1、A2微积分与最优化1.A2.1微积分2.2022-5-233n设D是一个非退化的实值区间在此区间上,f是二次可微的.如下的1至3阐述是等价的:n1.f是凹的.n2.f(x)0,xD.n3.对于一切x0D,nf(x)f(x0)+ f(x0)(x-x0)n4.如果f(x)0 (P.1)xixftkxtkfxtxitxfxixitxtxftxfxiii=)()()()()(P.3).2022-5-2323ikixxfttxxf=)()(ikixxftxxf=-)()(1由于（P.1）是恒等式,（P.2）必定会等于(P.3),因此有:用t除两边得到:对于i=1,n,并且t0,证明完毕.2022-5-2
2、324定理A2.7 欧拉定理欧拉定理证明:定义t的函数是十分有用的,g(t)f(tx),固定x ,对t微分,有xxxixfxkfkxfnii对所有次齐次性的：是，当且仅当如下式子成立,)()()(1=niiixxtxftg1)()(p.2)在t=1时:=niiixxxfg1)()1 (p.3).2022-5-2325证明必要性设f(x)是k次齐次,使得对一切t0与任何x,f(tx)=tkf(x),由于(P.1),我们有g(t)= tkf(x),求微分,g(t)=ktk-1f(x),并且在t=1处取值.我们得到g(1)=kf(x).利用(P.3),得到iniixxxfxkf=1)()(P.4)证
3、明充分性为证明充分性,设(P.4)成立,在tx处取值得到:=niiitxxxftxkf1)()(P.5)给(P.2)式两边同乘t,同(P.5)相比较,发现tg(t)=kg(t)(P.6).2022-5-2326考虑函数t-kg(t).如果对此求关于t的微分,得到:).()()(1tkgtg tttgtdtdkk-=-从(p.6)来看,它的导数必为零,因此,我们可以得出这样结论,即对于一些常数c,t-kg(t)=c.为找到c,在t=1处求值并注意到g(1)=c.利用定义( P.1),得到c=f(x).我们知道,g(t)=tkf(x).再次把( P.1)代入,我们得到,对于所有x,则有f(tx)=
4、tkf(x).A2.2 最优化27.2022-5-2328设f(x)是一个二次可微的单变量函数,那么f(x)将会获得一个局部内点最优值.1.在 x*处有最大值f(x)=0(FONC) f(x)0(SONC)2.在 x*处有最小值f(x)=0(FONC) f(x)0(SONC)定理A2.8 单变量情形中局部内点最优化的必要条件.2022-5-2329定理2.9 实值函数局部内点最优化的一阶必要条件n如果可微函数f(x)在点x*处达到了一个局部内点极大值或极小值,那么,x*为如下联立方程组的解:0)(0)(0)(*2*1*=nxxfxxfxxf.2022-5-2330证明:n证明思路:我们设f(x
5、)在x*处获得了一个局部内部极值,并设法证明f(x*)=0.证明:选择任意向量zRn,那么,对于任意标量t,我们有: g(t)=f(x*+tz) (P.1)从(P.1)我们知道,g(t)不过是f(x)的另一种表现形式.t0时, x*+tz正好是不同于x*的向量,故g(t)正好同f的一些值相同.t=0,x*+tz等于x*,因此,g(0)正好是f在x* 处的值.已经假设 f在x*处取得极值,那么g(t)必定在t=0处获得一个局部极值.那么,g(0)=0.2022-5-23310)()()(,0)0(0)()(*1*1*=+=zxfzxxftggtzxtzxftginiiinii有时，当.2022-
6、5-2332A2.2.2 二阶条件n实值函数局部内点最优化的二阶必要条件n设f(x)是二次连续可微的.n1.如果在点x*处f(x)达到了一个局部内点极大值,那么,H(X*)是负半定的.n2.如果f(x)在点x 处达到了一个局部内点极小值,那么,H(X )是负正定的.定理A2.10.2022-5-2333或者H(X*)0,由于z是任意取的,这以为着H(X*)是负半定的.同理,如果在点x=x 处f被最小化,那么, g(0)0,使得,H(X )是半正定的.定理A2.10证明)()(tzxftg+=jinijinjiniizzxtzxftgzxtzxftg=+= +=1211*)()()()(设有(p
7、.1)设f(x)在x=x*处取得最大值,根据定理A2.8 必定有g(0)0.在点x*处或者在t=0处给(p.1)取值,0)()(121+= =jinijinjzzxtzxftg.2022-5-2334定理A2.11 海赛矩阵负定与正定的充分条件n设f(x)是二次连续可微的,并设Di(x)是海赛矩阵H(x)的第i阶的主子式.n1.如果(-1)iDi(x)0,i=1,n,那么,H(x)是负定的.n2.如果Di(x)0,i=1,n,那么,H(x)是正定的.n如果在定义域内,对所有x,条件1成立,那么f是严格凹的.如果在定义域内,对所有x,条件2成立,那么f是严格凸的.2022-5-2335定理定理A
8、2.11A2.11海赛矩阵负定与正定的充分条件海赛矩阵负定与正定的充分条件证明证明证明思路:借助定理A2.4的第四条(如果对于D中所有x,H(x)是负定的,那么,f是严格凹的.)将定理A2.12转化为矩阵的主子式改变符号是负定的,全为正为正定的.(P.2)222221122111212121211221222112212211121111121)(2)()()0 , 0(),(.)()(0)(),(zfzzfzfzzfzxHzzzzfffffffffXDffXDxxfyjijiijT+=-=是：阵的一阶与二阶主子式是二次可微的，海赛矩设.2022-5-23360)()()()()()()()(
9、)()(2)()()()()(2)()()()()()(2)(0221121222110211121112211212221121112111221121222222111221111221112211212222221112211112211111222122222112221221122111-+=-+=-+=-+=-+= zffffffzfzffffffzfzfffzffzzffzfzfffzffzzffzffzfzffzfzzfzf平方项.2022-5-2337定理A2.12 实值函数局部内点最优化的充分条件n设f(x)是二次连续可微的,则:n1.如果fi(x*)=0,(-1)iDi(
10、x)0,i=1,n,那么, f(x)在x*处将会获得一个局部极大值n2.如果fi(x )=0 并且Di(x )0,i=1,n,那么, f(x)在x 处将会获得一个局部极小值.2022-5-2338是一个局部极大值（形成海赛矩阵：二阶导数：求得：令与解：小值？是否是一个极大或者极的驻点函数例题,0)78,73(079162338)(088)()78,73(2338)2,3,3,8)78,73(2310382313834),( A2.7*21*222122212212*212211212211222121221=-=-=-=-=-=-=-=-+=+-=-+=+-=-+-=xXDXDxxHxfxxf
11、xxfxfxxxxfxxxfxxxfxxxfxxxxxxxf.2022-5-2339定理A2.13 (无约束的)局部与全局最优化n设f(x)是D上一个二次连续可微的实值凹函数.这里,点x*是D的一个内部点,那么如下三个命题等价:n1.f(x*)=0n2.在x*处f获得一个局部极大值.n3.在x*处f获得一个全局极大值.n证明:显然,32,并依A2.9,21,因此,只需证明13n由1.假设,f(x*)=0,由于f是凹的,定理A2.4蕴涵对于定义域的所有x, f(x)f(x*)+ f(x*)(x-x*)n结合假设: f(x)f(x*)n所以,f在x*处达到全局最大值.2022-5-2340定理A2
12、.14 严格凹性/凸性与全局最优化的唯一性n1.如果x*最大化了严格凹函数f,那么,x*是唯一全局最大化值点.例如,设f(x*)f(x),xD,xx*.n2.如果x最小化了严格凹函数f,那么,x是唯一全局最小化值点.例如,设f(x)tf(x)+(1-t)f(x*),t(0,1)n 由于, f(x)=f(x*), f(xt)tf(x)+(1-t)f(x),n即f(xt)f(x),这与假设x是f的一个全局最大值的假设矛盾,因此,严格凹函数的任何全局最大值必是唯一的.2022-5-2341定理A2.15 唯一全局最优化的充分条件n设f(x)是D上一个二次连续可微的.n1.如果f(x)是严格凹的,并且
13、fi(x*)=0,i=1,n;那么,x*是f(x)的唯一全局最大化值点.n2.如果f(x)是严格凸的,并且fi(x)=0,i=1,n;那么,x是f(x)的唯一全局最小化值点.2022-5-2342A2.3 约束最优化Maxf(x1,x2),受约束于 g(x1,x2)=0 x1,x2目标函数选择变量约束集或者可行集求解方法:代入法1.x2=g(x1)2.Maxf(x1,g(x1)0)()(*,()(*,(.31*12*111*11=+dxxgdxxgxfxxgxf.2022-5-2343A2.4 拉格朗日方法x1,x2Maxf(x1,x2),受约束于 g(x1,x2)=0L(x1,x2,)f(x
14、1,x2)+ g(x1,x2)定理A2.16 拉格朗日定理0)(*)()*,(.,.1,.1, 0)(,.10),(*,.1),()(*1*=+=-=xixxxfxxmjmjxmjxffxDxDmjxxfgggRgjmjjiijjjnj使得总存在唯一一个是线性独立的，那么，如果梯度向量的约束，其中，受到在这里的一个最优值点是的一个内点并设是是的连续可微函数。设是一些定义域与设.2022-5-2344A2.3.6 库恩塔克条件x1,x2Maxf(x1,x2),受约束于 g(x1,x2)0L(x1,x2,)f(x1,x2)+ g(x1,x2)非线性规划问题库恩塔克条件:f1+ g1=0f2+ g2
15、=0g(x1,x2)=0g0,g(x1,x2)0.2022-5-2345是非正的。那么，向量是一个最小值解，是非负的，如果，向量是一个最大值解，那么进而言之，如果，塔克条件：满足库恩使得（总存在唯一一个是线性独立的，那么，关的梯度向量如果与所有束紧约束相的最优解。约束的，受到在这里的一个最优值点是的一个内点并设是。设是的连续可微实值函数是一些定义域与设*,.,.1, 0*)(, 0)(,.10)(*)()*,(.*)*,*,.1, 0)(,.10),(*,.1),()(*1*=+-=-=xxmjxxnixixxxfxxxmjxfmjxffxDxDmjxxfgggggRgjjjjmjjiijjn
16、jA2.20 受不等式条件约束的实值函数最优化的(库恩塔克)必要条件.2022-5-2346A2.4 值函数xMaxf(x1,x2),受约束于 g(x,a)=0,且x0M(a)=maxf(x,a), 受约束于g(x,a)=0, x0 x2(a)x1(a)x2x1L(yL(y* *):y):y* *=f(x(a)a)=f(x(a)a)图A2.10:在约束条件g(x,a)=0限定下的f(x,a)的最大值.2022-5-2347）处取值。它在点（偏导数日函数关于参数这里，右边代表拉格朗下：数，那么，包络陈述如是问题的相关最大值函最后，设塔克条件的解。中的库恩给出定理并设（是相关的拉格朗日函数（设也是
17、连续可微的。关于参数）的唯一解并设是（，设对于每个是连续可微的。条件关于），并设目标函数与也。考虑问题（)(),(,.,1),(),(*)()(.)(20. 2)(),(),)(35. 20)(352aaxajmjaaxaxfaaMaMAaaxaxaaxAaxaaAii-=-A2.21 包络定理.2022-5-2348集合论的基本概念和基本结论定义域：凸集连续函数 f关系二元关系完备性传递性D是开集， f-1(B)是开集偏好关系拓扑空间度量空间欧氏空间值域：逆象f-1(S)开集闭集紧集紧集的象是紧集Brouwer fixed point TheoremsS是紧切且凸，f 连续，则 f(x*)=
18、x*A是一个凸集 拟凹函数 f是凹函数 .2022-5-2349微微积积分分与与最最优优化化单变量函数单变量函数凹性与一、凹性与一、二阶导数二阶导数等价命题：等价命题：f是凹的是凹的f (x) 0f(x) f(x0)+f(x0 )(x-x0)若若f是严格凹的是严格凹的严格不等式成立严格不等式成立多变量函数多变量函数偏导数函数偏导数函数梯度f(x)=(f1(x),fn(x) f11(x),f1n(x) f21(x),f2n(x) . fn1(x),fnn(x)H(x)=海赛矩阵对称性Young Theorem2f(x)/ xi xj = 2f(x) / xj xi海海赛赛矩矩阵阵齐齐次次函函数数
19、凸集、斜率与凹性的等价命题D是凸的H(x)是半负定的f(x) f(x0)+f(x0 )(x-x0)欧拉定理Kf(x)= f(x)*xi / xi.2022-5-2350X*=f(x*1,x *2,x *n)是一个稳定点一阶条件X*是一个相对极大值X*是一个绝对极大值d2 x在x*为负定二阶充分条件d2 x在x*为负定二阶必要条件X*是唯一的绝对极大值f是凹的f是严格凹的d2 x在x*为半负定d2 x处处为负定.2022-5-2351最最优优化化无无约约束束最最优优化化有有约约束束最最优优化化单变量单变量X*处最大值处最大值 f (x)=0 (FONC) f (x) 0(SONC)多变量多变量一
20、阶条件一阶条件X*处最大值处最大值 f(x*)=0(FONC)二阶条件二阶条件必要条件：必要条件：X*处局部最大值处局部最大值 H(x)是半负定的。是半负定的。充分条件：充分条件：f(X)是二次可微，是二次可微，1、若、若fi(X * )=0,且（且（-1）nD(X *)0,那么，那么，f(x)在在 X * 处局部极大。处局部极大。若若f(X)是严格凹的，则是严格凹的，则fi(X * )f(x),对对于任意于任意 X x *.2022-5-2352有有约约束束最最优优化化等式约束等式约束Maxf(x1,x2)S.t g(x1,x2)=0Maxf(x1, g(x1) )x2 =g(x1)转化成非
21、约束问题转化成非约束问题Lagrange方法方法不等式约束不等式约束Maxf(x) ， x 0必要条件：必要条件：F连续可微，若连续可微，若x 0，x最大化最大化f，那么，那么， x*满足满足1） f(x*)/ xi 02） xi *f (x*)=03） xi * 0。库恩库恩-塔克条件塔克条件.2022-5-2353微微积积分分与与最最优优化化单变量函数单变量函数凹性与一、凹性与一、二阶导数二阶导数等价命题：等价命题：f是凹的是凹的f (x) 0f(x) f(x0)+f(x0 )(x-x0)若若f是严格凹的是严格凹的严格不等式成立严格不等式成立多变量函数多变量函数偏导数函数偏导数函数梯度f(x)=(f1(x),fn(x) f11(x),f1n(x) f21(x),f2n(x) . fn1(x),fnn(x)H(x)=海赛矩阵对称性Young Theorem2f(x)/ xi xj = 2f(x) / xj xi海海赛赛矩矩阵阵齐齐次次函函数数凸集、斜率与凹性的等价命题D是凸的H(x)是半负定的f(x) f(x0)+f(x0 )(x-x0)欧拉定理Kf(x)= f(x)*xi / xi.
