1、1小波分析概论2目录0. 0. 傅里叶分析与小波分析发展史傅里叶分析与小波分析发展史1. 1. 波与小波波与小波2. 2. 小波分析的应用小波分析的应用3. 3. 小波定义及基本小波变换小波定义及基本小波变换4. 4. 哈尔函数哈尔函数5. 5. 哈尔小波变换哈尔小波变换30.Fourier分析发展简史 Fourier生于生于17681768年的法国。年的法国。17801780年进入年进入Auxerre皇皇家军校学习。家军校学习。1313岁时岁时对数学十分着迷对数学十分着迷，常常一个人爬进，常常一个人爬进教室，点着蜡烛研究数学问题到深夜。当时的学术成就教室，点着蜡烛研究数学问题到深夜。当时的学
2、术成就引起了当地学术界的关注。引起了当地学术界的关注。Fourier分析的起源应当首推他本人。他是逻辑上的分析的起源应当首推他本人。他是逻辑上的起始人物，他对数学、科学以及我们当代生活的影响是起始人物，他对数学、科学以及我们当代生活的影响是不可估量的，然而他不可估量的，然而他并不是一位职业数学家或科学家并不是一位职业数学家或科学家，它所做的巨大贡献都是它所做的巨大贡献都是忙里偷闲忙里偷闲完成的，但人们认为他完成的，但人们认为他是世界上至少是法国最伟大的科学家之一。是世界上至少是法国最伟大的科学家之一。4法国革命暴发，法国革命暴发，Fourier于于1793年参加年参加Auxerre革命委员会，
3、革命委员会，1795年先后两次被捕。年先后两次被捕。革命结束后，他到巴黎教书，后随拿破仑到埃及并成为埃及研革命结束后，他到巴黎教书，后随拿破仑到埃及并成为埃及研究院的长久负责人。在那里写了一本关于埃及的书。直到今天，仍究院的长久负责人。在那里写了一本关于埃及的书。直到今天，仍然有人认为他是一位埃及学家，并不知道他对数学和物理学的重大然有人认为他是一位埃及学家，并不知道他对数学和物理学的重大贡献。贡献。1802年，回到法国，拿破仑任命他为巴黎警察局长达年，回到法国，拿破仑任命他为巴黎警察局长达14年之久。年之久。他工作十分出色，在政界享有祟高威望。他工作十分出色，在政界享有祟高威望。1817年，
4、进入法国科学院，从此步入正规的学术研究阶段。年，进入法国科学院，从此步入正规的学术研究阶段。0.Fourier分析发展简史5一首数学史诗 多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使他放弃研究数学的强多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使他放弃研究数学的强烈兴趣事实上，早在烈兴趣事实上，早在1807年他就研究了现在称之为年他就研究了现在称之为Fourier分析的分析的核心内容核心内容 1822年，正式出版推动世界科学研究进展的巨著年，正式出版推动世界科学研究进展的巨著热的解析理热的解析理论论(The Analytic Theory of Heat)由于这一理论成功地求解了困扰由于这一理论成功地求
5、解了困扰科学家科学家150年之久的牛顿二体问题微分方程，因此年之久的牛顿二体问题微分方程，因此Fourier分析成为几分析成为几乎每个研究领域科学工作者乐于使用的数学工具，尤其是理论科学家。乎每个研究领域科学工作者乐于使用的数学工具，尤其是理论科学家。 目前，目前，Fourier的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电话、收音机、话、收音机、x射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科学研究开发的系统平台。所以物理学家学研究开发的系统平台。所以物理学家Maxwell称赞称赞Fourier 分析
6、是一分析是一首伟大的数学史诗首伟大的数学史诗。6Fourier分析的核心内容 用数学语言提出任何一个周期函数都能用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和表示为一组正弦函数和余弦函数之和余弦函数之和。这一无限和现称之为。这一无限和现称之为FourierFourier级数。也就是说，级数。也就是说，任何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光任何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑的曲线之和，见图。滑的曲线之和，见图。实际上是将信实际上是将信号投影在由正号投影在由正弦和余弦函数弦和余弦函数组成的组成的正交基正交基上，对其实施上，对其实施Fourier变换
7、。变换。7Fourier分析的核心内容 他解释了为什么这一数学论断是有用的。他解释了为什么这一数学论断是有用的。18071807年，他显示任何周年，他显示任何周期函数期函数( (最下图形最下图形) )是由正弦和余弦函数叠加而成。是由正弦和余弦函数叠加而成。 FourierFourier分分析从本质上改变了数学家对函数的看法他提供了某些微分方程析从本质上改变了数学家对函数的看法他提供了某些微分方程的直接求解方法，为计算机和的直接求解方法，为计算机和CDCD等数字技术的实现铺平了道路。等数字技术的实现铺平了道路。这两点是针对周期信这两点是针对周期信号而言的，对于非周号而言的，对于非周期函数，通过期
8、函数，通过Fourier变换或周期延拓转化变换或周期延拓转化为周期函数即可为周期函数即可。8从从本质本质上讲，上讲， FourierFourier变换就是一个棱镜变换就是一个棱镜(Prism)(Prism)，它把一，它把一个信号分解为众多的频率成分，这些频率又可以重构原来的信号。个信号分解为众多的频率成分，这些频率又可以重构原来的信号。该变换是可逆的且保持能量不变。该变换是可逆的且保持能量不变。 Fourier Fourier 棱镜与自然棱镜的原理是一样的，只不过后者是棱镜与自然棱镜的原理是一样的，只不过后者是将自然光分解为多种颜色的光而已，其比较分析见下图。将自然光分解为多种颜色的光而已，其
9、比较分析见下图。Fourier分析的核心内容9Fourier变换Fourier变换理论描述为：变换理论描述为： ( )( ),( )j tj tFf tef t edt1( )( )2j tf tFed f f( (t t) ) 显示了信号的显示了信号的时间信息时间信息而隐藏了频率信息；而隐藏了频率信息； F F( ( ) ) 显示了信号的显示了信号的频率信息频率信息而隐藏了时间信息。而隐藏了时间信息。 FourierFourier分析将待研究的内容从分析将待研究的内容从一个空间变换到另一个一个空间变换到另一个空间研究的思想和方法是彻底重大的创新空间研究的思想和方法是彻底重大的创新，随着后来量
10、，随着后来量子力学的发现，子力学的发现，FourierFourier分析理所当然成为描述和求解自分析理所当然成为描述和求解自然科学的语言。然科学的语言。10Fourier变换FourierFourier分析理论是十分完善的，但实现尤其是数值实现并非分析理论是十分完善的，但实现尤其是数值实现并非易事。易事。 ShannonShannon提出的提出的采样定理采样定理打开了数字技术研究的大门，于打开了数字技术研究的大门，于是离散是离散FourierFourier变换变换( (DFTDFT) )成为计算机实现成为计算机实现FourierFourier变换的第一种形变换的第一种形式。式。DFTDFT的计
11、算量为的计算量为O(N2)，当，当N很大时，很大时，O(N2)是计算机无法接是计算机无法接受的。受的。 19651965年，美国两位工程师提出了年，美国两位工程师提出了O(NlgN)计算量的快速计算量的快速FourierFourier变换变换( (FFTFFT) )。 正是有了正是有了FFT FFT ， FourierFourier分析才真正成为人分析才真正成为人们认识自然、改造自然的流行工具。们认识自然、改造自然的流行工具。但但FFT FFT 的本质还是的本质还是FourierFourier变换。变换。11Fourier变换的缺点 Fourier Fourier分析分析对非线性问题感到力不从
12、心对非线性问题感到力不从心。 Fourier Fourier变换公式变换公式没有反映出随时间变化的频率没有反映出随时间变化的频率。实际。实际工作中需要能够确定时间间隔，使在任何希望的频率范工作中需要能够确定时间间隔，使在任何希望的频率范围上产生频谱信息。围上产生频谱信息。因为非线性系统因为非线性系统具有高度不可预测性具有高度不可预测性，输入端微小的，输入端微小的变化会对输出端产生重大影响。例如牛顿定律方程是非线变化会对输出端产生重大影响。例如牛顿定律方程是非线性的，若用它来预测空间三个物体之间较长时间的行为是性的，若用它来预测空间三个物体之间较长时间的行为是十分困难的，甚至是不可能的，原因是该
13、系统高度不稳定。十分困难的，甚至是不可能的，原因是该系统高度不稳定。正如著名科学家正如著名科学家KornerKorner指出：指出：“1919世纪的伟大发现是证明世纪的伟大发现是证明自然方程是线性的自然方程是线性的，2020世纪的伟大发现是证明自然方程是世纪的伟大发现是证明自然方程是非线性的。非线性的。”12Fourier变换的缺点 在在L L2 2以外空间，变换系数不能刻画出以外空间，变换系数不能刻画出f(t)f(t)所在的空间。所在的空间。也就是说也就是说需要一个灵活可变的时间需要一个灵活可变的时间频率窗频率窗，使得在，使得在高高“中心频率中心频率”时自动变窄，而在低时自动变窄，而在低“中
14、心频率中心频率“时自时自动变宽。这就是时动变宽。这就是时- -频局部化分析，而频局部化分析，而FourierFourier变换对无变换对无法做到这一点。法做到这一点。 为从信号为从信号f f( (t t) )中提取频谱信息中提取频谱信息F(F( ) )，就要取无限的时就要取无限的时间量间量。 因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，由此得因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，由此得到，对于高频信息，时间间隔要相对小，以到，对于高频信息，时间间隔要相对小，以给出较好给出较好的精度的精度；而对于低频谱的信息，时间间隔要相对的宽，；而对于低频谱的信息，时间间隔要相对的宽，以以给出完全的信息给出完全
15、的信息。13Gabor变换 在充分剖析在充分剖析FourierFourier变换上述不足以后，因发明全息变换上述不足以后，因发明全息照相技术而获得诺贝尔奖的照相技术而获得诺贝尔奖的Dennis GaborDennis Gabor于于19461946年提出年提出了了加窗加窗Fourier Fourier 变换变换( (又称又称GaborGabor变换变换) )：dtebtgtfebtgtfFtjatjag)()()(),()( Gabor Gabor变换后又进一步发展为变换后又进一步发展为短时博里叶变换短时博里叶变换(Short (Short Time Fourier TransformTime
16、 Fourier Transform，STFTSTFT) )。 式中式中 称为窗函数称为窗函数( (又称又称GaborGabor函数函数) )。 GaborGabor的的加窗加窗FourierFourier变换，对弥补傅氏变换的五点不足起到一变换，对弥补傅氏变换的五点不足起到一定的作用，但由于定的作用，但由于 时频窗大小固定，故时频窗大小固定，故并没有并没有很好地解决时频局部化问题很好地解决时频局部化问题。 )(btga)(btga14Gabor变换 由于由于STFTSTFT的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而和频率无关而保持固定保持固定
17、不变，这对于分析时变信号来说是不不变，这对于分析时变信号来说是不利的。利的。高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长，因此，我们期望较长，因此，我们期望对于高频信号采用小时间窗，对对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号则采用大时间窗进行分析于低频信号则采用大时间窗进行分析。这种变时间窗的。这种变时间窗的要求同要求同STFTSTFT的固定时窗的固定时窗( (窗不随频率而变化窗不随频率而变化) )的特性是相的特性是相矛盾的，表明矛盾的，表明STFTSTFT在处理这一类问题时已无能为力了。在处理这一类问题时已无能为力了。15Gabor变换此外，在进
18、行数值计算时，希望将基函数离散化以节约计算此外，在进行数值计算时，希望将基函数离散化以节约计算时间及存储量，但时间及存储量，但GaborGabor基无论怎样离散，都基无论怎样离散，都不能构成一组正交基不能构成一组正交基，因而给数值计算带来了不便。因而给数值计算带来了不便。小波分析正是为了克服小波分析正是为了克服FourierFourier变换、加窗变换、加窗FourierFourier变换的这些不足而提出来的。变换的这些不足而提出来的。 小波变换不仅继承和发小波变换不仅继承和发展了展了STFTSTFT的局部化思想，而且克服了的局部化思想，而且克服了窗口大小不随频率窗口大小不随频率变化，缺乏离散
19、正交基的缺点变化，缺乏离散正交基的缺点，是一种比较理想的信号，是一种比较理想的信号处理的数学工具。处理的数学工具。 160.小波分析发展简史小波分析的发展历程充分体现了辩证法思想。不小波分析的发展历程充分体现了辩证法思想。不同学科、不同研究者的相互碰撞的火花点燃了小波分同学科、不同研究者的相互碰撞的火花点燃了小波分析。这一理论是析。这一理论是科学家科学家、工程师工程师和和数学家数学家们共同创造们共同创造的，反映了大科学时代学科之间相互综合、相互渗透的，反映了大科学时代学科之间相互综合、相互渗透的强烈趋势。的强烈趋势。小波分析的历史始于小波分析的历史始于Fourier分析的历史，是分析的历史，是
20、Fourier分析的发展和重大突破，这两种分析都属于描分析的发展和重大突破，这两种分析都属于描述自然界的述自然界的时频分析时频分析大家庭。大家庭。170.1 小波分析的起源小波分析的起源可以追溯到非常遥远的时代，说法至少小波分析的起源可以追溯到非常遥远的时代，说法至少有有15种以上。虽然种以上。虽然1910年年Haar提出了最早的小波规范正交提出了最早的小波规范正交基，但当时并没有出现基，但当时并没有出现“小波小波”这个词。这个词。Meyer认为，小波认为，小波分析思想萌芽于分析思想萌芽于1930年至年至1980年，但真正起锤炼作用的是年，但真正起锤炼作用的是法国地质物理学家法国地质物理学家J
21、ean Morlet。20世纪世纪60年代，由于工业发展需要年代，由于工业发展需要, ,寻找地下石油寻找地下石油成为法国的一项重大项目。地下找油的标准方法是向地成为法国的一项重大项目。地下找油的标准方法是向地下打炮或发射脉冲波，通过反射的信号分析粗略构架地下打炮或发射脉冲波，通过反射的信号分析粗略构架地下岩石油层分布，其重要参数是密度。一般情况下，地下岩石油层分布，其重要参数是密度。一般情况下，地下结构非常复杂，回收的反射信号也十分繁多，下结构非常复杂，回收的反射信号也十分繁多，如何从如何从反射信号中提取有用的石油信息反射信号中提取有用的石油信息是是Morlet的主要工作。的主要工作。180.
22、1 小波分析的起源1981年，年，Morlet仔细研究了仔细研究了Gabor变换方法，对变换方法，对Fourier变换与加窗变换与加窗Fourier变换的异同、特点及函数构造做变换的异同、特点及函数构造做了创造性研究，首次提出了了创造性研究，首次提出了“小波分析小波分析”概念，建立了以概念，建立了以他的名字命名的他的名字命名的Morlet小波，见图。此方法在小波，见图。此方法在Morlet的地的地质数据处理中取得巨大成功。质数据处理中取得巨大成功。加窗加窗Fourier变换变换Morlet小波小波190.1 小波分析的起源意外的成功极大地鼓舞了意外的成功极大地鼓舞了Morlet，他很想对这一方
23、，他很想对这一方法进行系统研究法进行系统研究, ,但作为但作为工程师出身工程师出身的的他他自感数学理论自感数学理论修养不够，于是修养不够，于是Morlet找到他的同学、物理学家找到他的同学、物理学家Balian，Balian又推荐理论物理学家又推荐理论物理学家Grossmann联合研究。联合研究。1985年，一个非常偶然的机会，年，一个非常偶然的机会，Grossmann结识了结识了大数学家大数学家Meyer。 Meyer凭借自己深厚的数学功底对凭借自己深厚的数学功底对Morlet方法进行系统性的、高屋建瓴的研究方法进行系统性的、高屋建瓴的研究, ,为小波分析为小波分析学科的诞生和发展作出了最重
24、要的贡献。学科的诞生和发展作出了最重要的贡献。200.1 小波分析的起源19861986年，年，Meyer在证明不可能存在时频域都具有一定在证明不可能存在时频域都具有一定正则性的正交小波基时，却意外发现了具有一定衰减性的正则性的正交小波基时，却意外发现了具有一定衰减性的光滑性函数光滑性函数 ，使，使 的伸缩、平移系列的伸缩、平移系列构成构成L2(R)的规范正的规范正交基，从而证明了确实存在小波正交系。后来交基，从而证明了确实存在小波正交系。后来Lemarie和和Battle又分别独立地构造了具有指数衰减纳小波函数。又分别独立地构造了具有指数衰减纳小波函数。19871987年，年，Mallat将
25、计算机视觉领域内的将计算机视觉领域内的多尺度分析多尺度分析思思想引入到小波分析中，提出想引入到小波分析中，提出多分辨率分析多分辨率分析概念，统一了在概念，统一了在此之前的所有具体正交小波基的构造，并且提出相应的分此之前的所有具体正交小波基的构造，并且提出相应的分解与重构快速算法。解与重构快速算法。19881988年，年，Daubecies在美国在美国NSF/CBMS主办的小波专主办的小波专题研讨会上进行了题研讨会上进行了10次讲演，引起了广大数学家、观察学次讲演，引起了广大数学家、观察学家、物理学家甚至某些企业家的重视，由此将小波分析的家、物理学家甚至某些企业家的重视，由此将小波分析的理论发展
26、与实际应用推向了一个高潮。理论发展与实际应用推向了一个高潮。210.2 多分辨分析及Mallat算法的建立如果说小波分析是一门新的语言，那么多分辨分析及其如果说小波分析是一门新的语言，那么多分辨分析及其相应的快速小波算法就是这门新语言的语法，相应的快速小波算法就是这门新语言的语法，Meyer和和Mallat是该语法的主要创立者。是该语法的主要创立者。Mallat曾是曾是Ecole Poltytechnique大学的学生，当时大学的学生，当时Meyer是该大学的数学教授，但俩人并不认识。后来，是该大学的数学教授，但俩人并不认识。后来，Mallat成为成为Pennsylvania的博士，研究计算机
27、视觉。的博士，研究计算机视觉。一个偶然的机会，一个偶然的机会，Mallat从朋友那里得知从朋友那里得知Meyer关于关于小波分析的思想，尤其是正交小波基的工作，并阅读了小波分析的思想，尤其是正交小波基的工作，并阅读了Meyer的论文。的论文。Mallat认为认为Meyer的方法与他本人的方法的方法与他本人的方法有些相似，并可用于图像处理，但有些困难需要克服。有些相似，并可用于图像处理，但有些困难需要克服。220.2 多分辨分析及Mallat算法的建立1986年秋，年秋，Mallat多次电话求见已在美国的多次电话求见已在美国的Meyer。后来，。后来，Meyer与与Mallat在美国芝加哥大学见
28、在美国芝加哥大学见面。两人充分交换意见，共同研究难点问题，面。两人充分交换意见，共同研究难点问题，在三天时在三天时间里间里，他们解决了所有问题，宣告多分辨分析正式形成。，他们解决了所有问题，宣告多分辨分析正式形成。由于由于Meyer已是知名数学教授，而已是知名数学教授，而Mallat是是年仅年仅2323岁岁的研究生。在的研究生。在Meyer的坚持下，他们俩人共同研究形成的的坚持下，他们俩人共同研究形成的著名论文著名论文11以以Mallat个人名义发表。个人名义发表。23之后，之后，Mallat将将多分辨分析用于图像处理，取得巨大多分辨分析用于图像处理，取得巨大成成功。文献成成功。文献1,21,
29、2和他的博士论文和他的博士论文33使得使得Mallat成为小成为小波分析研究领域的著名学者，此时波分析研究领域的著名学者，此时Mallat年仅年仅2626岁。岁。这段历史体现了学术研究的传、帮、带作用，再这段历史体现了学术研究的传、帮、带作用，再次验证了次验证了名师出高徒名师出高徒的道理，的道理，20多岁也能取得重大研多岁也能取得重大研究成果。究成果。Meyer与与Mallat的联手研究成为学术界一段的联手研究成为学术界一段佳话。佳话。0.2 多分辨分析及Mallat算法的建立24Mallat的三篇著名论文：的三篇著名论文：1. Mallat S. Multiresolution approx
30、imations and wavelet orthonormal bases of L2(R). Trans. Amer. Math. Soc., 1989,315:69-872. Mallat S. A theory of multiresolution signal decomposition: the wavelet representation. IEEE Trans. PAMI, 1989,11:674-6933. Mallat S. Multiresolution representation and wavelets. Ph.D. Thesis,Univ. of Pennsylv
31、ania ,Philadelphia, 1988250.3 Daubecies小波的提出Mallat首次提出快速小波算法首次提出快速小波算法( (Fast Wavelet Algorithm,FWA) )使用的是无限长使用的是无限长Battle-Lemarie小波小波的截断函数，截断必然带来误差，而一种新型小波的截断函数，截断必然带来误差，而一种新型小波紧支集正交小波能避免截断，从而消除误差。紧支集正交小波能避免截断，从而消除误差。这种小波的一个例子就是著名的这种小波的一个例子就是著名的Daubecies小波，小波，它是有限长的，即它是有限长的，即只在有限区间内取非零值只在有限区间内取非零值。
32、不同于。不同于Morlet小波与小波与Meyer小波，小波， Daubecies小波是计算机小波是计算机时代的产物。时代的产物。260.3 Daubecies小波的提出Daubecies小波小波不能用解析公式给出不能用解析公式给出，只能通过，只能通过迭代迭代方方法产生，是迭代过程的极限。研究表明，基于两个或两个以法产生，是迭代过程的极限。研究表明，基于两个或两个以上的尺度函数可以解析构造紧支集正交小波。而多分辨分析上的尺度函数可以解析构造紧支集正交小波。而多分辨分析不服从不服从Daubecies小波的极限过程。小波的极限过程。迭代方法是解方程的一种重要手段，也是计算机最迭代方法是解方程的一种重
33、要手段，也是计算机最擅长的基本操作。然而，许多数学家并不喜欢或不擅长擅长的基本操作。然而，许多数学家并不喜欢或不擅长使用迭代方法，因为迭代方法无法产生使用迭代方法，因为迭代方法无法产生显式函数显式函数。对于。对于搞工程的人来说，迭代方法是他们使用的最自然、最主搞工程的人来说，迭代方法是他们使用的最自然、最主要的方法。要的方法。270.3 Daubecies小波的提出作为研究计算机视觉的作为研究计算机视觉的Mallat，基于基于Burt和和Adelson的金字塔算法，提出了如何利用选代方法构造的金字塔算法，提出了如何利用选代方法构造紧支集正交小波的思想，并使数百人为此忙碌。紧支集正交小波的思想，
34、并使数百人为此忙碌。然而，然而， Mallat本人在与本人在与Meyer合作建立多分辨分析合作建立多分辨分析后，虽然站在构造紧支集正交小波的门口，后，虽然站在构造紧支集正交小波的门口，却把进门的却把进门的良机让给了良机让给了Daubecies 。Daubecies是比利时人，从小就想成为一名数学物理是比利时人，从小就想成为一名数学物理学家，并为此努力奋斗。在法国攻读博士学位时与学家，并为此努力奋斗。在法国攻读博士学位时与Grossmann共过事。而后在美国研究量子力学，是五年共过事。而后在美国研究量子力学，是五年制制MacArthur研究员，后又在研究员，后又在Courant研究所、研究所、A
35、TT公公司做过研究工作。司做过研究工作。280.3 Daubecies小波的提出Daubecies 很早就知道很早就知道Meyer和和Mallat的工作，的工作，并对他们的工作并对他们的工作非常感兴趣非常感兴趣。她用。她用Meyer的无限长小波的无限长小波计算小波系数时，发现需要很大的计算工作量。于是，计算小波系数时，发现需要很大的计算工作量。于是，她想能否构造她想能否构造紧支集正交小波紧支集正交小波呢呢? 这样，一方面可以避这样，一方面可以避免误差，同时可以节省许多计算工作量。免误差，同时可以节省许多计算工作量。在对在对Mallat思想充分研究后，思想充分研究后， Daubecies凭借自己
36、凭借自己数学、物理和计算机等多学科的数学、物理和计算机等多学科的综合知识综合知识，用，用迭代方法迭代方法建立了著名的建立了著名的Daubecies小波，这种小波是目前应用最小波，这种小波是目前应用最广泛的一种小波。广泛的一种小波。290.3 Daubecies小波的提出Grossmann认为：认为：“Daubecies的工作不仅作出的工作不仅作出了十分重要的贡献，而且她还制作了适合各种通信的有了十分重要的贡献，而且她还制作了适合各种通信的有用的小波传输方式。她既是一名数学家，又是一名物理用的小波传输方式。她既是一名数学家，又是一名物理学家，还是一名工程师。学家，还是一名工程师。”Morlet小
37、波、小波、Mexican帽子小波、帽子小波、Meyer小波、小波、 Daubecies小波及其对应的尺度函数与小波及其对应的尺度函数与Fourier变换图形变换图形见下图。见下图。虽然虽然Daubecies小波不能解析构造出来，但其滤波小波不能解析构造出来，但其滤波器系数却可以由三角参数解析构造出来，请参考有关书器系数却可以由三角参数解析构造出来，请参考有关书籍。籍。30几种小波及其对应的尺度函数与 Fourier变换Morlet小波小波Mexican帽小波帽小波Meyer 小波小波（4阶阶） 尺度尺度 函数函数2阶阶小小波波尺尺度度函函数数7阶阶小小波波尺尺度度函函数数DaubeciesDa
38、ubecies小波小波31MeyerMeyer认为小波分析是人们对变化敏感体会的一种方认为小波分析是人们对变化敏感体会的一种方法，正如对速度的反应一样，人体仅对加速度有反应，而法，正如对速度的反应一样，人体仅对加速度有反应，而对速度没有感觉。对速度没有感觉。只要火车或飞机的速度是常数，就感觉只要火车或飞机的速度是常数，就感觉不到它们在动，这就是小波分析的基本思想，它与人类体不到它们在动，这就是小波分析的基本思想，它与人类体验反应、思维方式、视觉工程等十分类似验反应、思维方式、视觉工程等十分类似。小波分析这一。小波分析这一特性便于我们区分信号的敏感部分和平坦部分，实施对信特性便于我们区分信号的敏
39、感部分和平坦部分，实施对信号的压缩和传输。号的压缩和传输。1. 波与小波321. 波与小波 唐远炎的介绍浅显易懂唐远炎唐远炎: : 博士博士, , 教授，教授， 博士导师博士导师 重庆大学计算机科学学院重庆大学计算机科学学院 院长院长 香港浸会大学计算机科学系讲座教授香港浸会大学计算机科学系讲座教授(Chair Professor) 加拿大康可迪亚大学计算机科学系教授加拿大康可迪亚大学计算机科学系教授 33343536373839Wave/Wavelet Transform404142434445464748495051525354555657585960 FourierFourier分析适合
40、处理非常平稳的周期信号，而小波分析适合处理非常平稳的周期信号，而小波分析适合处理急剧变化的高度不稳定信号。分析适合处理急剧变化的高度不稳定信号。 对于次稳定性信号对于次稳定性信号，即在某段时间内是可以预测的，即在某段时间内是可以预测的，就必须综合这二种分析的特点方能有效处理。就必须综合这二种分析的特点方能有效处理。 对于长时间内处于规则稳定变化的信号对于长时间内处于规则稳定变化的信号，使用小波，使用小波分析就没有太大必要，分析就没有太大必要，传统小波传统小波在提取和识别高频方面在提取和识别高频方面不一定比不一定比STFTSTFT精确。精确。 STFTSTFT无法满足正交性，且其窗口无法满足正交
41、性，且其窗口大小固定，缺乏小波分析窗口的柔软可调性。大小固定，缺乏小波分析窗口的柔软可调性。612. 小波分析的应用 小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面据处理；大型机械的故障诊断等方面 . . 例如，例如，在数学方面，它已
42、用于数值分析、构造快速数值方法、曲在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少在医学成像方面的减少B B超、超、CTCT、核磁共振成像的时间，、核磁共振成像的时间，提高分辨率等提高分辨率等。622. 2. 小波分析的应用小波分析的应用63小波分析的主要内容小小波波分分析析框架元素框架元素-展开逼近基展开逼近基
43、尺度函数尺度函数-尺度正交基尺度正交基Malvar小波小波小波包小波包小波函数小波函数-正交小波基正交小波基构造方法构造方法高通滤波器高通滤波器连续变换：不需要连续变换：不需要其它变换：需要其它变换：需要构造方法构造方法低通滤波器低通滤波器多分辨分析多分辨分析(MRA)：一维和高维：一维和高维快速小波算法快速小波算法(FWA)：一维和高维：一维和高维数量积小波变换：连续小波变换、离散时间变换、数量积小波变换：连续小波变换、离散时间变换、 离散参数变换、离散小波变换离散参数变换、离散小波变换矢量积小波变换：连续小波变换、离散时间变换、矢量积小波变换：连续小波变换、离散时间变换、 离散参数变换、离
44、散小波变换离散参数变换、离散小波变换应用配备：有限长低通滤波器系数应用配备：有限长低通滤波器系数h(n)、FWA(Mallat算法算法)应用场合：一维、二维，与应用场合：一维、二维，与Fourier配合可处理任意信号配合可处理任意信号基本元素基本元素语法规则语法规则变换种类变换种类应用种类应用种类一维小波一维小波高维小波高维小波643 3 小波定义及基本小波变换小波定义及基本小波变换3.1 小波定义小波定义3.2 连续小波变换连续小波变换3.3 离散小波变换离散小波变换653.1 小波定义定义定义 函数函数 ( (t t) )是小波函数，如果它满足是小波函数，如果它满足 02)( d 0)(
45、dtt ( (t t) )称为称为母小波函数母小波函数(Mother Wavelet Function)(Mother Wavelet Function)或者或者小波是定义在有限间隔而且平均值为零的一种函数。小波是定义在有限间隔而且平均值为零的一种函数。6667对对 ( (t t) )函数作伸缩、平移得函数作伸缩、平移得 Zbaabtatba,)()(21, 变量变量a a为尺度为尺度( (或宽度或宽度) )函数，变量函数，变量b b检测沿检测沿t t轴的平移位置。轴的平移位置。 a,ba,b( (t t) )构成了构成了L L2 2( (R R) )的一组正交小波基，称为的一组正交小波基，称
46、为小波函数小波函数，简称小波。简称小波。因此选择了小波函数就等于选择了一组小波基。因此选择了小波函数就等于选择了一组小波基。68母小波经过拉伸和压母小波经过拉伸和压缩尺度因子达到调节缩尺度因子达到调节信号分析的目的。信号分析的目的。大尺度小波反应信号大尺度小波反应信号总体框架变化趋势总体框架变化趋势小尺度小波反应信号小尺度小波反应信号的细节信息的细节信息 小波的缩放小波的缩放 69 可以这样理解小波变换的含义：打个比喻，我们可以这样理解小波变换的含义：打个比喻，我们用镜头观察目标信号用镜头观察目标信号f f ( (t t) )， ( (t t) )代表镜头所起的代表镜头所起的所用。所用。b b
47、 相当于使镜头相对于目标平行移动，相当于使镜头相对于目标平行移动，a a的作的作用相当于镜头向目标推进或远离。由此可见，小波变用相当于镜头向目标推进或远离。由此可见，小波变换有以下特点：换有以下特点： 多尺度多尺度/ /多分辨多分辨的特点，可以由粗及细地处理信号；的特点，可以由粗及细地处理信号； 适当地选择小波，使适当地选择小波，使( (t t) )在时域上为有限支撑在时域上为有限支撑, , ( () )在频域上也比较集中，就可以使在频域上也比较集中，就可以使WT在时、频域都具有表在时、频域都具有表征信号征信号局部特征局部特征的能力。的能力。703.2 连续小波变换 Continuous wa
48、velet transform CWT 小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数之积在信号存在的整个期间里求和 CWT变换的结果是小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和位置（position）的函数频率时间71(a) CWT二维图二维图72(b) 三维图三维图连续小波变换分析图连续小波变换分析图73小波变换的思想来源于小波变换的思想来源于伸缩和平移伸缩和平移方法。方法。74 对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压缩和伸展。压缩和伸展。1);sin()(attf21);2sin()(attf41);4sin()(attf尺度伸缩尺度伸缩7
49、5小波的尺度伸缩小波的尺度伸缩 76 时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行移动。移动。时间平移时间平移77(1) (1) 选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始点对齐；信号起始点对齐；(2) (2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度，即计算小波变换系数近程度，即计算小波变换系数C C，C C越大，就意味着越大，就意味着此刻信号与所选择的小波函数波形越相近。此刻信号与所选择的小波函数波形越相近。3.2 连续小波变换78(3) (3) 将小波函数沿
50、时间轴向右移动一个单位时间，然将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步骤后重复步骤(1)(1)、(2)(2)求出此时的小波变换系数求出此时的小波变换系数C C，直到，直到覆盖完整个信号长度；覆盖完整个信号长度；79(4) (4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤步骤(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)；(5) (5) 对所有的尺度伸缩重复步骤对所有的尺度伸缩重复步骤(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)、(4)(4)。8081v 尺度与频率的关系尺度与频率的关系尺度与频率的关系如下：尺度与频率的关系如下： 小尺度小尺度
