1、.1讲课人讲课人：朱群英朱群英.2牛吃草牛吃草问题问题又称为消长又称为消长问题或牛顿牧场问题或牛顿牧场 。.3牛吃草问题的牛吃草问题的历史起源历史起源 英国数学家牛顿英国数学家牛顿(16421727)(16421727)说过：说过：“在学习科在学习科学的时候，题目比规则还有用些学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起 在牛顿的在牛顿的普遍的算术普遍的算术一书中，有一个关于求牛一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。，和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。，是是171
2、7世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。吃的天数不断地变化。 .4牛吃草问题的公式牛吃草问题的公式 解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是 假设定一头牛一天吃草量为“1” 1）草的生长
3、速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）； .5 2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）； 4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。 这四个公式是解决消长问题的基础。 .6 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。 .7 牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草
4、。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。 解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 .8 这类问题的基本数量关系是： 1.(牛的头数吃草较多的天数-牛头数吃较少的天数)（吃的较多的天数-吃的较草少的天数)=草地每天新长草的量。 2.牛的头数吃草天数-每天新长量吃草天数=草地原有的草量。 .9 解多块草地的方法解多块草地的方法 多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。 .10例题解析例题解析.11例例1
5、 牧场上长满草，每天匀速生长，这片牧场可供牧场上长满草，每天匀速生长，这片牧场可供4 头牛吃头牛吃15天，或供天，或供8头牛吃头牛吃7天。可供多少头牛天。可供多少头牛 吃吃5天？天？ q解：设1头牛1天的吃草量为单位1， 每天长草 （415-87）（15-7）=0.5 原有草 415-0.515=52.5 5天可供养牛的头数 （52.5+0.55）5=11 答：可供11头牛吃5天.12例例2 牧场上长满草，每天匀速生长，这片牧场可供牧场上长满草，每天匀速生长，这片牧场可供 1010头牛吃头牛吃2020天，或供天，或供1515头牛吃头牛吃1010天。可供天。可供2525头头 牛吃几天？牛吃几天？
6、 q解：设1头牛1天的吃草量为单位1， 每天长草 （1020-1510）（20-10）=5 原有草 1020-520=100 5天可供养牛的头数 100（25-5）=5 答：可供25头牛吃5天.13例例3 某火车站检票口某火车站检票口,在检票开始前已有一些人排在检票开始前已有一些人排 队，检票开始后每分钟有队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，人前来排队检票， 一个检票口每分钟能让一个检票口每分钟能让25人检票进站人检票进站,如果只有如果只有 一个检票口，检票开始一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队分钟后就没有人排队; 如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟如果有两个检票口，那么检票
7、开始后多少分钟 就没有人排队就没有人排队?q解：解： 检票开始前原有人检票开始前原有人258-108=120则检票开始后没有人排队分钟数则检票开始后没有人排队分钟数120 （252-10）=3 答：检票开始后答：检票开始后 3 分钟就没有人排队分钟就没有人排队.14例例4 由于天气渐渐变冷，牧场上的草不但不增多，由于天气渐渐变冷，牧场上的草不但不增多， 反以固定的速度减少，已知某块草地上的草供反以固定的速度减少，已知某块草地上的草供20 20 头牛吃头牛吃5 5天，可供天，可供1515头牛吃头牛吃6 6天，照这样计算可供天，照这样计算可供 多少头牛吃多少头牛吃1010天？天？ q解：设1头牛1
8、天的吃草量为单位1， 每天减少草 （205-156） （6-5）=10 原有草 205+105=15010天可供养牛的头数 （150-1010）10=5 答：可供5头牛吃10天.15例例5 有一牧场，可供有一牧场，可供2121头牛吃头牛吃2020天，天，2525头牛吃头牛吃15 15 天，现有若干头牛，吃了天，现有若干头牛，吃了6 6天后卖了天后卖了4 4头，余下头，余下 的牛再吃的牛再吃2 2天将草吃完，问原有牛多少头？天将草吃完，问原有牛多少头？q解：设1头牛1天的吃草量为单位1， 每天长草 （2120-2515） （20-15）=9 原有草 2120-920=240 假设没有卖牛吃了 6
9、+2=8 天，则草地上的草应该增加 42=8（份） 原有牛数 （240+24+98） 8=40（头） 答：原有40头牛.16例例6 22头牛吃头牛吃33公亩牧场的草，公亩牧场的草，54天吃完；天吃完；17头牛头牛吃同牧场吃同牧场28公亩的草，公亩的草，84天吃完。几头牛吃同牧场天吃完。几头牛吃同牧场40公亩的草，公亩的草，24天可吃完？天可吃完？ q解：设1头牛1天的吃草量为单位1， 1公亩每天长草 （1784 28-2254 33） （84-54）=0.5 1公亩原有草 2254 33-0.554=9 40公亩的草24天吃完，可供养牛的头数（940+0.52440） 24=35（头） 答：
10、40公亩的草可供35头牛吃24天。.17例例7 自动扶梯以相同的速度往上行使自动扶梯以相同的速度往上行使,两位性急的孩两位性急的孩 子要从扶梯上走上去。已知男孩每分钟走子要从扶梯上走上去。已知男孩每分钟走20个个 梯级梯级,女孩每分钟走女孩每分钟走15个梯级个梯级,结果男孩用了结果男孩用了5分分 钟到达梯顶钟到达梯顶,女孩用了女孩用了6分钟到达梯顶分钟到达梯顶,问扶梯共问扶梯共 有多少级有多少级? q解： 扶梯每分钟上行 （205 -156）（6-5 ）=10（级） 所以总共有 205+105=150（级） 答：扶梯共有150级。.18例例8 甲、乙、丙三个仓库，各存放同样数量的大甲、乙、丙三
11、个仓库，各存放同样数量的大 米，甲库用皮带输送机一台和米，甲库用皮带输送机一台和12个工人个工人5小时把小时把 库房搬空，乙库用皮带输送机一台和库房搬空，乙库用皮带输送机一台和28个工人个工人3 小时把库房搬空，丙库用皮带输送机小时把库房搬空，丙库用皮带输送机2台，如果台，如果 要要2小时把库房搬空，同时还需要多少名工人？小时把库房搬空，同时还需要多少名工人？ q解：设一个工人1小时的工作量为1， 则一台皮带输送机1小时的工作量为 （283-125）（5-3）=12总工作量 （12+12）5=120 则丙库2小时搬空需要工人数120 2-122=36 答：还需要36名工人.19例例9 快，中，慢三辆车，同时从同一地点出发，沿快，中，慢三辆车，同时从同一地点出发，沿 同一线路追赶前面的骑车人，这三辆车分别用同一线路追赶前面的骑车人，这三辆车分别用6 小时，小时，10小时，小时，12小时追上骑车人，现知道快小时追上骑车人，现知道快 车速度是每小时车速度是每小时24千米，中车速度是每小时千米，中车速度是每小时20 千米，问慢车速度是多少？千米，问慢车速度是多少？ q解： 骑车人每小时速度 （20 10- 24 6 ）（10-6）=14（千米） 则车辆初始点距骑车人的距离（24-14）6=60（千米）慢车每小时的速度60 12+14=19（千米） 答：慢车每小时的速度为19千米
