1、.1弹性力学简明教程弹性力学简明教程A Concise Course in Elasticity 武汉科技大学理学院武汉科技大学理学院工程力学系工程力学系 韩芳韩芳2014.92014.9.2课程简介课程简介总学时总学时3232学时学时学时安排：学时安排：教材：教材：徐芝纶，徐芝纶，弹性力学简明教程弹性力学简明教程第四版第四版高等教育出版社，高等教育出版社，20022002 考核方式：考核方式：总成绩总成绩=30%=30%平时成绩平时成绩+70%+70%卷面成绩卷面成绩平时成绩平时成绩= =出勤出勤+ +平时作业平时作业.3徐芝纶(1911-1999) 江苏江都人。中国科学院资深院士，我国著名
2、力学家、教育家，1934年毕业于清华大学，1936年获美国麻省理工学院土木工程硕士学位，1937年获哈佛大学工程科学硕士学位。1980年当选为中国科学院院士。u1974年编著出版了我国第一部关于有限元法的专著弹性力学问题的有限单元法。u80高龄撰写的英文版专著应用弹性力学，在国外出版发行，是我国向国外推荐的第一本英文版工科教材。.4p 弹性力学弹性力学定义？定义？ 弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体由于外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。p 弹性力学弹性力学特点？特点？ 本课程较为完整的表现了力学问题的数学建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值条件，并对一些问题
3、进行求解。p 为什么学为什么学弹性力学弹性力学？ 弹性力学基本方程的建立为进一步的数值方法奠定了基础，是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法的基础。.5本书结构 第一章 绪论 第二章 平面问题基本理论 第三章 平面问题的直角坐标解答 第四章 平面问题的极坐标解答 第五章 差分法 变分法（自学） 第六章 有限元法解平面问题 第七、八章 空间问题的解答（自学） 第九章 薄板弯曲问题 （自学）.6第一章第一章 绪绪 论论1-3 1-3 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定1-2 1-2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念1-1 1-1 弹性力学的内容弹性力学的内容.7 研究弹性体由于
4、受外力、边界约束或温度改研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移变等原因而发生的应力、形变和位移。1、弹力定义、弹力定义1-1 1-1 弹性力学的内容弹性力学的内容 2、弹力与材力、结力的区别与联系、弹力与材力、结力的区别与联系研究对象研究方法数理基础.8 研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移变等原因而发生的应力、形变和位移。1、弹力定义、弹力定义1-1 1-1 弹性力学的内容弹性力学的内容 2、弹力与材力、结力的区别与联系、弹力与材力、结力的区别与联系研究对象研究方法数理基础.9材料力学材料
5、力学结构力学结构力学.10.11.12.13材料力学材料力学-研究杆件（如梁、柱和轴）研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭转和组的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。合变形等问题。 弹性力学弹性力学-研究各种形状的弹性体，如杆研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳、薄壁件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。结构等问题。 结构力学结构力学-在材料力学基础上研究杆系结构在材料力学基础上研究杆系结构 （如（如 桁架、刚架等）。桁架、刚架等）。 研究对象.14材料力学材料力学借助于直观和实验现象作一些假定，如借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力
6、学、几何学、物理学三方平面假设等，然后由静力学、几何学、物理学三方面进行分析。面进行分析。结构力学结构力学与材料力学类同。与材料力学类同。 弹性力学弹性力学仅由静力平衡、几何方程、物理方程仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，三方面分析，放弃了材力中的大部分假定放弃了材力中的大部分假定。研究方法.15弯曲正应力弯曲正应力与与弹性力学弹性力学解析解对比：解析解对比：各应力分量沿铅直方向的变化大致如下图所示。qlqqllloxy2h2h图3-4弹性力学bIQSyIMxyyx0材料力学横力弯曲实例bIQShyhyqhyhyqyIMxyyx222)21)(1 (2)534(xyxy图3-52h2
7、h.16材料力学，结构力学材料力学，结构力学常微分方程，一个变量常微分方程，一个变量 弹性力学弹性力学偏微分方程，高阶，二三个变量偏微分方程，高阶，二三个变量数理基础 数值解法：数值解法：能量法（变分法）（第五章）能量法（变分法）（第五章） 有限单元法（第六章）有限单元法（第六章）.171-2 1-2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 按照外力作用的不同分布方式，可分为按照外力作用的不同分布方式，可分为体积力体积力和和表面力表面力，分别简称体力和面力。分别简称体力和面力。 （2）性质：体力随点的位置不同而不同；体力是连续分布的。（一）外力（一）外力1.体力（1）定义：所谓体力是
8、分布在物体体积内的力，如重力和惯性力。如图12所示 。Q图图1-21-2zxyVOPXYQFZ.18（3 3）集度：）集度： （4 4）体力分量：）体力分量： 将F沿三个坐标轴分解，可得到三个正交的分力：kZjYiXF X、Y、Z称为物体在P点的体力分量，正负号视分力指向而定，因次是力长度-3。体力的平均集度为：VQP点所受体力的集度为：VQFVlim0FQ的方向就是 的极限方向。.192. 2. 面力面力S上面力的平均集度为：SQ（3）面力集度：P点所受面力的集度为：SQFS0lim（4）面力分量： P点的面力分量为 、 、，因次是力长度-2。XYZxyzPSXYZFQ图1-3（2）性质：面
9、力一般是物体表面点的位置坐标的函数。（1）定义：分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力 。如图13所示 。Q.20（二）应力（二）应力3.应力集度：上的内力的平均集度为：AQAP点的应力为：AQsA0lim-正应力-切应力因次是力长度-2。P点的应力分量为 、2.性质：在物体内的同一点，不同截面上的应力是不同的。1.定义：物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。当截面面积趋于零时截面上的分布力。如图14所示 。sxyzABPoAsQnm图图1-41-4
10、.214.4.应力分量应力分量 应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，不是一般的矢量，而是二阶张量。 相对平面上的应力分量，在略去高阶小量的意义上大小相等，方向相反。 （1）为了分析一点的应力状态，在这一点从物体内取出一个微小的正平行六面体，各面上的应力沿坐标轴的分量称为应力分量。xyzo图图1-51-5ABCP.22 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为y,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。yxyzoyx图图1-61-6（2 2）符号规定：）符号规定：yz 平行于单元体面的应力称为切应力，用 、 表示，其第一下标y表示所在的
11、平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的方向。如图16所示的 、 。yxyxyzyz.23 其它x、z正面上的应力分量的表示如图17所示。 凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。图图1-71-7xyzo.24 平行于单元体面的应力如图示的yx、yz，沿x轴、z轴的负向为正。图图1-81-8 图18所示单元体面的法线为y的负向，正应力记为 ,沿y轴负向为正。yxyzo.25弹性力学弹性力学材料力学材料力学 （3）注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图19中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。注意：注意：在画应力圆时，应按材料力学的符号规定。图图1-91
12、-9.26 2.切应变：图1-5中线段PA、PB、PC之间的直角的改变，用弧度表示，称为切应变。分别用 、 、 表示。yzzxxy（三）形变（三）形变 形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为长度的改变和角度的改变。xy 1.正应变：图1-5中线段PA、PB、PC每单位长度的伸缩，即单位伸缩或相对伸缩，称为正应变。分别用 、 、 表示。zP图图1-51-5ABCP 1.正应变：图1-5中线段PA、PB、PC每单位长度的伸缩，即单位伸缩或相对伸缩，称为正应变。分别用 、 、 表示。zxyzo线应变以伸长为正，缩短为负；切应变以直角变小为正，变大为负；.27 （2）物体的各点间有相对位移，因而物体
13、产生了变形。弹性力学中主要研究物体由变形而引起的位移。 （1）整个物体象一个刚体一样进行的运动所引起的位移，一般包括平移和转动。这样位移并不使物体的形状、质点间的相对距离发生变化。（物体只有外效应而无内效应）。 1.当物体各点发生位置改变时，一般认为是由两种性质的位移组成：（四）位移（四）位移位移：物体变形时，各点位置的改变量称为位移。2.位移的表示方法xyzuvw 物体内任意一点的位移，用它在 、 、 轴上的投影 、 、 来表示，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。这三个投影称为该点的位移分量。.28位移位移形变形变应力应力体力体力面力面力边界条件边界条件图图1-101-10（五）各物理量
14、之间的关系（五）各物理量之间的关系几何方程几何方程物理方程物理方程外力外力平衡方程平衡方程.291-3 1-3 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设 任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住主要因素,从而建立计算模型,并归纳为学科的基本假定。 为什么要提出基本假定基本假定？.30（1）连续性连续性-假定物体是连续的。 因此，各物理量可用连续函数表示。 弹性力学中的五个基本假定弹性力学中的五个基本假定： 关于材料性质的假定材料性质的假定及其在建立弹性力学理论中的作用：.31 （2）完全弹性完全弹性 - 假定物体是以下两种情况： 因此，即应力与应变关系可用胡克定律表示 （物理线性）。a.完
15、全弹性外力取消，变形恢复，无 残余变形。 b.线性弹性应力与应变成正比。.32NoImage（3）均匀性均匀性-假定物体由同种材料组成。 因此， E、等与位置 无关。（4）各向同性各向同性-假定物体各向同性。 因此， E、等与方向无关。符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体理想弹性体。由（3）,（4）知E、等为常数),(zyx.33（5）小变形假定小变形假定-假定位移和形变为很小。b. , 1. 变形状态假定：变形状态假定：例：梁的 103 1, 1弧度（57.3）.a.位移物体尺寸, 例：梁的挠度v梁高h.34 小变形假定的应用：小变形假定的应用： a.简化平衡条件：简化平衡条件：考虑微分体
16、的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。 b.简化几何方程：简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。,),(),(),(32 2),(.35 弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。理想弹性体的小变形问题。.36 记忆：记忆：不要过分拘泥于细节，不要过分拘泥于细节，应着眼于推导的应着眼于推导的主要过程主要过程，公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式，公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式和张量。和张量。1-4 1-4 弹性力学的学习方法弹性力学的学习方法 理解：理解：偏微分方程组的直接求解是十分困难的，偏微分方程组的直接求解是十
17、分困难的，理解理解基本方程基本方程的意义。的意义。 化简：化简：善于利用小变形略去高阶小量，要分清善于利用小变形略去高阶小量，要分清主要边界和次要边界主要边界和次要边界。 做题：做题：适当做题。适当做题。.37绪论绪论习题课习题课 练习练习1 1弹性力学的研究对象、内容是什么？与材料力学比较有何异同？答：答：弹性力学研究物体在外界因素影响下处于弹性阶段的应力、应变和位移，其研究对象为一般及复杂形状的构件、实体结构、板壳等。而材料力学是研究杆件在拉、压、剪、弯、扭状态下的应力和位移。.38 练习练习22弹性力学中基本假设是什么？答：答：为了简化计算，弹性力学中采用如下基本假设：（1）连续性假设，（2）完全弹性假设，（3）均匀性假设，（4）各向同性假设，（5）小变形假设。 绪论绪论习题课习题课.39 练习练习33什么是小变形假设？小变形假设带来那些简化？答：答：假定物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，就是小变形假设。小变形假设，在建立物体变形以后的平衡方程时，可以用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸，并且，在考察物体的形变及位移时，转角和位移的二次幂或乘积都可以略去不计。这样可使弹性力学中的代数方程和微分方程简化为线性方程。绪论绪论习题课习题课.40绪论绪论作业题作业题教材教材P8P81-31-31-71-71-81-8
