1、测量学 第3章 角度测量第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识测量学 第3章 角度测量仪器仪器人人外界环境外界环境观测条件观测条件相同相同不同不同等精度观测等精度观测不等精度观测不等精度观测测量学 第3章 角度测量系统误差系统误差偶然误差偶然误差误差的大小及符号均相同，误差的大小及符号均相同，或按一定的规律变化或按一定的规律变化误差的大小及符号都表现出误差的大小及符号都表现出偶然性，即从单个误差来看偶然性，即从单个误差来看，其大小及符号没有规律，其大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，但从大量误差的总体来看，具有一定的统计规律具有一定的统计规律粗差粗差即错误即错误测量学 第3章
2、角度测量粗差粗差舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测系统误差按其产生的原因和规律加以改正、抵消和削弱偶然误差根据偶然误差特性合理进行闭合差的调整，减少其影响测量学 第3章 角度测量iilX 真误差真误差测量学 第3章 角度测量测量学 第3章 角度测量在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；（有界性）过一定的限度；（有界性）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性、区间性）会要多；（密集性、区间性） 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（符号的规律）；（符号
3、的规律） 当观测次数无限增大时，偶然误差的算术当观测次数无限增大时，偶然误差的算术平均值趋近于零；（抵偿性）平均值趋近于零；（抵偿性） 0limnn测量学 第3章 角度测量测量学 第3章 角度测量正态分布曲线（或高斯分布曲线）正态分布曲线（或高斯分布曲线） 22221ef nn22lim是观测误差的标准差（或称均方差）是观测误差的标准差（或称均方差） 测量学 第3章 角度测量nnmn22221测量学 第3章 角度测量测量学 第3章 角度测量中误差的绝对值中误差的绝对值 m 与相应观测值与相应观测值 D 之比之比mDDmK1测量学 第3章 角度测量测量中通常取测量中通常取2倍中误差作为偶然误差的
4、容倍中误差作为偶然误差的容许误差，即许误差，即容容=2m 。极限误差的作用：区别误差和错误的界限。极限误差的作用：区别误差和错误的界限。测量学 第3章 角度测量 nlnlllXn21假设某未知量的真值为X则观测值的真误差为i X Li （i1，2，n） 测量学 第3章 角度测量将上相加式并除以n，得到 nlXn当观测次数无限增多时，等号左边趋近于零，也就是说算术平均值趋近于真值。但是，实际中不可能进行无限次观测，因此把有限观测值的算术平均值作为该未知量的最或是值（最或然值）。测量学 第3章 角度测量算术平均值与观测值之差，称为观测值的改正值，通常以v来表示将上式两端取和，得vix Li （i1
5、，2，n）vnx L nLx 又因为v0测量学 第3章 角度测量观测值的真误差：观测值的真误差： iXLi（i1，2，n） 观测值的改正数：观测值的改正数： vixLi （i1，2，n） 将上面两式相减，可得将上面两式相减，可得ivi（Xx） （i1，2，n）测量学 第3章 角度测量再将上面各式分别自乘并取和，得再将上面各式分别自乘并取和，得vv2v（Xx） n（Xx）2 vvn（Xx）2取上面各式总和，并顾及取上面各式总和，并顾及v0n（Xx） nxX上式中上式中 2131212222212222nnnxXnnn测量学 第3章 角度测量由于由于1、2n是偶然误差列，故是偶然误差列，故12，1
6、3n1n也具有偶然误差的性质，根也具有偶然误差的性质，根据偶然误差第四个特性，当据偶然误差第四个特性，当n趋于无穷大时，趋于无穷大时，其总和应该趋近于零。因此，上式右边第二其总和应该趋近于零。因此，上式右边第二项可忽略不计。项可忽略不计。22nxX nvv带入前面的公式得带入前面的公式得 1nvvn测量学 第3章 角度测量 1nvvm 12nvvm即即上式即为按观测值改正值计算观测上式即为按观测值改正值计算观测值中误差公式，也成为白塞尔公式值中误差公式，也成为白塞尔公式测量学 第3章 角度测量设有一般函数设有一般函数 Zf（x1，x2，xn）式中：式中：x1，x2，xn为可直接观测的未知为可直
7、接观测的未知量，量，Z为待求的未知量。设为待求的未知量。设xi的观测值为的观测值为li（i1，2，n），其相应的真误差为），其相应的真误差为xi。由于由于xi的存在，使函数的存在，使函数Z亦产生相应的真误亦产生相应的真误差差Z。将上式全微分，得到。将上式全微分，得到测量学 第3章 角度测量将上式全微分，得到将上式全微分，得到nndxxfdxxfdxxfdZ2211nnxxfxxfxxfZ2211iixfF令令 （i1，2，n），则上式为），则上式为 因为误差因为误差xi及及Z都很小，所以上式中，可都很小，所以上式中，可用用Z取代取代dZ，用，用xi取代取代dxi；测量学 第3章 角度测量 ZF
8、1x1F2x2Fnxn为了求得观测值和函数之间得中误差的关系，为了求得观测值和函数之间得中误差的关系，假设对假设对xi进行了进行了k次观测，则可写出次观测，则可写出k个类似个类似上面的函数式上面的函数式 Z(1)F1x1(1)F2x2(1)Fnxn(1) Z(2)F1x1(2)F2x2(2)Fnxn(2) Z(k)F1x1(k)F2x2(k)Fnxn(k)将以上各式平方后再求和，得到将以上各式平方后再求和，得到 测量学 第3章 角度测量上式两边各除以上式两边各除以k 得得njijijinnjixxFFxFxFxFZ1,22222221212njijijinnjikxxFFkxFkxFkxFkZ
9、1,222222212120limkxxjin由偶然误差的正负抵偿性可知由偶然误差的正负抵偿性可知 测量学 第3章 角度测量所以上式可写为所以上式可写为kxFkxFkxFkZnn2222222121222222221212nnzmFmFmFm22222221212nnzmxfmxfmxfm上式又可写为上式又可写为 根据中误差的定义，上式可写为根据中误差的定义，上式可写为测量学 第3章 角度测量【例例】某段距离丈量了某段距离丈量了n次，各次观测值的次，各次观测值的中误差分别为中误差分别为m1，m2，mn，求其算术平，求其算术平均值均值L的中误差的中误差M。nlnlnllllnLnn21211ndlndlndldLn21【解解】设观测值为设观测值为l1，l2，ln，则，则将上式取微分得将上式取微分得 测量学 第3章 角度测量根据前面推导的公式，可得根据前面推导的公式，可得222222122111nmnmnmnMnmnmnM22221 1nnvvnmM假设各观测值都是等精度观测，则有假设各观测值都是等精度观测，则有 m1m2mnm于是，上式可写为于是，上式可写为即即
