1、古代建筑工程结构雅典神庙巴黎凯旋门隋朝河北赵州桥世界第一拱(钢结构跨径550m)水利工程中的拱坝梁拱(b) 板壳结构壳板(a) 杆件结构挡土墙基础(c) 块体结构几何不变体系：几何不变体系：体系的位置和形状是不能改变的(图2-1b)。几何可变体系：几何可变体系：体系的位置或形状是可以改变的(图2-1a)。图图2-1a 图图2-1b一般结构都必须是几何不变体系，而不能采用几何可变体系。S：体系运动时可以独立改变的坐标的数目。 图图2-2a (平面内一个点点有两个自由度) 图图2-2b (平面内一个刚体刚体有三个自由度) 减少体系自由度的装置。 图图2-3a S 由3个减少到2个一个支杆相当于一个
2、约束 图图2-3b S 由6个减少到4个 一个简单铰相当于两个约束 图图2-3c S 由6个减少到3个一个简单刚结相当于三个约束 不能减少体系自由度的约束叫多余约束多余约束。能够减少体系自由度的约束叫非多余约束非多余约束。注意：多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的自由度有影响。 图图2-4a 链杆1或2能减少点 A 的两个自由度，因此链杆1和2都是非多余约束。 图图2-4b 链杆1、2和3共减少点 A 的两个自由度，因此三根链杆中只有两根是非多余约束，有一个是多余约束。 图图2-5a 图图2-5
3、b分析分析:(1)当链杆1和2共线时，圆弧和在 A 点相切(图2-5a)，因此 A 点可沿公切线方向做微小运动，体系是可变体系。(2)当 A 点沿公切线发生微小位移后，链杆1和2不再共线(图2-5b)，因此体系不再是可变体系。(3)点 A 在平面内有两个自由度，增加两根共线链杆后， A 点仍有一个自由度，因此链杆1和2中有一个是多余约束。图图2-5a 图图2-5b总结总结: 本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变的体系称为瞬变体系瞬变体系。可以发生大位移的几何可变体系称为常变体系常变体系。可变体系可进一步分为瞬变体系和常变体系。一般说来，瞬变体系中必然存在多余约束一般说来，瞬变体系中必然存在
4、多余约束。两刚片间以两链杆相连，其两链杆约束相当(等效)于两链杆交点处一简单铰的约束，这个铰称为瞬铰或虚铰。图2-6a 图2-6a中，链杆1和2交于 O 点，刚片I可以发生以 O 为中心的微小转动。 图2-6b 图2-6c图2-6b和图2-6c中，链杆1和2的交点在无穷远处，因此两根链杆所起作用的相当于无穷远处的瞬铰无穷远处的瞬铰所起的约束作用，绕瞬铰的转动转化为沿两根链杆的正交方向上的平动。在图2-6a、b、c各体系的相对运动过程中，瞬铰位置不断变化。 图2-6b 图2-6c在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，可以采用射影几何中关于点和线的下列四点结论： (1) 每个方向有一个点(即该
5、方向各平行线的交点)。(2) 不同方向上有不同的点。(3) 各点都在同一直线上，此直线称为线。(4) 各有限远点都不在线上。1.有的文献把几何可变体系称为几何不稳体系，把几何不变体系称为几何稳定体系。材料力学中把压杆屈曲问题称为弹性稳定性问题。试对几何稳定性和弹性稳定性这几个不同概念加以比较。2.“多余约束”从以下哪个角度来看才是多余的？(a) 从对体系的自由度是否有影响的角度看；(b) 从对体系的计算自由度是否有影响的角度来看；(c) 从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度来看；(d) 从区分静定和超静定两类问题的角度来看。S = （各部件自由度总和 a）（非多余约束数总和 c ）W =
6、（各部件自由度总和 a ） （全部约束数总和 d ） S W = (全部约束数总和 d ) (非多余约束数总和 c ) = 多余约束数 n 图3-1 S = 122 = 0，非多余约束数 c = 2 ，多余约束数 n = 2 ，但是复杂情况难以找全多余约束。 由S W = (全部约束数总和 d ) (非多余约束数总和 c ) = 多余约束数 n ，得n = S W S W ，即 W 是自由度 S 的下限；n W ，即W 是多余约束数 n 的下限。1. 部件可以是点，也可以是刚片部件可以是点，也可以是刚片 在几何构造分析时要注意刚片内部是否有多余约束，在计算体系的约束总数时也应当考虑刚片内部的多
7、余约束。 图图3-2a n = 0 图图3-2b一根链杆 n = 1图图3-2c 一个铰 n = 2 图图3-2d 一个刚结 n = 3 2. 约束可分为单约束和复约束约束可分为单约束和复约束 在几何构造分析时要将复约束简化为几个单约束。一般说来，联结 n 个刚片的复铰(复刚结)相当于(n-1)个单铰(单刚结)。图图3-3a m = 2 , h = 1 S = 3 2 - 2 1 = 4 图图3-3b (图中复铰相当两个单铰)m = 3 , h = 2 S = 3 3 - 2 2 = 5 图图3-4a m = 2 , g = 1 S = 3 2 - 3 1 = 3 图图3-4b (图中复刚结相
8、当两个单刚结)m = 3 , g = 2 S = 3 3 - 2 3 = 3 一般说来，联结 n 个结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。 图图3-5a j = 2 , b = 1 S = 2 2 - 1 = 3 图图3-5b(图中复链杆相当三个单链杆)j = 3 , b = 3 S = 2 3 - 3 = 3 1. 刚片系刚片系部件(约束对象)数：刚片数 m ；约束数：单铰数 h ，简单刚结数 g ，链杆数 b 。W = 3m - 2h - 3g - b 例例1. 求如下图示刚片系的计算自由度 图图3-6a m = 7，h = 4，g = 2，b = 6 W = 37 - 24 - 32
9、- 6 = 1 0 例例1. 求如下图示刚片系的计算自由度图图3-6b m = 5，h = 4，b = 6 W = 35 - 24 - 6 = 1 0 2. 链杆系链杆系约束对象：结点数 j ；约束数：链杆(含支杆)数 b 。W = 2j - b 例例2. 求如下图示链杆系的计算自由度 图图3-7 j = 5，b = 10 W = 25 - 10 = 0 S = 0 n = 03. 混合系混合系约束对象：刚片数 m ，结点数 j 约束条件：单铰数 h ，简单刚结数 g ，单链杆(含支杆)数 b W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b) m = 2，h = 1，g = 0，j =
10、2，b = 8W = (32+22)-(30+21+8) = 0 S = 0n = 0图图3-8 W 的结果分析：W 0 则 S 0 几何可变；W = 0 则 S = n 若 n = 0 几何不变；W = 0 则 S = n 若 n 0 几何可变；W 0 体系有多余约束,但不一定几何不变。结论结论：W 0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。只是几何不变的必要条件，不是充分条件。如果已经算出体系的计算自由度 W，而未进行几何构造分析，则对体系的自由度 S 和多余约束数 n 能得出什么结论？如果再进一步已知体系为几何不变，则对 n 能得出什么结论？ 一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系
11、内部几何不变且无多余约束。 图图4-1 图4-1分析：约束对象：结点 C 与刚片 I约束条件：不共线的两链杆；结论：几何不变且无多余约束 图图4-2 图4-2分析：两链杆共线，C 点可垂直于AB做微小移动；结论：瞬变体系。 1. 两刚片用一铰及不过该铰的一链杆相连组成几何不变体系且无多余约束。 图图4-3 图图4-4 瞬变体系瞬变体系 图图4-5 瞬变体系瞬变体系(之二之二) C 可垂直于 BC 做微小运动 (等效于图4-4)2. 两刚片用不共点的三链杆相连，组成内部几何不变整体且无多余约束 图图4-6 特殊情况：特殊情况： 三链杆共点 三链杆平行等长 三链杆平行不等长 图4-7 瞬变体系 图
12、4-8 常变体系 图4-9 瞬变体系 三刚片用不共线的三铰两两相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。 图图4-10 图图4-11 三铰共线 瞬变体系 上述三条规律虽然表述不同，但本质相同，即三角形规律：若三个铰不共线，则铰结三角形内部几何不变且无多余约束若三个铰不共线，则铰结三角形内部几何不变且无多余约束一一. 先找第一个不变单元，逐步组装先找第一个不变单元，逐步组装 1. 先从地基开始逐步组装先从地基开始逐步组装 例例1 图5-1a，图5-1b 图图5-1a 图图5-1b 2. 先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装 例例2 图5-2a，图5-2b 图
13、图5-2a 图图5-2b 二二. 去除二元体去除二元体 例例3 图5-3a，图5-3b 图图5-3a 图图5-3b 1. 曲曲(折折)链杆等效为直链杆链杆等效为直链杆2. 联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰例例3 图5-4a 分析:1.折链杆 AC 与 DB 用直杆2、3代替；2.刚片 ECD 通过支杆1与地基相连。结论：若杆1、2、3交于一点，则整个体系几何瞬变有多余约束；若杆1、2、3不交于一点，则整个体系几何不变无多余约束。 例例4 图5-4b 分析:1.刚片、地基由铰 A 与瞬铰 B、C 相连。2.A、B、C 不共线。结论：整个体系几何不变无多余约束。1.
14、 体系与地基以不共点的三支杆相连时，可以先分析体系内体系与地基以不共点的三支杆相连时，可以先分析体系内部再与地基一起分析。部再与地基一起分析。 图图5-5a 2. 体系与地基连接多于体系与地基连接多于3支杆则应与地基一起分析。支杆则应与地基一起分析。 图图5-5b 1. 通常要运用瞬铰并使对象拉开距离通常要运用瞬铰并使对象拉开距离 图图5-6 例例5 分析： 1.体系 W = 0 。 2.刚片、。 3.刚片、由1、2杆连于瞬铰 A。 4.刚片、由3、4杆连于瞬铰 B。 5.刚片、由5、6杆连于铰 C。 结论：体系几何不变,无多余约束。“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用
15、实铰。下面两种做法均未能使刚片拉开距离，也就没能允分利用链杆，而是以实铰连接，不能正确分析此题。 图图5-6b 图5-6c 实铰 A、C、及、均未拉开距离实铰 A、C、未拉开距离图图5-7 例例6 分析：1.刚片、由链杆1、2(瞬铰A)相连 ；2.刚片、由链杆3、4(瞬铰B)相连；3.刚片、由链杆5、6(瞬铰C,无穷远)相连。结论: A、B、C 三瞬铰不共线,体系几何不变无多余约束。2. 三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。若此两瞬铰在不三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。若此两瞬铰在不同方向，则体系几何不变，反之几何可变。同方向，则体系几何不变，反之几何可变。 图图5-7a
16、图图5-7b 图图5-8 例例7 分析：1.刚片、由链杆1、2(瞬铰B)相连 。2.刚片、由铰A相连。3.刚片、由链杆3、4(瞬铰C)相连。4.内部几何不变组成大刚片再与地基相连。结论:几何不变无多余约束。图图5-9 例8 分析：1.刚片、由链杆1、2(瞬铰A)相连。2.刚片、由链杆3、4(瞬铰B)相连。3.刚片、由链杆5、6(瞬铰C)相连。4.刚片、组成大刚片，再与地基相连。结论:几何不变无多余约束。3. 三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处，若三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处，若此两瞬铰在不同方向，则几何不变。此两瞬铰在不同方向，则几何不变。 图图5-10 几何不变几何不变
17、 4. 三刚片由三瞬铰两两相连，若三瞬铰均在无穷远处三刚片由三瞬铰两两相连，若三瞬铰均在无穷远处,则体则体系几何可变系几何可变 图图5-11a 几何可变(瞬变) 例例9 无穷远处所有点均在一无穷远直线上曲率 k = 1/RR k 0 直线图图5-11b 几何可变(常变) 图图5-11c 几何可变(瞬变) 在平面杆件的任意截面上，将内力一般分为三个分量：轴力FN 、剪力FQ和弯矩M(图3-1)。轴力-截面上应力沿轴线方向的合力,轴力以拉力为正。剪力-截面上应力沿杆轴法线方向的合力,剪力以截开部分顺时针转向为正。弯矩-截面上应力对截面形心的力矩，在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时弯矩为正作图时，
18、轴力图、剪力图要注明正负号，弯矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号 1. 弯矩、剪力与荷载的微分关系 对于分布荷载 q ，则分布区域内的剪力 FQ 对长度的一阶导数为 q ，弯矩对长度的一阶导数等于剪力。 2. 内力图与荷载的关系 无荷载的区段弯矩图为直线，剪力图为平行于轴线的直线。有均布荷载的区段，弯矩图为曲线，曲线的图像与均布荷载的指向一致，剪力图为一直线。在集中力作用处，剪力在截面的左、右侧面有增量，增值为集中力的大小，弯矩图则出现尖角。在集中力偶作用处 ，弯矩在截面的左、右侧面有增量，增值为集中力偶矩的大小，剪力不发生变化。1.叠加原理 几个力对杆件的作用效果，等于每一个力单独作
19、用效果的总和。 = + =+ 上述叠加法同样可用于绘制结构中任意直杆段的弯矩图。 2.分段叠加原理 例：下图为一简支梁， AB 段的弯矩可以用叠加法进行计算。（1） （2） （3） （4） 1. 多跨静定连续梁的实例 现实生活中，一些梁是由几根短梁用榫接相连而成，在力学中可以将榫接简化成铰约束,这样由几个单跨梁组成的几何不变体，称作为多跨静定连续梁。下图为简化的多跨静定连续梁。 2. 多跨静定连续梁的受力特点和结构特点 结构特点：图中 AB 依靠自身就能保持其几何不变性的部分称为基本部分，如图中 AB ；而必须依靠基本部分才能维持其几何不变性的部分称为附属部分，如图中 CD。 受力特点：作用在
20、基本部分的力不影响附属部分，作用在附属部分的力反过来影响基本部分。因此，多跨静定梁的解题顺序为先附属部分后基本部分。为了更好地分析梁的受力，往往先画出能够表示多跨静定梁各个部分相互依赖关系的层次图（b）。 因此,计算多跨静定梁时,应遵守以下原则:先计算附属部分后计算基本部分。将附属部分的支座反力反向指向，作用在基本部分上，把多跨梁拆成多个单跨梁，依次解决。将单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。弯矩图和剪力图的画法同单跨梁相同。画出下图所示多跨梁的的弯矩图和剪力。(1)结构分析和绘层次图 此梁的组成顺序为先固定梁 AB ,再固定梁 BD ,最后固定梁 DE 。由此得到层次图。 (2)计算
21、各单跨梁的支座反力 计算是根据层次图，将梁拆成单跨梁（c）进行计算，以先附属部分后基本部分，按顺序依次进行，求得各个单跨亮的支反力。 (3)画弯矩图和剪力图 根据各梁的荷载和支座反力，依照弯矩图和剪力图的作图规律，分别画出各个梁的弯矩图及剪力图，再连成一体，即得到相应的弯矩图和剪力图。剪力图 弯矩图 刚架刚架：由直杆组成具有刚结点的结构。当组成刚架的各杆的轴线和外力都在同一平面时，称作平面刚架。平面刚架。下图所示为一平面刚架 当B、C处为铰结点时为几何可变体，要是结构为几何不变体，则需增加杆AC或把B、C变为刚结点。 刚架的特点:1. 杆件少，内部空间大，便于利用。2. 刚结点处各杆不能发生相
22、对转动，因而各杆件的夹角始终保持不变。3. 刚结点处可以承受和传递弯矩，因而在刚架中弯矩是主要内力。4. 刚架中的各杆通常情况下为直杆，制作加工较方便。刚架在工程中得到广泛的应用，静定平面刚架的类型有： 1. 悬臂刚架悬臂刚架：常用于火车站站台（图（1）、雨棚等。2. 简支刚架简支刚架：常用于起重机的刚支架及渡槽横向计算所取的简图等（图（2）；3. 三铰刚架三铰刚架：常用于小型厂房、仓库、食堂等结构（图（3）。（1） （2） （3） 刚架结构常见的有：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架和复杂刚架。悬臂刚架、简支刚架的支反力可利用平衡方程直接求出。 以下以三铰刚架来分析刚架支座反力的求法。三铰刚架的支
23、座反力的求法主要是充分利用平衡条件来进行计算，分析时经常采用先整体后拆开的方法。三铰刚架一般由两部分组成(如图所示),整体共有四个约束反力:FxA、FyA、FxB 、FyB。整体有三个平衡方程，为了求解还应拆开考虑，取半部分作为研究对象，利用铰结点的弯矩为零，就可以全部求解。1. 利用两个整体平衡方程求FYA、FYB 2. 利用铰C处弯矩等于零的平衡方程求FxA取左半部分：3. 利用整体的第三个平衡方程求FxB 1. 刚架的内力计算 刚架中的杆件多为粱式杆，杆截面中同时存在弯矩、剪力和轴力。计算的方法与粱完全相同。只需将刚架的每一根杆看作是粱，逐杆用截面法计算控制截面的内力。 计算时应注意：(
24、1)内力的正负号内力的正负号(2)结点处有不同的杆端截面结点处有不同的杆端截面(3)正确选取隔离体正确选取隔离体(4)结点处平衡结点处平衡2. 刚架中杆端内力的表示 由于刚架的内力的正负号与粱基本相同。为了明确各截面内力，特别是区别相交于同一结点的不同杆端截面的内力，在内力符号右下角采用两个角标，其中第一个角标表示内力所属截面，第二个角标表示该截面所在杆的另一端。如：MAB 表示 AB 杆 A 端截面的弯矩,MBA 则表示 AB 杆端 B 截面的弯矩。3. 刚架内力图的画法 弯矩图：画在杆件的受拉一侧，不注正、负号。剪力图：画在杆件的任一侧，但应注明正、负号。轴力图：画在杆件的任一侧，但应注明
25、正、负号。剪力的正负号规定：剪力使所在杆件产生顺时针转向为正，反之为负。轴力的正负号规定：拉力为正、压力为负例：作出下图所示简支刚架的内力图。 (1)求支反力 以整体为脱离体MA=0 FyB=75kN(向上)MB=0 FyA=45kN(向上) FX=0 FxA=10kN(向左) 弯矩图 (2)作弯矩图 逐杆分段计算控制截面的弯矩，利用作图规律和叠加法作弯矩图。AC杆：MAC=0 MCA=40kNm （右侧受拉）AC杆上无荷载，弯矩图为直线 。CD杆：MDC=0 MCD=20kNm （左侧受拉）CD杆上无荷载，弯矩图为直线 。CE杆：MCE=60kNm（下侧受拉） MEC=0kNm CE杆上为均
26、布荷载，弯矩图为抛物线 。利用叠加法求出中点截面弯矩 MCE中=30+60=90 kNm剪力图 (3)作剪力图利用截面法和反力直接计算各杆端剪力。QCD=10kN QCA=10kN QCE=45kN QEC=-75kN QEB=0kN 剪力图一般为直线,求出杆端剪力后直接画出剪力图。AC杆上无荷载，剪力为常数。CE杆上有均布荷载，剪力图为斜线。轴力图 (4)作轴力图利用平衡条件，求各杆端轴力。NCA=NAC=-45kN NEB=NBE=-75kN 各杆上均无切向荷载，轴力均为常数。(5)校核 结点C各杆端的弯矩、剪力、轴力，满足平衡条件：MC=60-20-40=0FX=10-10=0Fy=45
27、-45=0同理，结点E处也满足平衡方程。1. 静定平面桁架静定平面桁架：由若干直杆在两端铰接组成的静定结构。桁架在工程实际中得到广泛的应用，但是，结构力学中的桁架与实际有差别，主要进行了以下简化：(1)所有结点都是无摩擦的理想铰；(2)各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；(3)荷载和支座反力都作用在结点上。2. 桁架的受力特点桁架的杆件都在两端受轴向力，因此，桁架中的所有杆件均为二力杆桁架的杆件都在两端受轴向力，因此，桁架中的所有杆件均为二力杆 。3. 桁架的分类简单桁架：由一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图1、2）联合桁架：由几个简单桁架，按两刚片法则或三刚片法则所
28、组成的几何不变体。（图3）复杂桁架：不属于前两种的桁架。（图4）图1 图2 图3 图4 结点法：截取桁架的一个结点为脱离体计算桁架内力的方法。 结点上的荷载、反力和杆件内力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，因此，结点法是利用平面汇交力系求解内力的。常见的以下几种情况可使计算简化：1.不共线的两杆结点，当无荷载作用时，则两杆内力为零，F1=F2=0。 2.由三杆构成的结点，有两杆共线且无荷载作用时，则不共线的第三杆内力必为零，共线的的两杆内力相等，符号相同,F1=F2，F3 =0 3.由四根杆件构成的K型结点，其中两杆共线，另两杆在此直线的同侧且夹角相同，在无荷载作用时，则不共线的两杆内力
29、相等，符号相反，F3=-F4 。 4.由四根杆件构成的X型结点，各杆两两共线，在无荷载作用时，则共线的内力相等，且符号相同，F1=F2，F3=F4 。利用结点法求解桁架，主要是利用汇交力系求解，每一个结点只能求解两根杆件的内力，因此，结点法最适用于计算简单桁架。由于静定桁架的自由度为零，即W = 2j - b = 0 于是：b = 2j。因此，利用j个结点的2j个独立的平衡方程，便可求出全部b个杆件或支杆的未知力。 在建立平衡方程式，一般将斜杆的轴力 F 分解为水 平分力 Fx 和竖向分力Fy 。此三个力与杆长l及其水平投影 lx和竖向投影 ly 存在以下关系： 实例分析实例分析分析时,各个杆
30、件的内力一般先假设为受拉,当计算结果为正时,说明杆件受拉;为负时,杆件受压。利用结点法最好计算简单桁架，且能够求出全部杆件内力。例：求出下图所示桁架所有杆件的轴力。 解:由于桁架和荷载都是对称的，相应的杆的内力和支座反力也必然是对称的，故计算半个桁架的内力即可。 （1）计算支座反力V1=V8=10KN(2)计算各杆内力 由于只有结点1、8处仅包含两个未知力，故从结点1开始计算，逐步依次进行。结点1如图所示，列平衡方程： 由比例关系可得： 结点2，列平衡方程： 结点3，列平衡方程： 再利用比例关系，可求： （为什么、可考虑结点4） 校核：利用结点4 讨论：利用零杆判断，可以直接判断出哪几根杆的内
31、力是零？最终只求几根杆即可？结点单杆的概念结点单杆的概念:在同一结点的所有内力为未知的各杆中在同一结点的所有内力为未知的各杆中,除结点单杆除结点单杆外外,其余杆件均共线。其余杆件均共线。 单杆结点主要有以下两种情况：1、结点只包含两个未知力杆，且此二杆不共线，则每杆都是单杆。2、结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，则第三杆是单杆。性质及应用：1、结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求出。2、当结点无荷载时，则单杆必为零杆。（内力为零）3、如果依靠拆除结点单杆的方法可将整个桁架拆完，则此桁架可应用结点法按照每次只解一个未知力的方式求出各杆内力。截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少
32、包括两个结点）为截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个结点）为隔离体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。隔离体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。 截面法最适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。在计算中，轴力也一般假设为拉力。为避免联立方程求解，平衡方程要注意选择，每一个平衡方程一般包含一个未知力。另外，有时轴力的计算可直接计算，可以不进行分解。例题分析：求出图示杆件1、2、3的内力。1. 求支反力： 由于对称性，FRA = FRB = 30kN 2. 将桁架沿1-1截开，选取右半部分为研究对象，截开杆件处用轴力代替，列平衡方程： 3. 校核： 计算结果无
33、误!问题：如果用左半部分如何计算？问题：如果用左半部分如何计算？ 截面单杆的概念:如果某一截面所截的内力为未知的各杆中,除某一根杆件外,其余各杆都汇交于一点(或平行),此杆称为该截面的单杆. 截面单杆在解决复杂桁架时,往往是解题的关键,要学会分析截面单杆。 截面单杆主要在以下情况中:1、截面只截断三根杆，此三杆不完全汇交也不完全平行，则每一根杆均是截面单杆。2、截面所截杆数大于3，除一根杆外，其余杆件均汇交于一点（或平行），则这根杆为截面单杆。性质：截面单杆的内力可由本截面相应的隔离体的平衡方程直接求出。性质：截面单杆的内力可由本截面相应的隔离体的平衡方程直接求出。（平衡方程的选取：坐标轴与未
34、知力平行、矩心选在未知力的交点处。）以下几种情况中就是几种截面单杆的例子 在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力， 这时需要将这两种方法进行联合，从而进行解题，解题的关键是从几何构造分析，利用结点单杆、截面单杆，使问题可解。 如图所示的桁架中，当求出支反力后，只有A、B两个结点可解，其余各个结点均包含有三个未知杆件，不能利用结点法进行求解，但是，m-m截开后，由三根截面单杆，可利用截面法直接求解，当求出这三根杆件后，其它的结点也就可解，进而求出全部内力。 1.组合结构:由链杆(只受轴力)和粱式杆(受轴力外,还受弯矩作用)组成的结构。 以上两个结构均是组合结构,它们
35、在结点荷载作用下,由二力杆、粱式杆组成。 问题：哪些是粱式杆？哪些是二力杆？ 应用截面法时，要区别杆件是粱式杆还是链杆，因为二者的内力不同，粱式杆的内力有：轴力、剪力、弯矩。学习此部分时应注意几何组成分析和结构特点，充分利用平衡方程的可解条件。2.下图所示一组合结构 ，根据分析画出内力图。 1.支反力可直接计算（如图） 分析： 分析： 2.由于AE、CE、BG、CG 不是链杆，A、B 点是不可直接计算。为了求解，根据对称性，取半结构，以 C 为矩心可直接求出 DF 杆内力。依次求各杆内力，计算方法与以前所讲相同。弯矩图 剪力图 轴力图 一. 隔离体的形式、约束力及其平衡方程 静定结构的内力分析
36、的关键是选取适当的隔离体，利用静定平衡方程进行求解。 1. 隔离体的形式 隔离体的形式有：结点（铰结点、刚结点、组合结点）、杆件、刚片、杆件微单元。桁架的隔离体：一个结点、多个结点。刚架的隔离体：杆件、刚结点、铰结点。2. 约束力的类型 截断链杆 - 一个轴力截断简单铰结 - 两个约束反力截断刚结点 - 三个约束反力3. 平面可解条件(1) 独立方程的个数等于隔离体的自由度的个数。(2) n 个未知力，但有 n -1个未知力汇交于一点或者平行，可求出第 n 个力。此两条是优先选择隔离体的关键，应当正确理解和掌握。二. 计算的简化和隔离体的截取顺序 1. 直接能够利用方程求解。2. 选择合理的矩
37、心和坐标轴，避免联合求解，矩心选在未知力的交点处，作标轴与未知力平行或垂直。3. 简化杆件的受力，合理的判断出二力杆、零杆。4. 利用对称结构的计算。5. 通过几何组成分析，正确理解结构的组成规律，选择合理的解题顺序，解题顺序与组成顺序相反。 从计算自由度 W 得力学含义和几何含义看对偶关系: 计算自由度 W = 各部件的自由度总数 - 全部约束数 由于约束与约束力之间存在着一定的相应关系：计算自由度计算自由度 W = 各部件的平衡方程数各部件的平衡方程数 - 未知力总数（未知力总数（重点理解重点理解）因此，可得到一下结论：(1) W 0，结构为几何可变体系.(2) W 0，结构为超静定，平衡
38、方程组有解，则解为无穷多个。(3) W = 0，平衡方程数等于未知力个数平衡方程的解有方程组的系数行列式 D 决定： D 0 ，方程有唯一的解，结构为几何不变体，且无多余的约束。 D = 0 ，方程在一般荷载下无解，在特殊情况下有无穷多个解，结构为瞬变体系。虚功原理 虚功原理的表达形式有多种多样，对于理想约束的刚体体系可描述如下：设刚体上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小的刚体体系位移，则主动力在位移上所做的虚功总和等于零。虚功原理的关键：平衡力系与位移的相互独立性，二者都可以进行假设，根据不同的问题进行不同的假设。本节是利用假设的位移进行求解未知力。特点:1. 位移是假设的
39、；位移是假设的；2. 解题的关键是利用几何关系求出位移之间的几何关系；解题的关键是利用几何关系求出位移之间的几何关系；3. 采用几何几何的方法求解静力平衡问题。采用几何几何的方法求解静力平衡问题。下面通过实例来理解刚体体系的虚功原理： 右图是一几何可变体系，已知力 P ，为了平衡是求力 F 的大小。虚设一位移状态，位移的假设应与荷载相一致。根据虚功原理,可以通过以下计算求出力 F :一. 温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力。由于静定结构随着温度的改变、支座移动和制造误差等因素的改变，只引起结构形状的改变，因此不引起内力。 二. 静定结构的局部平衡特性 在荷载作用下，如果
40、仅靠静定结构中的某以局部就可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力必为零。事实上，多跨静定粱的基本部分上的荷载不影响附属部分；桁架中的零杆的判断，都是静定结构的局部平衡特性的具体体现。当然，局部平衡可以是几何不变体，也可以是几何可变体。三. 静定结构的荷载等效性 当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变。 四. 静定结构的构造变换特性 当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分的内力不变。 考虑结构的受力特点，应主要从结构的轴力和弯矩进行分析，在无弯矩的情况下，轴力在截面上时均匀分布，能够充分利用材料的强度；而弯矩产生的应力在截面上为三角形分布，没有充分
41、利用材料的强度，因此，在结构的受力特点分析中主要考虑结构中的弯矩的分布及最大值。 经过计算，在相同跨度和相同荷载下，简支粱的弯矩最大，伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构的弯矩次之，而桁架结构的弯矩为零，基于此在工程中简支粱多用于小跨度结构；伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构可用于较大跨度的结构；而大跨度结构通常采用桁架结构或者拱结构。 在实际工程中，除考虑受力特点之外，还应考虑结构的施工、几何特点、构造本身，如：简支粱结构简单，施工方便，桁架结构便于进行安装，但杆件较多，结点构造比较复杂。 一. 移动荷载 结构所承受的荷载作用点在结构上是移动的。桥梁上承受火车、汽车和走动的人群等荷载；
42、厂房中的吊车粱承受的吊车荷载等都是移动荷载。二. 影响线的概念 工程中的移动荷载是多种多样的，不可能针对每一个结构在各种移动荷载作用下产生的效果进行一一的分析，研究移动荷载对结构各种力学物理量的变化规律。一般只需研究具有典型意义的一个竖向单位集中荷载 FP = 1 沿结构移动时，某一量值（内力、支反力等）的变化规律，再利用叠加原理，求出移动荷载对结构某一量值的影响。 影响线影响线：单位移动荷载作用下，结构上某一量值：单位移动荷载作用下，结构上某一量值 Z 的变化规律的图形称的变化规律的图形称为该量值为该量值 Z 的影响线。的影响线。现先研究如何确定右图所示简支粱支座反力的影响线。以粱的支座 A
43、 为原点，以荷载的作用点到 A 的距离为变量。由图可知，当荷载由一端 A 移到另一端B时，变量由 0 变到 l 。由平衡方程求支反力的大小： FRA 与 FP 正比，比例系数 (l-x)/l 称为 FRA 的影响系数，用 表示，即： 利用函数关系画出支座 A 的支反力的影响线。由于移动荷载有可能在截面的左侧，也可能在截面的右侧，因此，应对以上两种情况分别进行考虑。 1. 移动荷载在截面的左侧 2. 移动荷载在截面的右侧 特点：影响线由两段平行线组成，在截面 C 处产生突变，平行线的端点应注意虚线部分。分析方法与剪力影响线的方法相同，主要考虑移动荷载的位置。 1. 移动荷载在截面的左侧 2. 移
44、动荷载在截面的右侧 特点：影响线由两段组成，形成一个三角形，在截面处形成一个极大值，说明移动荷载移动到截面 C 时， C 截面的弯矩最大。 下图所示为一桥梁结构承载示意图,荷载直接作用在纵粱上,不论纵粱受何种荷载,而主粱只在结点出承受集中力,因此,主粱承受的是结点荷载。 1. 支反力和结点处弯矩的影响线与简支粱相同（为什么？）支反力和结点处弯矩的影响线与简支粱相同（为什么？）2. 主要考虑主要考虑D截面弯矩的影响线的画法。截面弯矩的影响线的画法。(1) 假设移动单位荷载直接作用在主粱 AB 上，则 MD 的影响线为一三角形,顶点坐标为: (2) 按比例计算出 C、E 两点的竖距： (3) 将
45、C、D 两点的竖距连一直线，即得到结点荷载作用下的 MD 影响线 结论：结论：1. 在结点荷载作用下，结构任在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两结点之间为直何影响线在相邻两结点之间为直线。线。2. 先作直接荷载作用下的影响先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相邻两结点的竖线，用直线连接相邻两结点的竖距，就得到结点荷载作用下的影距，就得到结点荷载作用下的影响线。响线。利用本结论可做出 CE 之间任何截面的剪力影响线，请自己练习。 本节主要是利用截面法和结点法，在充分利用平衡条件的基础上，结合实际例子来分析桁架的影响线。下图为一桁架结构，下面主要分析上弦杆、下弦杆的影响线。 1. 上弦杆bc
46、的轴力影响线 影响线画法的关键是利用荷载的移动选取不同的截面，欲求bc杆的轴力，作截面m-m，以C点为矩心，列平衡方程即求得。 如单位荷载在C的右侧，取截面m-m的左侧为隔离体，得 如单位荷载在C的左侧，取截面m-m的右侧为隔离体，得 利用支反力的影响线为直线的性质，得到bc杆轴力的影响线，其特点是一三角形 2. 下弦杆CD轴力的影响线 利用截面m-m右侧隔离体水平方向的平衡条件即可得到下弦杆CD轴力的影响线。 结论分析：结论分析：上弦杆、下弦杆轴力的影响线均上弦杆、下弦杆轴力的影响线均为三角形状，顶点的竖标可表示为三角形状，顶点的竖标可表示为：为：1. 虚功原理与机动法 欲求图5-6（a）所
47、示简支粱支座 B 反力 Z 的影响线。将与 Z 相应的约束-支杆 B 去掉，用未知量 Z 代替，使结构成几何可变体，再使结构产生虚位移，粱绕 A 点转动， B 点的位移为Z 。列虚功方程：于是： 1. 虚功原理与机动法 当 Fp = 1 移动时，位移P 随之变化，应为荷载位置 x 的函数。Z为常量。 则式 可表示为： 表示 Z 的影响线函数； 表示荷载作用点的竖向位移。 P(x) 由此，可得 Z 的影响线与荷载作用点的竖向位移成正比，即位移图 p 就是影响线的轮廓。 当 Z = 1 时，就得到在形状和数值上完全确定的影响线。 2. 正负号规定正负号规定当 Z 为正时，Z 与p 的正负号正好相反
48、，以p向下为正。因此，位移图在横坐标轴的上方，影响系数为正。3. 机动法作影响线的步骤机动法作影响线的步骤1. 撤去约束，用未知量 Z 代替。2. 使体系沿 Z 的正方向发生位移，得出荷载作用点的竖向位移图，由此可得出影响线的轮廓。3. 令Z = 1 ，进一步可得影响线的数值。4. 横坐标以上的图形影响系数为正，反之为负例1. 利用机动法做右图所示简支粱弯矩和剪力的影响线。（1）C 截面弯矩 Mc 的影响线 撤去与弯矩相对应的约束-将C 截面改为铰结,代以一对等值反向力偶 Mc 。给体系一虚位移，注意这里的位移是铰 C 两侧截面的相对转角。利用几何关系可知：B B1 =bZ C 截面的竖向位移
49、为： 这样得到的位移图就是 C 截面弯矩的影响线的轮廓。为了求得影响系数的数值，将位移图中的数值除以Z，即得到图示的影响线。（2）C 截面剪力影响线 撤去截面 C 处相应与剪力的约束，代以剪力 FQC ，得如图所示的机构。 发生虚位移，在 C 截面处产生相对竖向位移Z，注意不发生相对转角和水平位移。 令Z= 1，由几何关系求得影响线的数值。例2. 用机动法画出图5-8(a)所示多跨粱截面C弯矩及支反力B的影响线。 (1). 截面 C 处弯矩影响线将截面 C 加铰，发生虚位移，于是可得影响线。(2). 支座 B 反力的影响线将支座 B 去掉，发生虚位移，于是可得影响线。结论结论：从影响线中可以看
50、出，：从影响线中可以看出，在多跨静定粱中，基本部分在多跨静定粱中，基本部分的内力影响线是布满全粱的，的内力影响线是布满全粱的，而附属部分内力的影响线则而附属部分内力的影响线则只在附属部分不为零。只在附属部分不为零。 影响线是单位移动荷载对某一量值的影响，利用叠加原理，可求其他荷载作用下产生的影响。 (1)对于一组集中荷载 如图所示一简支粱作用一组荷载，FP1，FP2，FP3,简支粱某一截面 C 弯矩的影响线如图所示，影响线在荷载作用点的竖距分别是y1、y2、y3 。利用叠加原理，可求出这组荷载作用下 C 截面的弯矩为： (1)对于一组集中荷载 一般来讲，设有一组集中荷载 FP1，FP2 ，FP
