1、人民教育出版社人民教育出版社 高中数学高中数学 1.1 1.1 变化率与导数变化率与导数 1 微积分（微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微）是高等数学中研究函数的微分（分（Differentiation）、积分）、积分(Integration)以及有关以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套使得
2、函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分简介微积分简介 2 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题直接出现的，也就是求即时速度的问题。第
3、二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。当大的物体作用于另一物体上的引力。微积分的创立微积分的创立 3 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的
4、巴罗法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。献。微积分的创立微积分的创立 4 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩
5、是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。问题（积分学的中心问题）。微积分的创立微积分的创立 5牛顿莱布尼茨6 牛顿和莱布尼茨建立微积分牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中析，这正是现在数学中分析学分析学这这一大分支名称的来源。一大分支名称的来源。微积分的创立微积分的创立 牛顿研究微积分着重牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，
6、莱布于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来尼茨却是侧重于几何学来考虑的。考虑的。7人民教育出版社人民教育出版社 高中数学高中数学 1.1 1.1 变化率与导数变化率与导数 81 1、变化率问题、变化率问题 9问题一：气球膨胀率问题一：气球膨胀率 很多人都吹过气球，可以发现，随着气球空气容很多人都吹过气球，可以发现，随着气球空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学的角量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学的角度，如何解释这个现象呢？度，如何解释这个现象呢？334334VVrr 空气容量从空气容量从0增加到增加到1时，气球的平均膨时，气球的平均膨胀率为：胀率为：空气容量从空气容量
7、从1增加到增加到2时，气球的平均膨时，气球的平均膨胀率为：胀率为：(1)(0)0.6210rr (2)(1)0.162-1rr 气球的平均膨胀率减小了，所以我们感觉气球变大得气球的平均膨胀率减小了，所以我们感觉气球变大得越来越慢。越来越慢。10思考：思考： 空气容量从空气容量从V1增加到增加到V2时，气球时，气球的平均膨胀率是多少的平均膨胀率是多少?2121()()r Vr VVV 11问题二：高台跳水问题二：高台跳水 在高台跳水运动中，运动在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度员相对于水面的高度h(单位：单位：m)与起跳后的时间与起跳后的时间t(单位：单位：s)存在函数关系存在函数关系2(
8、 )4.96.510h ttt 如果用运动员在某段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态，那么：描述其运动状态，那么：V(1)在在0 t 0.5 这段时间里，这段时间里，(2)在在1 t 2 这段时间里，这段时间里，(0.5)(0)=4.05(/ )0.50hhVm s (2)(1)=-8.2(/ )21hhVm s 12探究探究 计算运动员在计算运动员在 这段时间这段时间里的平均速度，并思考以下问题：里的平均速度，并思考以下问题：650t49(1)(1)运动员在这段时间是静止的吗？运动员在这段时间是静止的吗？(2)(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有你认为用
9、平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？什么问题吗？65()(0)1049hh=0hVt 答：（答：（1 1）（2 2）平均速度不能准确反映该段时间的运）平均速度不能准确反映该段时间的运动状态动状态. .13平均变化率的定义平均变化率的定义 式子式子 称为函数称为函数f(x)f(x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率. .2121()()f xf xxx 若设若设 , ,2121xxxyyy 则平均变化率为则平均变化率为yx 这里，我们称这里，我们称x x是相对于是相对于x x1 1的一个的一个增量增量（也叫做（也叫做自变量的增量自变量的增量），可用），可用x x1 1
10、+ +x x代替代替x x2 2，同理同理y y叫做叫做函数值的增量函数值的增量，可用，可用y y1 1+ +y y代替代替y y2 2注意：注意：x x（y y）是一个整体）是一个整体, ,可正可负！可正可负！14 于是，函数于是，函数f(x)f(x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率等于的平均变化率等于函数值的增量函数值的增量/ /自变量的增量自变量的增量，即，即2121()()f xf xyxxx 11()() f xxf xx 15思考思考根据平均变化率的定义：根据平均变化率的定义：你认为其几何意义是什么？你认为其几何意义是什么？2121()()=f xf xyxxx 112
11、2(,()(,()设、A xf xB xf x平均变化率表示直线平均变化率表示直线ABAB的斜率的斜率16例例1 已知函数已知函数f(x)=x2,分别计算在下列区间上，分别计算在下列区间上，f(x)的平均变化率的平均变化率.（1）1,3；（；（2）1,2；（；（3）1,1.1(3)(1)91(1)4312解：ff (2)(1)41(2)3211ff (1.1)(1)1.211(3)2.11.110.1ff 17例例2 求函数求函数 y=5x2+6在区间在区间2，2+x x上的平均上的平均变化率变化率.()=分析：平均变化率yf xxxx 1()2.（ ）求；（ ）求yf xxyx 18例例2
12、求函数求函数 y=5x2+6在区间在区间2，2+x x上的平均上的平均变化率变化率.(2)(2)解： yfxf 225(2)6(5 26)x 25()20 xx520yxx 所以平均变化率为所以平均变化率为不能写成不能写成x219课堂练习1 1、一质点运动的方程为、一质点运动的方程为 s=1-2ts=1-2t2 2, ,则在一段时间则在一段时间1,21,2内的平均速度为（内的平均速度为（ ）A. -4 B. -8 C. -6 D. 6A. -4 B. -8 C. -6 D. 62. 2. 设函数设函数y=f(x),y=f(x),当自变量当自变量x x由由x x0 0改变到改变到x x0 0+
13、+x x时，函数的该变量为（时，函数的该变量为（ ）A. f(xA. f(x0 0+ +x) B.f(xx) B.f(x0 0)+)+x xC. f(xC. f(x0 0)x D. f(xx D. f(x0 0+ +x x)-f(x)-f(x0 0) ) 20瞬时速度瞬时速度：物体在：物体在某一时刻某一时刻的速度的速度2 2、瞬时变化率、瞬时变化率 在高台跳水中，函数关系是在高台跳水中，函数关系是h=-4.9t2+6.5t+10如何求如何求t=2时的瞬时速度？时的瞬时速度？计算函数在计算函数在2,2+t t内的平均速度内的平均速度(2)(2)hthVt (2)(2)htht -4.9 t13.
14、1 02显然，当时，时的瞬时速度tVt 212 2、瞬时变化率、瞬时变化率 20(2)(2)lim13.1(m/s)tththVt 瞬时速度：瞬时速度：思考：思考： （1 1）如何求瞬时速度？）如何求瞬时速度？ 先求平均速度，再取极限先求平均速度，再取极限 （2 2）limlim是什么意思？是什么意思？ 在其下方的条件下，求后边的极限在其下方的条件下，求后边的极限 （3 3）如何求运动员在某一时刻）如何求运动员在某一时刻t t0 0时的瞬时速度？时的瞬时速度？ 00()( )limt tth tth tVt 22思考思考1 1、函数、函数f(x)f(x)在在xx0 0,x,x0 0+ +xx的
15、平均变化率怎么的平均变化率怎么表示？表示？2 2、函数、函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率怎么表示？处的瞬时变化率怎么表示？00()()f xxf xx 000()()limxf xxf xx 23导数的定义导数的定义函数函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是000()()limxf xxf xx 称为函数称为函数y=f(x)在在x=x0处的导数，记作处的导数，记作0()fx0|x xy 或或0000()()()= lim即xf xxf xfxx 24导数的导数的几何几何意义：函数的瞬时变化率意义：函数的瞬时变化率导数的导数的物理物理意义：物体的瞬时
16、速度意义：物体的瞬时速度25总结提升总结提升1、f(x0)与与x0的值的值有关有关，不同的，不同的x0, 其导数其导数值一般也不同；值一般也不同；2、f(x0)的值与的值与x的值的值无关无关；3、瞬时变化率瞬时变化率和和导数导数是同一概念的两个是同一概念的两个名称名称.26求函数求函数y=f(x)在在x=x0处的导数的步骤：处的导数的步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量（2）求平均变化率）求平均变化率（3）取极限）取极限00()()f xxf x 00()()f xxf xyxx 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 一差一差二比二比三极限三极限27例例1.(1)求
17、函数求函数y=3x2在在x=1处的导数；处的导数；(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变化率，并附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；求出在该点处的导数；(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3,求质点求质点t=3的瞬时速度。的瞬时速度。 011 1limxfxffx 解：解：(1) 203 13= limxxx 203()6()= limxxxx 0= lim3()+6xx = 628例例1.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数；处的导数；(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变化率，并附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；求
18、出在该点处的导数；(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3,求质点求质点t=3的瞬时速度。的瞬时速度。 11yfxf 解：解：(2)1-yxx 2=11( 2)xx 2-xx 所以平均所以平均变化率为变化率为0(1)limxyfx 0lim(1x)1x 29例例1.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数；处的导数；(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变化率，并附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；求出在该点处的导数；(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3,求质点求质点t=3的瞬时速度。的瞬时速度。 222336sttt 解：解：(3)30lim6
19、txsVt 6stt 30例例2、已知函数、已知函数 在在x=x0处附近有定义，处附近有定义，且且 ，求，求x0的值。的值。yx 012fx 0000lim解：xfxxfxfxx 000limxxxxx 000lim()xxxxxx 0001limxxxx 012 x 31 例例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果在第如果在第 x h时时, 原油的温原油的温度为度为 y=f (x) = x27x+15 (0 x8) . 计算第计算第2h与第与第6h时时, 原原油温度的瞬时变化率油温度的
20、瞬时变化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.解解: : 在第在第2h2h和第和第6h6h时时, , 原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是和和根据导数的定义根据导数的定义, ,32所以,同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.33练习练习(1)求函数求函数 f(x)=1/x 在在x=1处的导数；处的导数；(2)已知函数已知函数 f(x)=ax2+c，且，且f(1)=2,求求a.1 1a 341.1.已知函数已知函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+
21、x+x的图象上的一点的图象上的一点A(-1,-2)A(-1,-2)及及临近一点临近一点B(-1+x,-2+y),B(-1+x,-2+y),则则 =( )=( )A.3 B.3x-(x)A.3 B.3x-(x)2 2 C.3-(x)C.3-(x)2 2 D.3-x D.3-x Dyx2.如图，函数y=f（x）在A，B两点间的平均变化率是（ ）A.1 B.-1 C.2 D.-2B35121)()( )ff xf xxxx 2(x2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1)(2)计算平均变化率1.函数的平均变化率121)()( )ff xf xxxx 2 2(x(x363.3.求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t) (2) (2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限svt 00()( ).limlimttss tts ttt 4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤：（1）求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0) (2)求平均变化率（3）求极限00()limxyfxx 37
