.23 34 D.34 D.34 45 5CAOBCOABOSSS例例8图图ABCO 例例9 9、如图，、如图，P P为为AOBAOB内一点，内一点，OA=OBOA=OB，且，且OPAOPA与与OPBOPB面面 积相等，求证：积相等，求证：AOP=BOP.AOP=BOP.BA PO例例9图图 例例1010、RTABCRTABC中中C=90C=900 0，AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,
8、AC=6cm,BC=8cm,且三角且三角形三个内角平分线相交于点形三个内角平分线相交于点O O，则点则点O O到三角形三边的距离分别到三角形三边的距离分别是是 （五）角平分线与构造全等三角形（五）角平分线与构造全等三角形 例例1111、如图，、如图，RtABCRtABC中，中，C=90C=900 0，CBCBCACA，AB=8cmAB=8cm，BHBH平分平分ABCABC交交ACAC于点于点H H，HEABHEAB于于E E，则，则AEHAEH周长周长 例例11图图BHCEA 例例1212、如图、如图1 1，OPOP是是MONMON的平分线，请你的平分线，请你利用该图形画一对以利用该图形画一对
9、以OPOP所在直线为对称轴所在直线为对称轴的全等三角形的全等三角形. . 请你参考这个作全等三角形的方法，解答请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：下列问题： (1)(1)如图如图2 2，在，在ABCABC中，中，ACBACB是直角，是直角，B=60B=60，ADAD、CECE分别是分别是BACBAC、BCABCA的的平分线，平分线，ADAD、CECE相交于点相交于点F.F.请你判断并写请你判断并写出出FEFE与与FDFD之间的数量关系；之间的数量关系； (2)(2)如图如图3 3，在，在ABCABC中，如果中，如果ACBACB不是不是直角，而直角，而(1)(1)中的其他条件不变，请问
10、，你中的其他条件不变，请问，你在在(1)(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由请证明；若不成立，请说明理由. .（六）角平分线的变式问题（六）角平分线的变式问题 例例1313、如图，、如图，D D、B B分别在分别在A A的两边上，的两边上，C C是是A A内一点，且内一点，且AB=ADAB=AD，BC=DCBC=DC，CEADCEAD，CFABCFAB，垂，垂足分别为足分别为E E、F F，求证：，求证：CE=CFCE=CFDBC例例13图图EFA此题可以交换题设和结论，大家可以试试此题可以交换题设和结论，大家可以试试 （1 1）题
11、设）题设“AB=AD”AB=AD”和结论和结论“CE=CF”CE=CF”（2 2）题设）题设“BC=DC”BC=DC”和结论和结论“CE=CF”CE=CF” （3 3）题设）题设“CEAD”CEAD”和结论和结论“CE=CF”CE=CF” （4 4）题设）题设“CFAB”CFAB”和结论和结论“CE=CF”CE=CF”( (以上为换题设和结论的四种情形）以上为换题设和结论的四种情形）（5 5）题设不变，结论改为）题设不变，结论改为“ACAC平分平分DAB”DAB” 还有别的变式吗？自己想想。还有别的变式吗？自己想想。 例例1414、如图，在、如图，在BACBAC的平分线的平分线APAP上任取一
12、上任取一点点D D，在，在ABAB、ACAC上各取一点上各取一点E E和和F F，若，若DE=DFDE=DF，且且AEAEAFAF，求证：，求证： AED+AFD=180AED+AFD=1800 0.例例14图图AFEDBC若将上题中的若将上题中的“DE=DF”DE=DF”改为改为“DHABDHAB于于H H，)(21AFAEAH”，结论是否还成立，试证之。，结论是否还成立，试证之。P P 此题还可以改为此题还可以改为“如图，在四边形如图，在四边形AFDEAFDE中，有以下三个要素：中，有以下三个要素： ADAD平分平分EAFEAF；DE=DFDE=DF； AED+AFD=180AED+AFD=1800 0. .满足其中任满足其中任 意两个条件，第三个结论也是成立的。意两个条件，第三个结论也是成立的。写出一个数学证明题，并给出证明过写出一个数学证明题，并给出证明过程。程。例例14图图AFEDBCTHANK YOUSUCCESS2022-5-22可编辑
