1、结构可靠性理论结构可靠性理论Structural Reliability Theory 课程基本情况v大纲学时：36 （24讲解+6自学+6 讨论讲座）v授课对象：研究生，工程硕士v课程编号：S05016v参考教材：1)李清富，高健磊，乐金朝等。工程结构可靠性原理,黄河水利出版社，1999。(教材一教材一)(以后章节中用红色标注公式的)2)范水士，陈慰如，李学伟译；赵国藩，林安西校。 结构可靠性理论及其应用Structure Reliability Theory and Its ApplicationP.Thoft-Christensen(P.索夫特-克里斯坦森) and M.J.Baker，
2、Springer-Verlag 1982。科学出版社出版, 1988。3)李国强，黄宏伟，郑步权。 工程结构荷载与结构可靠度设计原理（第二版）中国建筑工业出版社（China Architecture and Building Press），2001。（面向21世纪课程教材-高校土木工程学科专业指导委员会规划推荐教材）l参考文献文献： 1）Application of Structural System Reliability TheoryPallle Thoft -Christensen and Yoshisada Murotsu。Springer-Verlag Berlin Heidelbe
3、rg New York Tokyo，19852）胡云昌，郭振邦。 结构系统可靠性分析原理及应用.天津大学出版社，19923）徐雪玲，王善著。 结构可靠性原理导论.中国船舶工业总公司可靠性中心，19964）何水清，王善著。 结构可靠性分析与设计.国防工业出版社，19935）赵国藩，金伟良，贡金鑫著。 结构可靠性理论.建筑工业出版社，20006）李守仁.可靠性工程.哈尔滨船舶工程学院出版社，19917）王福保。 概率论及数理统计.同济大学出版社，19938）迪特莱夫森等丹麦，何军翻译。结构可靠度方法。同济大学出版社，同济大学出版社。9)(1)公路工程结构可靠度设计统一标准GB/T 50283-19
4、99。Unified standard for reliability design of highway engineering structures。1999-06-10发布，10-01实施。国家质量技术监督局和中华人民共和国建设部，联合发布。(2)建筑结构可靠度设计统一标准（GB50068-2001），北京：中国建筑工业出版社，2001。10)李扬海，鲍卫刚等。公路桥梁结构可靠度与概率极限状态设计。人本交通出版社，1997。11)MichaelDuncan, Honorary. Factor of safety and reliability in geotechnical engine
5、ering. Journal of geotechnical and geoenvironmental engineering, 126(4), April, 2000. P307-316.12)刘玉彬，王光远。工程结构广义可靠性理论，科学出版社，2005。13)李桂青，李秋胜。工程结构时变可靠度理论及其应用，科学出版社，2001。14)曹双寅，邱洪兴，王恒华。结构可靠性鉴定与加固技术。中国水力水电出版 结构可靠性理论课程是接着结构力学等结构类课程的后续课程，是很多专业课（如结构设计原理等）中公式系数的来源、可靠度取值的基础，故它是一门基础课，比较偏重于数学方面，故其难度难度相对比较大。 工程
6、结构可靠性理论是一门涉及多学科并与工程应用有着密切关系的学科，对结构设计能否符合安全安全可靠、耐久耐久适用、经济合理、技术先进、确保质量的要求，起着重要的作用。结构可靠性与下面几个方面有关：1.工程结构2.工程结构的设计步骤3.结构设计计算的两个方面0.1 引言引言0.1.1 工程工程结构结构的定义的定义v工业与民用建筑结构v公路、铁路（桥梁）结构v水利工程等结构：它们在相当长的使用期内，需要安全地承受各种使用荷载，经受气象作用，以及波浪、地震等自然作用。它们的安全与否，不但影响工农业生产，而且还关系到人身安危。特别是对一些重要的纪念性建筑物，作为一个划时代的文化特征，将流传后世，对安全、适用
7、、美观、耐久等方面，还有更高的要求。 0.1.2 工程结构的设计步骤工程结构的设计步骤 v1）选择合理的结构方案和型式第一步：是调查研究、分析对比，在满足预定功能的条件下，选择合理的结构方案和型式；v2）根据选定的结构型式设计结构或构件的截面 第二步：包括结构或构件截面内力或应力的分析，以及根据截面的内力或应力，选择截面尺寸、确定材料用量等。通常称为结构计算结构计算。 本门课程主要是讨论在结构计算中，截面或构件设计的安全性和可靠性的问题。0.1.3 结构设计计算的两个方面结构设计计算的两个方面 v如何使结构的力学分析日趋完善v如何合理地选择影响结构安全的参数 结构设计计算主要解决两方面的问题：
8、一方面一方面是如何考虑材料固有的性能，使结构的力学分析日趋完善；结构设计中所用结构设计理论由于采用了现代力学方法、计算机和完善的实验，所以更精确。 另一方面另一方面是如何合理地选择影响结构安全的参数，如荷载值、材料强度值以及安全系数等。若不考虑荷载、材料强度等参数的不确定性和它们对结构安全的影响，那就会与日益精确的力学分析不相匹配。例如安全系数取大些，荷载值取大些，就多用材料造成不必要的浪费；反之就会造成危险。 图0.1 结构可靠性设计 可靠性经济性结构设计实验数据统计数据数学理论专家系统工程实测实践经验如何在结构的可靠性与经济性之间选择一种最佳的平衡平衡，力求以最经济的途径使所建造的结构以适
9、当的可靠度满足各种预定的功能要求是结构设计要解决的根本问题。0.2 工程结构可靠性概念1)在正常施工和正常使用时，能承受可能出现的各种作用作用（即能承受正常施工和正常使用期间可能出现的各种作用(包括荷载及外加变形或约束变形 ） 。2)在正常使用时具有良好的工作性能工作性能 。 3)在正常维护下具有足够的耐久耐久性能。 4)在设计规定的偶然事件(如地震、爆炸、龙卷风等)发生时及发生后，仍能保持必需的整体稳定性稳定性。 0.2.1 工程结构的工程结构的功能功能F 工程结构设计的基本目的基本目的是以最经济的手段,赋予结构以适当的可靠度，使结构在预定的使用期限内,具备预定的各种功能 。1.大桥承受车流
10、荷载、风载等;高等建筑承受风载、屋内荷载等。2. 教学楼必须能够满足教学的各项要求，它不不能用做车间存放沉重的设备，危险！反之，浪费！3. 所谓足够的耐久性能，系指结构在规定的工作环境中，在预定的时期内，其材料性能的恶化不致导致结构出现不可接受的失败概率。从工程概念上讲，足够的耐久性能就是指在正常维护条件下能够正常使用到规定的设计使用年限。即在预定的使用期内，材料恶化不严重。4. 所谓整体稳定性，系指在偶然事件发生时和发生后，建筑结构仅产生局部的损坏而不致发生连续倒塌。 例如英国伦敦Canning Town一幢23层装配式大板结构公寓大楼，由于18层一家发生了家用瓦斯爆炸，将该层的一块外墙板炸
11、坏，使这一初始局部破坏沿建筑物竖向蔓延，一层一层连续倒塌直至地面。导致建筑物整体破坏。 第1,4两项是结构安全性的要求；第2项是结构适用性适用性的要求；第3项是结构耐久性的要求。三者可概括为结构可靠性结构可靠性要求。0.2.2 结构可靠性的科学定义定义：定义：1 1、结构可靠、结构可靠性性：结构在“规定时间”内，在”规定条件”下，完成”预定功能”的能力。即它就是研究结构在各种因素作用下的安全问题。内容包括：结构的安全性、适用性、耐久性、可维修性、可耐存性及其组合。一般情况下，将安全性、适用性和耐久性三者总称为结构的可靠性。2、结构可靠结构可靠度度：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功
12、能的概率。（或者可以定义为：在某个寿命跨度上，结构实际上将留存的概率）。它是用来定量地进行分析计算，给出结构可靠性的数量指标。用来度量可靠性的指标称为可靠度。F因为在各种随机因素影响下，结构完成预定功能的能力只能用概率来度量，所以从统计数学观点出发，才有了上述关于可靠性及可靠度比较科学的定义。F可靠度比安全度含义更为广泛，但安全度是可靠度中最重要的内容。 l所谓“规定时间规定时间”，是指分析结构可靠度时考虑各项基本变量与时间时间关系所取用的设计基准期以及结构使用期；l所谓“规定条件规定条件”，是指设计时所确定的结构的正常设计、正常施工和正常使用的条件，即不考虑人为过失的影响；l所说的“预定功能
13、预定功能”，是以结构是否达到“极限状态极限状态”来标志的。如果结构达到极限状态的概率超过允许值，结构就失效，即不可靠。结构的失效概率越小，则其可靠度就越大。必须指出必须指出:结构可靠度与使用年限长短有关,本标准所指的结构可靠度或结构失效概率,是对结构的设计使用年限而言的，当结构的使用年限超过设计使用年限后，结构失效概率可能较设计预期值增大。0.2.3 设计使用年限表0.1 设计使用年限分类类别 设计使用年限 （年） 示例 1 5 临时性结构 2 25 易于替换的结构构件 3 50 普通房屋和构筑物 4 100 纪念性建筑和 特别重要的建筑结构 1、设计使用年限、设计使用年限是设计规定的有关时期
14、，在这一规定时期内，只需进行正常的维护而不需进行大修就能按预期目的使用，完成预定的功能，即房屋建筑在正常设计、正常施工、正常使用和维护下所达到的使用年限。 2、如达不到这个年限则意味着在设计、施工、使用与维护的某一环节上出现了非正常情况，应查找原因。3、所谓“正常维护”包括必要的检测、防护及维修。设计使用年限是房屋建筑的地基基础工程和主体结构工程“合理使用年限”的具体化。 0.2.4 设计基准期 1、设计基准期是为确定可变作用及与时间有关的材料性能取值而选用的时间参数。如建筑结构可靠度设计统一标准规定设计基准期为50年 。v结构设计规范要求听设计的结构在设汁基准期内，力求在经济合理的前提下满足
15、下列各项功能要求：1)能承受在施工和使用期内可能出现的各种作用；2)在正常使用时具有v良好的工作性能；3)具有足够的耐久性；4)在偶然事件发生时及发生后,能保持必要的整体稳定性。荷载是随时间而变动的随机过程，结构材料性能亦是以时间为变量的随机函数，所以结构可靠度应是时时间间的函数，即与结构的设计使用年限长短有关。 例例如：如：若结构的截面尺寸和材料强度均相同，则必然是使用期长的结构可靠度小于使用期短者。反之 ，若欲使他们有相同的可靠度，则结构所需的截面尺寸或所用的材料用量必然是使用期长者大于使用期短者。注意：注意：设计基准期，设计使用年限使用寿命。0.2.5 影响结构可靠性的因素：lR R明显
16、与时间有关。不同的研究对象时间不同，如导弹、房屋建筑等等的时间各不相同，超出规定的这个时间，结构的可靠性会降低到规定的标准以下，不易继续使用，或者再谈论结构的可靠性问题就没有意义了。lR R与规定条件有关。这种条件指结构所处的外部环境条件，诸如外力、温度、振动、冲击、周围介质等等情况。同一结构在不同的外部环境条件下，其可靠性可能全然不同。lR与功能有关。设计每一种结构都赋予它一定的功能。这些结构也可能会有多种功能，结构可靠性所研究的，正是这些规定功能的实现情况。在结构可靠度的计算中，用概率将这种功能的实现情况定量定量的表示出来。这就暗含着规定功能可能实现，也有可能不实现，即容许有失效或者故障发
17、生。可靠和失效是一个物体内存着的两个方面，在分析结构可靠性时，必须对结构的失效失效有充分的了解。0.3 0.3 失效定义失效定义结构丧失规定的功能称为失效。对可修复结构而言，这种失效称为故障。失效分类：v1、按失效的性质可分为：突然失效和渐变失效。突然失效突然失效：描述结构的一个或几个任务参数发生突然变化得失效称为突然失效，它是不能用事前的测试或监控预测到的。（重庆虹桥垮塌事件）渐变失效渐变失效：由于结构的一个或几个任务参数逐渐变化而引起的失效称为渐变失效，它是可以用事前的测试或监控预测到的。对于任何结构，渐变失效是不可避免的，这是由于有规律的耗损和老化的结果，所以这种失效迟早会发生，故它的出
18、现概率为1，因此渐变失效不作为随机事件来处理。但是，这种失效到来的时间是随机量，就这个意义上来说，渐变失效仍属于概率的范畴。v2、按失效发生的时间为出发点进行划分：早期失效、偶然失效和耗损失效。早期失效早期失效：也称为试运行期失效，主要是由于系统内有这样或那样的隐蔽缺陷构件，或装配和安装时的人为错误。偶然失效偶然失效：在正常运行期，由于构件突然受到不容许的荷载，或者由于构件本身某些参量的突然变化等偶然因素而发生的失效。耗损失效耗损失效：任何结构随着时间的推移，易受到耗损和老化，逐渐引起的失效。 也可以用结构施工期和老化期可靠度来定义这个时间关系，即由此可以画出著名的“浴盆”曲线。图图1 1 结
19、构使用期和失效概率的关系结构使用期和失效概率的关系2、按失效发生的时间为出发点进行划分：早期失效、偶然失效和耗损失效。3、按失效存在时间可分为:运行紊乱失效、间歇失效和恒定失效。运行紊乱失效运行紊乱失效：是能引起结构在短时间内功能丧失的一种失效。间歇失效间歇失效：是结构的某一特征多次发生运行紊乱的失效，这种失效结构不经修复而在限定的时间内，能自行恢复功能。恒定失效恒定失效：是结构运行时始终存在的一种失效（故障），必须进行外界干预修复方可恢复。 4、按失效的完备性可分为:系统失效、完全失效和部分失效。 完全失效完全失效：是结构性能超过某种确定界限，以致完全丧失了所规定的功能。部分失效部分失效：结
20、构没有完全丧失所规定的功能，这时候结构依然可用，但效率较低。系统失效系统失效：是一种多次重复的失效。5、按结构系统各构件之间的联系可分为：独立失效和从属失效。独立失效：指在结构系统中，一个构件的失效与系统中其它构件的破坏或失效无关 。从属失效：指系统中某一构件的失效取决于其它构件的破坏或失效，或者说是由于另一构件的失效引起的。 6、按形成失效的原因可分为：设计失效、生产（制造、安装、修理）失效、使用（违反操作规程、使用条件）失效和人为错误失效。7、按与失效有关的后果可分:致命失效、严重失效和参数失效。 致命失效致命失效：指能够导致人员生命和财产重大损失的失效。 严重失效严重失效：指能导致复杂结
21、构完成规定功能能力降低的构件或部件的失效。 参数失效参数失效：指结构的任 何参数超出规定所许可的范围。 0.4 结构可靠性(度)的分类 根据失效方式对可靠性进行命名有根据失效方式对可靠性进行命名有: :A、设计可靠性/度（固有可靠性/度）： 指在结构设计阶段，根据结构可靠性/度的基本计算公式，由分析计算预测出的结构可靠性/度。它只是未来所实现可靠性/度的一种近似表达。B、制造可靠性/度：制造过程中采用实际的加工、安装过程、基建结构尺寸等所形成的可靠性/度。C、使用可靠性/度：在实际使用条件下所形成的可靠性/度。D、人的“可靠性/度”和“人-机系统可靠性/度”： 是在人-机系统中，系统成功地执行
22、功能的概率。即在计算人-机系统可靠性/度时，不但要考虑结构本身的可靠性/度，还必须考虑在准备和使用阶段，导致结构失效的认为错误。E、参数可靠性/度：指和诸如加速度、速度、角度、变形、应力、应变等这样一些参数实现水平有关的可靠性。F、构造可靠性/度：是指由始终组合在一起的构件构成的结构系统可靠性/度。或串联或并联、混联或其它复杂的联接形式，彼此间可能独立，可能相关。 0.5 结构设计方法的演变l工程结构设汁方法从可靠度来说基本上可以分为经验安全系数设汁法和概率设计方法两类经验安全系数设计法是将影响结构安全的各种参数按经验取值，一般用平均值或者规范规定的标准值，并考虑这些参数可能的变异对结构安全性
23、的影响，在强度计算中再取用安全系数K。l概率设计法，则是将影响结构安全的各种参数作为随机变量用概率论和数理统计学来廾析全部参数或部分参数，或者用可靠性理论，分析结构在使用期内满足规定功能的概率。当前，结构设计正由经验设计法转变为概率设计法在过度阶段，人们对设计方法又分为水准I、水准和水准III三种。针对工程结构的设计方法有：针对工程结构的设计方法有：1）力学方法a、弹性设计法；b、非弹性设计法； 弹性设计法：虎克(Hooke)定律，即线性体结构(其本构关系是线性的) 非弹性设计法：非虎可(Hooke)定律，即非线性体结构（其本构关系是非线性的）2）可靠度设计法：概率设计法能够解决两方面的问题：
24、针对现有结构，根据设计进行分析计算以确定结构的可靠度；根据结构建设任务提出的可靠指标，确定构件的参数。 经验安全系数法： 概率设计法：将影响结构设计的各种参数当做随机变量，用概率论或者数理统计分析全部参数，或者用可靠性理论分析结构使用期间满足基本功能的概率。 这些单靠试验是不可能的，需要大量统计数据，建立数据库来分析统计。但目前是不可能的，需要过度。根据分析方法的复杂程度和对输入数据的要求，结构可靠性现在常分为三种不同水平的分析法。l水准I：即半经验半概率法，也就是安全系数法。它是引用了水准法求得的分项系数（partial safety factors）。在设计中利用它们，其累计的效果会使设计
25、达到某种可靠性水平（即某一可靠指标）。 用于单系统或多系统极限状态设计法中。l水准II：即近似概率法，该方法不是用失效概率（Failure Probability），而是用可靠指标（Reliability Index）来评估结构的可靠性。该方法原先是基于一种所谓“均值一次二阶矩法（Mean Value First Order Second Moment Method）”，后来又由Hasofer 和Lind 提出的一种改进一次二阶矩法(AFOSM)PSOSM(本人提出)。l水准III：即全概率分析法，对所输入的数据有最严格的要求。但是即使有了这些数据，要计算结构失效概率的积分，其运算或数值解也是
26、极为困难的。该方法的基本概念在于：一个结构总是存在某一失效概率，它可以通过对结构的载荷和强度诸变量的联合概率密度函数的积分来求得，积分域为诸变量的不安全区。 l由于引用水准III方法进行可靠度分析，会使问题变得非常复杂，因此目前很少直接采用。l由此可见，结构设计方法实际上是随着人们对工程中各种参数不确定性认识的提高而不断发展和完善的!l下面简单回顾一下我国在钢筋混凝土结构设计方法上的发展和演变过程。KM=30。lc模型不定性:由简化假设和未知的边界条件而产生的,也是由未包含在模型中的其他变量和他们之间相互关系的位置效应产生的。和特定的数学模型有关的模糊不定性可用变量Xm的概率分布表示，定义为
27、应）用模型预测的强度（响实际的强度（响应）mX（1.1） 0.9 安全检验l结构可靠性分析方法可分成两大类：一类是设计方法（前面已经介绍）；另一类就是的方法，即水准水准3 3：该方法的计算是用来确定结构或构件失效的“精确精确”概率。要对影响结构响应的各种量的联合出现作充分的概率描述，还要考虑失效范围的准确性质。水准水准2 2：这种方法包含某些近似迭代计算过程，用来求出结构或结构体系的失效概率的“近似值”，一般要使失效范围理想化，而且通常要简化变量的联合概率分布的表达式。 以上两个水准只要目标可靠度或可靠指标已经确定，都可用来检验设计安全度或直接在设计过程中应用。水准水准I：水准水准I结构设计结
28、构设计通常称为极限状态设计极限状态设计。它不是可靠性分析的方法，而是“设计或检验安全度”的近似方法。该法中结构可靠度的合适程度是应用许多分项安全因子或分项系数在结构构件的基础上（有时在结构的基础上）提供的，这些因子或系数与主要结构和荷载变量预定的特征值或标定值有关。（演示“假设检验与区间估计”） 2.1 2.1 概率论的基本概念概率论的基本概念l正如第一章中所讲，结构可靠性分析是基于事物具有不确定性这样一个基本观点的，因此，与不确定性处理有关的概率论、数理统计、随机过程和模糊数学等就构成了结构可靠性理论的数学基础。限于篇幅，本章只着重论述述与结构可靠性有关的重要概念。l我们就所涉及的、基于某些
29、基本假定及若干定义和定理知识的概率范围的只是做一些了解。1、概念的了解：、概念的了解：1）随机量：在多次试验中其数值不能确定的量，称它为。2）样本空间：指实验的全部可能结果。3）样本点：样本空间中每个单独可能的结果，叫。4）连续样本空间：有无限多个样本点组成的样本空间。5）离散样本空间：样本点是离散的和可数的。6）有限样本空间：指样本点为有限个的离散样本空间。7）无限样本空间：有可数无限多样本点的样本空间。8）事件：指样本空间的一个子集，是样本点的集合。9）不可能事件：指不包含样本点的事件。10）必然事件：指包含了样本空间中全部样本点的事件。11）并：它是属于事件或中之一的样本点所构成的子集。
30、12）交：它是由同时属于和的样本点所构成的子集。13）互不相容事件：当两个事件中没有共同的样本点，则称它们为。14）对立事件：包含在样本空间中但不在每一事件E中的全部样本点的事件叫做E的对立事件，并计为。 2.1.1 样本空间2、De Morgan 定理定理P17：见公式（：见公式（2.7，2.8）2121EEEE(2.7)2121EEEE(2.8)2.1.2 概率论的定义和性质 设A是一随机事件，A出现可能性大小的数字P(A)称为事件A的概率。(演示“几何概率”)1、概率论的基本公理、概率论的基本公理：l公理公理1：对任一事件E，设函数P是概率测度概率测度。P(E)是事件E的概概率率。(2.
31、9)l公理公理2:设样本空间是，则有P()=1 (2.10) .l公理公理3:如果E1,E2, ,En是互不相容的事件，则有(2.11) 。 (2-9) (2.11) 1)(0EPniiniiEPEP11)(l由此可作为定理记忆的公式有(以下公式红色表示教材2给出)：性质1：设 是E的对立对立(补充)事件，则有(2.12- 2.1)；)(1)(EPEPE性质2：空空(零)事件概率(2.13)0)(P性质3：两个并并事件概率(2.14)；)()()()(212121EEPEPEPEEP推广性质3：对任意n个事件有(2-4)；112121, ()()()()( 1)()nnnniijnii j i
32、jP EEEP EP E EP E EE 2.1.3 条件概率l性质性质4 4：条件条件事件概率(2.16 )或(2.18)；l设A、B是任意两事件,且P(A)0，则称下式为在事件A发生条件下,事件B发生的条件概率条件概率。对于P(A)=0，条件概率没有定义。 )()()|(APBAPABP(2.16) (2-7)条件概率：在许多实际应用中，事件B发生的概率往往有条件地依赖于事件A的发生，这种概率叫做条件概率，用P(B|A)表示，在一般情况下，P(B|A)与P(B)是不相同的另外，由上式事件可知， 的概率为 )(BAP)()|()()|()(APABPBPBAPBAP(2.18)性质性质5：如
33、果事件A和事件B是统计独立的，则上式变为如下的乘法乘法法则(2-4) ;)()()(BPAPBAP(2.19)(2-9)上式是两事件的乘法公式，推广到一般可得到关于条件概率的三个重要公式。乘法公式乘法公式:设n个事件A1,An(n=2)满足P(A1A2An-1)0，则有12121312121()() (|) (|)(|)nnnP A AAP A P AA P AA AP AA AA(2-11)全概率公式全概率公式(Bayes定理定理)(2.22-2.24) 设样本空间被划分成n个互不相容的事件E1,E2,En（如书上图2.3） E1 E2 E3 A En 设A是同一个样本空间的事件，则有如下称
34、为全概率全概率公式公式 (演示“全概率公式”) (演示“诸葛亮与臭皮匠”)1211221( )()()()(|) ( )(|) ()(|) ()(|) ( )nnnniiiP AP AEP AEP AEP A E P EP A E P EP A E P EP A E P E(2-13) 逆概率公式：逆概率公式：条件同“全概率公式”。另加，对任意事件A，有P(A)0，则有1(|) ()(|) ()(|)( )(|) ()iiiiiniiiP A E P EP A E P EP EAP AP A E P E(2.23)(2-14)算例分析算例分析 P10P10l例2.1v例2.4v例2.2v例2.
35、32.1.4 随机变量 随机变量X是一个函数，它把样本空间中的事件映射到实轴R上，常常被写成X: :R，分为离散和连续随机变量。见书图2.4。对于离散离散随机变量X，连续连续随机变量X ，混合连续-离散随机变量的概率密度函数和概率分布函数可见（2.25）（2.32）。(演示“随机变量值的确定”) )(xfX )(xFX 1.0 x x 图 2.6 连续随机变量 X 的概率密度函数)(xfX和概率分布函数)(xFX )(xfX 0.2 0.1 x 图 2.7 混 合连 续 -离散 随 机变 量 随机变量X的数字特征有：均值、方差（标准差或均方差）、变异系数、k阶原点矩以及k阶中点矩等。2.2 概
36、率分布函数与概率密度函数P122.4 结构可靠性分析常用的概率分布P16 概率分布能够很好地描述随机变量的性质，但在工程实际中往往不清楚分布属于哪一类型。故通常的做法是，先讨论几种重要的分布类型及其参数性质，再根据现场数据或试验数据用概率纸或计算机对其进行统计处理，并进行假设检验，从而确定其分布类型及其参数。然后在此基础上预测（计算）其可靠度或其它可靠性特征量6-P26 。 下面只介绍一些应用较广的概率分布。2.4.1 二项分布66：p26-p26-即在一次实验中只能出现两种结果之一的情况，它是一种离散性分布。设某一结果H发生的概率为p，另一结果T发生的概率为q，则在n次实验中结果H发生r次的
37、概率公式为。(演示“二项分布与泊松分布”)其中，q=1-p。有概率的性质，对任意的自然数r,恒有右图关系9 。由于上述随机变量X取值r的概率恰好是二项式展开式中依次各项的值，故称这种概率分布列为服从参数的二项分布，记作B(n,p)。当n=1时，二项分布转化为： ，r =0,1。(6-2.10)(9)(2.57)均值：方差：变异系数：22exp2)(kxkxxfXrnrrnrrnqprnrnqpCrprXP)!( !)()(111nrrnrrnnrqpCrXPnpXEx)(npqxxxrrpprXP1)1 ()()xD Xnpq2.4.2 泊松分布 当上述二项分布的表达式遇到n很大(n50)，q
38、很小(q0如何变化，正态分布随机变量X取值落在各个不同区间的概率均由下图给出6-图3.4。3、0,1(x)为偶函数，故其图形对称于y轴。且相应分布函数满足F0,1(-x)=1-F0,1(x), （-x+）。4、标准正态分布服从N(0,1)，且有关系式(-x)=1- (x)。（以下四点可见下图所示：）lA、服从正态分布的随机变量X，取值大于和小于的概率相等，都等于0.5.lB、取值落在区间-, +，即1内的概率等于0.6826。lC、取值落在区间-2, +2，即2内的概率等于0.9544。lD、取值落在区间-3, +3，即3内的概率等于0.9973。 1 1、正态分布的数字特征、正态分布的数字特
39、征如右表：如右表：( (演示演示“戏院设座问题戏院设座问题”) )均值：方差：均方差： 变异系数： )( xX 2221)(xXex； N (0 ,1 ) 3 4 .1 3 % 3 4 .1 3 % 1 3 .6 % 1 3 .6 % 0 .1 3 % 2 .1 4 % 2 .1 4 % 0 .1 3 % -3 -2 -1 1 2 3 x 补 图3 .4 正 态 分 布 各 区 间 的 概 率6 )(XEx22()xD Xx2.4.6 对数正态分布6-P396-P39 l设随机变量Y=lnX是正态分布（X0），则称随机变量X服从对数正态分布。以参数 和 的对数正态分布记作ln(, )。(强度分
40、布一般是该分布)对应密度函数和分布函数为见讲义p20l随机变量的中位数Xme：是指其分布函数在Xme的函数值等于1/2，中位数总小于它的均值，即 Xme0) 失效率为常数是指数分布的重要特征值 1.可靠度和失效分布函数 R(t)=t et dt= et F(t)=1 R(t)= 1 et 2.平均寿命 t =0 et dt= 3.寿命方差和寿命标准偏差 t= 0 (t )et dt = - e t 0= t= 1 et=11111例：某产品的失效时间服从指数分布,其平均寿命为5000h,试求其使用125h的可靠度和可靠度为0.8时的可靠寿命。 R(t)= et 又t = =5000 =1/50
41、00 R ( 1 2 5 ) = e 1 2 5 / 5 0 0 0= 0 . 9 7 5 3 R(t)= et/5000=0.8 t=-50000.8=1115.7h 12.4.9 Weibull分布 lWeibull分布能很好地描述零件的疲劳寿命、强度等的分布，而且像正态分布、指数分布等都可以看作是它的特例6-P41。它是一个含有三个参数的重要分布，其密度函数为（2.55）。其中，x,1,k 。Weibull分布的数字特征为见表。式中 (S)(S)称为伽马函数，对于不同S值对应的函数值可见相关文献。 l1） 形状系数，也叫Weibull斜率。 愈小则分布的离散程度愈大。当 =1时，Weib
42、ull分布退化为分布参数1/( k- )的指数分布。l2）位置参数，只影响曲线的位置，当改变时曲线起点位置改变。（产品的最低寿命 ）l3）k尺度参数，当（k- ）愈大，则分布的离散程度愈大。 (对图形起放大或缩小作用) 另外，当 =0则变为两参数Weibull分布，对应密度函数为(2.56)(常用)。l当 =0, =2 ，则变为Rayleigh分布，对应密度函数为(2.57) 。(2.55)(2.56)(2.57)均值：方差：变异系数：kxkxkxfXexp)(1kxkxkxfXexp)(122exp2)(kxkxxfX) 11()()(kXEx2221112)()(kkDxxxx例:某零件寿
43、命服从k=4,a=1200h,b=3090的威布尔分布，试求:此零件工作2500 h的可靠度 和失效率及可靠度为0.99的可靠寿命。解:R(2500)=e(25001200)/3090)4=0.969 44-1 30904 =0.0000964/h t0.90=1200+3090(0.99)=2178h2.4.10 最大值与最小值分布P21 当2.4.11 其他分布p24p24l1、2 (Chi)分布：设随机变量X1,X,2,Xn 相互独立且均服从N(0,1)，则称随机变量 (1)为分布参数(或称为自由度)为n的2分布，记作2 2 。其密度函数为(81-P31 )。该分布在数理统计上经常用到，
44、为此，其分布函数取值已经制成表，详细可见相关文献。 (1)(81-P31 )均值：方差： ，变异系数：niiX1220,)2(210,0)(2221zeznzzfznnnEn)(2nDn2)(2xxxl2、t分布： 设随机变量X和Y相互独立，且X N(0,1)，Y 2 ，则称随机变量（1）为自由度为n的t分布,记作 tn。其密度函数为 (2)。l3、F分布：设随机变量X和Y相互独立，且X 2 ，Y 2 ，则称随机变量 (3)为自由度为m,n的F分布，记作FF(m,n)。其密度函数为(4)。F分布有如下结论：服从F(m,n)的随机变量的倒数倒数服从F(n,m)。故不不能随意将m和n对调。(1)(
45、2)(3)(4)nYXt2121)2()21()(nnxnnnzf0,)()2()2()2(0,0)(21222zmznznmnmnmzzfnmmnmnYmXF/2.5 矩 P26 6-P24-2.3.2 随机变量的随机变量的k阶矩、中心矩阶矩、中心矩l由于实际应用中，很多都是未知的，故有必要介绍一下用来描述随机变量的一个重要参数”矩矩”的概念。以后没有特别说明，总是假定所有随机变量X都是连续的。l1、类似的，X的n阶原点矩原点矩 n可定义为:(2.351)n=1时又叫总体均值 1 = x,期望值或一阶矩一阶矩,类似质心质心(演示“数学期望的统计意义”);n=2的二阶原点原点矩可以比作质量惯性
46、矩。 (2. 351)( )nnnXE Xx fx dx() ()( )nnnXXXE Xxf xdxv2、n阶中心矩 n定义为： A) n=1,即X的一阶中心矩总是等于零.B) n=2,即X的二阶中心矩叫做X的方差方差 2= x2,并用VarX表示,它的正平方根叫做X的标准差,或均方差,它是用来度量随机变量X围绕平均值的集中程度。详细可见公式(2.41) 。(2.41a)(2.41b)(22XXXEXVar222XXXEC）变异系数变异系数V Vx x变异系数可见公式(2.43)。能够很好的给出关于离差离差的信息。显然变异系数是无单位的量，它反映了单位均值的波动程度。 (2.43)(2.44
47、)(补1)(补2) XXXV333()()( )XXXE Xxf xdx3444k322422CXC；D）偏度偏度 Cx-Cs(2.3.3 偏度系数）偏度系数）n=3，即X的三阶中心矩用来度量连续性随机变量X分布的非对称性或偏度,见公式(补1)，即是随机变量密度曲线关于平均值偏倚程度的指标，有“正态”或“偏态”。注意：如果随机变量的分布是对称的，则它的一切奇数阶奇数阶中心矩为零，因此我们可以选用任一奇数阶中心矩来描述随机变量的分布是否具有对称性。为方便计，常取三阶中心矩3，但是它是有单位的量，其单位是随机变量的立方。由于3的单位与3相同，因此我们用公式（补1） 定义偏度。444() ()( )
48、XXXE Xxf xdxlCx是用来描述随机变量X的分布是否对称的量。称Cx 为随机变量的偏度系数,简称为偏度。显然,当Cx 0时随机变量的分布是对称的,当Cx 0分布是不对称的。当Cx 0时称为正偏(或左偏)的；当Cx 0 对称 Cs=0 右偏Cs0图4.4.1 三种不同偏态的连续性密度分布曲线（文献） E）峰值Ck Ce(2.3.4 峰度系数峰度系数 ）n=4，即X的四阶中心矩可以用来度量随机变量分布的峰值,见公式(补2) 。Ce为随机变量的峰度系数,简称为峰度。对正态分布有Ck=3(Ce=0)。假定X是标准化随机变量,其密度曲线(或概率分布)有一个单峰,当 Ck越小,其密度的单峰越“陡峭
49、”； Ck越大,其密度的单峰越“平缓”。对于一个概率密度曲线具有对称分布的变量，其峰度越接近3，就越接近正态分布。在实际应用中，通常将偏度和峰度结合起来运用，以判断随机变量是否接近正态分布偏度和峰度结合起来运用，以判断随机变量是否接近正态分布。4444/3/3eCCF）中位数中位数是一个实数m，其分布函数满足中位数是刻画随机变量位置特征的一个量,很有用处,有时比数学期望(均值)更能说明问题。例如一个城市职工年收人中位数是10000元,这告诉人们,该城市职工中有一半人年收人超过1万,另一半低于1万元。 G）众数）众数：众数也是刻画随机变量位置特征的量，若X是离散型随机变量，则X的最可能取的值（即
50、使P(Xx)达到最大的x）称为X的众数。若X是连续型随机变量，则使密度f(x)最大的x称为X的众数离散随机变量最大的可能值叫。在单峰分布场合，众数附近常是随机变量最可能取值的区域，故众数及其附近区域是受到人们特别重视的例如生产服装、鞋、帽的工厂很重视最普遍、最众多的尺码，生产这种尺码给他们带来的利润最大这种最普遍、最众多的尺码就是众数H）协方差（以后讲）l如果如果X的的均值等于零,即有1= X=0时,则有则有结论:n=n，即随机变量的原点距等于该变量对应的同一阶中心矩。l若X服从正态分布N(,2)，则可以证明 2k+1=0(k=0,1,2,)，即正态分布的一切奇数阶中心短都等于零。一般地，如果
