1、最短路径问题最短路径问题人教版人教版- -数学数学- -八年级上八年级上册册第1课时知识回顾如图，从点A到点B有四条路线可选，哪一条是最近的？容易得出，路径（3）是最近的.依据“两点之间，线段最短”.如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的所有路线中，哪一条是最短的？容易得出，（2）是最短的.依据“垂线段最短”.l（1）（2）（3）A如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？容易得出，AC=BC.依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.ABlC1、利用轴对称解决简单的最短路径问题.2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问
2、题转化为数学问题的思想.思考：相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.lBA这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？如图所示：将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.Bl那你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？A如图： 点A，B分别在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC
3、+BC的值最小？如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？ABlABl解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依据：两点之间，线段最短.如图： 点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=BC，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=BC的点应该怎么找呢？ABl如图，作出点B关于直线l的对称点B，利用
4、轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=BC.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+BC的值最小？B容易得出：连接AB交直线l于点C，则点C即为所求.ABlC你能证明这个结论吗？证明：在直线l上任意取一点C（不与点C重合），连接AC，BC，BC.由轴对称的性质可得：BC=BC，BC=BC，则AC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC.在ABC中，ABAC+BC，所以AC+BCAC+BC.由点C的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故点C的位置符合要求.lABBCC1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.知识点1如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点
5、，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.BlAC2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B，连接AB交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A，连接AB交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.ABlCB知识点2如图，A，B两个小镇在河的同侧，现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水，如何选择自来水厂的位置，可使用的水管最短？解：如图，作点B关于河边a的对称点B，连接AB交河边a于点P，则点P所在的位置为所求的自来水
6、厂的位置.ABaBP跟踪训练随堂练习如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：作点B关于直线l的对称点B；连接AB，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）A.转化思想B.三角形两边之和大于第三边C.两点之间，线段最短D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角ABlCB如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：作点B关于直线l的对称点B；连接AB，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）D分析：上述
7、题目中应用了轴对称把最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”来解决，该过程用到了“转化思想”，“两点之间，线段最短”，验证是否为最短距离时利用了三角形两边之和大于第三边.ABlCB两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.解：如图，作点C关于AB的对称点C，连接DC交AB于点E，则点E即为所求.也可作点D关于AB的对称点D，连接CD同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.如图，在等腰RtABC中，D是BC边的中点，
8、E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.分析：上述题目可以描述为，点C，D为线段AB同侧的两点，在线段AB上找到一点E使得CE+DE的值最小.ACDBE解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D，连接CD交线段AB于点E，则点E即为所求，也就是使得EC+ED最小的位置.ACDDBE如图，在等腰RtABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.课堂小结最短路径问题直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸
9、CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ） A.900 B.1200 C.1500 D.1800ACDB分析：“牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离”可以转化为“点A，B均在河边CD的同侧，请在河边CD上找一点E，使得AE+BE的值最小”.根据本节课所学的知识，点E比较容易找出，那AE+BE的值应该是多少呢？ACDB解：延长AC至点A，使得AC=AC，连接AB交CD于点E，连接AE.则点E即为所求的点.分析：如图，AC=AC=BD，ACCD，BDCD.猜测E是CD的中点，则AE=600，所以AE+BE=1200.ACDBEA.解：ACCD，BDCD，ACD=BDC=ACD=90.AC=AC=BD，在ACE和BDE中， ACE=BDE， AEC=BED， AC=BD，则ACEBDE（AAS），CE=DE，AE=BE.点E是CD的中点. AE=600，则AE+BE=AE+BE=1200.ACDBEA下课下课了同学们了同学们人教版人教版- -数学数学- -八年级上八年级上册册第1课时
