1、第三章 变化率与导数1 变化的快慢与变化率银杏树高银杏树高:15:15米米树龄树龄:1 000:1 000年年雨后春笋高雨后春笋高:15:15厘米厘米时间时间: :两天两天世界上变化无处不在，如何刻画事物变化的快慢呢？世界上变化无处不在，如何刻画事物变化的快慢呢？1.1.理解函数平均变化率及理解函数平均变化率及瞬时变化率瞬时变化率的概念的概念. .2.2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率及某一点会求给定函数在某个区间上的平均变化率及某一点的的瞬时变化率瞬时变化率. .（重点）（重点）3.3.理解平均变化率理解平均变化率及瞬时变化率及瞬时变化率的意义，能够解释的意义，能够解释生活中的现象生活
2、中的现象. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 平均变化率定义平均变化率定义 问题（问题（1 1） 物体从某一时刻开始运动，设物体从某一时刻开始运动，设s s表示此物体表示此物体经过时间经过时间t t走过的路程，显然走过的路程，显然s s是时间是时间t t的函数的函数, ,表示为表示为s=s(t).s=s(t).在运动的过程中测得了一些数据，如表：在运动的过程中测得了一些数据，如表：t(s)t(s)0 02 25 5101013131515s(m)s(m)0 06 69 9202032324444 物体在物体在0 02s2s和和101013s13s这两段时间内，哪一段这两段时间内，哪一段时间
3、运动得更快？如何刻画物体运动的快慢？时间运动得更快？如何刻画物体运动的快慢？603(m/s)20；32204(m/s).13 10分析：分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢我们通常用平均速度来比较运动的快慢. .在在0 02s2s这段时间内，物体的平均速度为这段时间内，物体的平均速度为在在101013s13s这段时间内，物体的平均速度为这段时间内，物体的平均速度为显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快. .问题（问题（2 2）某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示：比较时间比较时间x x从从0 min0
4、min到到20 min20 min和从和从20 min20 min到到30 min30 min体温体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？变化的快慢？y/(oC)x/min01020 30 40 50 60 7036373839分析：分析：根据图像可以看出：根据图像可以看出： 当时间当时间x x从从0 min0 min到到20 min20 min时，体温时，体温y y从从39 39 C C变为变为38.5 38.5 C C，下降了，下降了0.5 0.5 C C； 当时间当时间x x从从20 min20 min到到30 min3
5、0 min时，体温时，体温y y从从38.5 38.5 C C变为变为38 38 C C，下降了，下降了0.5 0.5 C.C. 两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快. .我们也可以比较这两段时间中，单位时间内体温的平我们也可以比较这两段时间中，单位时间内体温的平均变化量，于是当时间均变化量，于是当时间x x从从0 min0 min变到变到20 min20 min时，体温时，体温y y相对于时间相对于时间x x的平均变化率为的平均变化率为当时间当时间x x
6、从从20 min20 min变到变到30 min30 min时，体温时，体温y y相对于时间相对于时间x x的平均变化率为的平均变化率为这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降得越快，这里，体温从越大，下降得越快，这里，体温从20 min20 min到到30 min30 min这这段时间下降得比段时间下降得比0 min0 min到到20 min20 min这段时间要快这段时间要快. .38.5390.50.025();min20020 3838.50.50.05().min302010 分析分析上面的第一个问题中，我们用一段时间内物
7、体的平均上面的第一个问题中，我们用一段时间内物体的平均速度刻画了物体运动的快慢，当时间从速度刻画了物体运动的快慢，当时间从t t0 0变为变为t t1 1时，时，物体所走的路程从物体所走的路程从s(ts(t0 0) )变为变为s(ts(t1 1) )，这段时间内物体，这段时间内物体的平均速度是的平均速度是s-ss-s= =- -1010tt.t t（ ）（ ）平平均均速速度度第二个问题中，我们用一段时间内体温的平均变化率第二个问题中，我们用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢，当时间从刻画了体温变化的快慢，当时间从x x0 0变为变为x x1 1时，体温时，体温从从y(xy(x0 0
8、) )变为变为y(xy(x1 1) )，体温的平均变化率体温的平均变化率你能类比归纳出你能类比归纳出“函数函数f(x)f(x)在区间在区间xx1 1,x,x2 2 上的上的平均变化率平均变化率”的一般性定义吗？的一般性定义吗？1010 xx.x x（ ） （ ）y-yy-y= =- -抽象概括：抽象概括： 1.1.平均变化率的定义平均变化率的定义: : 对一般的函数对一般的函数yf(x)来说来说，当自变量，当自变量x从从x1变为变为x2时，时，函数值从函数值从f(x1)变为变为f(x2)，它的平均变化率为，它的平均变化率为通常我们把自变量的变化通常我们把自变量的变化x2x1称作自变量的改变量，
9、称作自变量的改变量，记作记作 函数值的变化函数值的变化f(x2)f(x1)称作函数值的改变称作函数值的改变量，记作量，记作 2121()().fxfxxx,x.y 函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即自变量的改变量之比，即 2121()().fxfxyxxx我们用它来刻画函数值在区间我们用它来刻画函数值在区间 上变化的快慢上变化的快慢.12,xx 函数的平均变化率有如下的表示：函数的平均变化率有如下的表示： xyB(x2,f(x2)A(x1,f(x1)Of(x2)-f(x1)=yx2-x1=x2121()()f xf x
10、yxxx2.2.平均变化率的平均变化率的几何意义：几何意义： 几何意义是曲线几何意义是曲线 上经过，两点的直上经过，两点的直线的斜率线的斜率. .)(xfy 斜率的概斜率的概念念思考思考1.1.表达式中表达式中f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )与与x x2 2-x-x1 1的顺序可以交换的顺序可以交换吗？它们本身前后两个式子可以交换吗？吗？它们本身前后两个式子可以交换吗？提示提示: : f(x f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )与与x x2 2-x-x1 1的顺序不可交换，但它们的顺序不可交换，但它们本身的式子可以同时交换，如也可以写为本身的式子可以同时交换，如也可以
11、写为 思考思考2.2.函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0附近的平均变化率如何计附近的平均变化率如何计算？算？提示提示: :设设x x在在x x0 0附近的变化量为附近的变化量为xx，则平均变化率，则平均变化率 1212f(x )f(x )y.xxx00f(xx)f(x )y.xx提示：提示：对于一般的函数对于一般的函数y=f(x),y=f(x),在自变量在自变量x x从从x x0 0变到变到x x1 1的过程中，若设的过程中，若设x =xx =x1 1-x-x0 0y =f(xy =f(x1 1)-f(x)-f(x0 0),),则函数的平均变化率是则函数的平均变化率是xxf
12、xxfxxxfxfxy)()()()(000101思考：思考：如何精确地刻画物体在某一瞬间的变化率呢？如何精确地刻画物体在某一瞬间的变化率呢？探究点探究点2 2 瞬时速度、瞬时变化率瞬时速度、瞬时变化率则当则当x x 趋于趋于0 0时，平均变化率就趋于函数在时，平均变化率就趋于函数在x x0 0点点的瞬时变化率的瞬时变化率. .（1 1）瞬时变化率的表示）瞬时变化率的表示对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),在自变量在自变量x x从从x x0 0变到变到x x1 1的过程中的过程中自变量的改变量自变量的改变量:x=_;:x=_;函数值的改变量函数值的改变量:y=_;:y=_;平均变化率平
13、均变化率: =_;: =_;在在x x0 0点的瞬时变化率：当点的瞬时变化率：当xx趋于趋于_时，平均变化时，平均变化率趋于某一常数，此常数即为瞬时变化率率趋于某一常数，此常数即为瞬时变化率. .(2)(2)瞬时变化率的意义瞬时变化率的意义瞬时变化率刻画的是函数在瞬时变化率刻画的是函数在_处变化的快慢处变化的快慢. .x x1 1-x-x0 0f(xf(x1 1)-f(x)-f(x0 0) )1010f xf xyxxx00f xxf xx 0 0一点一点21sgt2，2(g9.8m/s ) 例例1 1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s s（单位：（
14、单位：m m）与时间）与时间t t（单位：（单位：s s）的函数关系为）的函数关系为其中，其中，g g为重力加速度为重力加速度试估计小球在试估计小球在t=5st=5s这个时刻的瞬时速度这个时刻的瞬时速度. .，1010s(t )s(t )sttt，9 .5315 .1224 .17656) 5 () 6 ( ss5 .491 . 05 .12245.12751 . 5)5() 1 . 5( ss分析：分析：当时间当时间t t从从t t0 0变到变到t t1 1时，根据平均速度公式时，根据平均速度公式可以求出从可以求出从5 s5 s到到6 s6 s这段时间内小球的平均速度这段时间内小球的平均速度
15、我们有时用它来近似表示我们有时用它来近似表示t=5 st=5 s时的瞬时速度时的瞬时速度. .为了提为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5 55.1 s5.1 s这段这段时间内的平均速度时间内的平均速度（m/s）.（m/s）用它来近似表示用它来近似表示t=5st=5s时的瞬时速度时的瞬时速度. .解：解：我们将时间间隔每次缩短为前面的我们将时间间隔每次缩短为前面的，计算出相，计算出相101应的平均速度得到下表：应的平均速度得到下表：平均速度平均速度tst t0 0/s/st t1 1/s/s时间的改变量时间的改变量（tt）/s/s路程的改变量路程的改变量（
16、s s ）/m/m / /（m/sm/s）5 55.15.10.10.14.954.9549.549.55 55.015.010.010.010.490.4949.04949.0495 55.0015.0010.0010.0010.0490.04949.004 949.004 95 55.000 15.000 10.000 10.000 10.004 90.004 949.000 4949.000 495可以看出，当时间可以看出，当时间t t1 1趋于趋于t t0 0=5 s=5 s时，平均速度趋于时，平均速度趋于49 m/s49 m/s，因此，可以认为小球在，因此，可以认为小球在t t0 0
17、=5 s=5 s时的瞬时速度时的瞬时速度为为49 m/s.49 m/s.从上面的分析和计算可以看出，瞬时速从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为度为49 m/s49 m/s的物理意义是，如果小球保持这一时刻的物理意义是，如果小球保持这一时刻的速度进行运动的话，每秒将要运动的速度进行运动的话，每秒将要运动49 m49 m【变式练习变式练习】 一辆汽车按规律一辆汽车按规律s s3t3t2 21 1做直线运动，求这辆汽做直线运动，求这辆汽车在车在t t3 s3 s时的瞬时速度时的瞬时速度( (单位：单位：m/s)m/s)解析：解析：因为因为ss3(33(3t)t)2 21 1(3(33 32 21)
18、1)3t3t2 218t18t，所以所以因为当因为当tt趋于趋于0 0时，时， 趋于趋于1818，所以这辆汽车在所以这辆汽车在t t3 s3 s时的瞬时速度的大小为时的瞬时速度的大小为18 m/s.18 m/s.2s3 t18 t3 t18.tt st例例2 2：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为长为10m.x10m.x（单位：（单位：m m）表示）表示OXOX这段棒的长，这段棒的长，y y（单位：（单位：kgkg）表示）表示OXOX这段棒的质量，它们满足以下函数关这段棒的质量，它们满足以下函数关系：系： 估计该合金棒在估计该合金棒在x=2 mx
19、=2 m处的线密度处的线密度. .分析：分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度是这段合金棒的平均线密度.yf(x)2 x.解：解：由由 xxfy2)(，我们可以计算出相应的平，我们可以计算出相应的平均线密度得到下表：均线密度得到下表：x x0 0/m/mx x1 1/m/m长度长度x x的改变量的改变量（xx）/m/m质量质量y y的改变的改变量量（yy）/kg/kg / /（kg/mkg/m）2 22.12.10.10.10.0700.0700.700.702 22.012.010.010.010.007 10.007
20、10.710.712 22.0012.0010.0010.0010.000 710.000 710.710.712 22.000 2.000 1 10.000 10.000 10.000 0710.000 0710.710.712 2平均线密度平均线密度xy可以看出，当可以看出，当x x1 1趋于趋于x x0 0=2 m=2 m时，平均线密度趋于时，平均线密度趋于0.71 kg/m0.71 kg/m，因此，可以认为合金棒在，因此，可以认为合金棒在x x0 0=2 m=2 m处的线处的线密度为密度为0.71 kg/m.0.71 kg/m.从上面的分析和计算可以看出，从上面的分析和计算可以看出，线
21、密度为线密度为0.71 kg/m0.71 kg/m的物理意义是，如果有的物理意义是，如果有1 m1 m长的长的这种线密度的合金棒，其质量将为这种线密度的合金棒，其质量将为0.71 kg.0.71 kg.【变式练习变式练习】已知函数已知函数f(x)3x22,求这个函数在求这个函数在x2处的瞬时处的瞬时变化率变化率解析：解析：22(2)(2)3(2)214123() ,yfxfxxx 因为2123()123,yxxxxx所 以因为当因为当 趋于趋于0 0时，时， 趋于趋于1212，xy所以这个函数在所以这个函数在x2 2处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是12.12.1 1已知函数已知函数y yf f
22、( (x x) )x x2 21 1，则在，则在x x2 2，x x0.10.1时，时，y y的值为的值为( () )A A0.400.40 B B0.410.41C C0.43 0.43 D D0.440.44B3s2 t3t 3.3.如果质点如果质点A A按规律按规律运动，则在运动，则在秒的瞬时速度为（）秒的瞬时速度为（）A A6 6 B B1818C C54 54 D D8181C C2 22.2.质质点点运运动动规规律律为为s = t +3,s = t +3,则则在在时时间间3,3+3,3+tt内内相相应应的的平平均均速速度度为为( )( )9 9A. 6+A. 6+t B.6+t B
23、.6+t+t+t tC.3+C.3+t D.9+t D.9+t tA A 321st2tt 22s3tt 1 ，t2 4.4.甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是和和，则在则在秒时两个物体运动的瞬时速度关系是秒时两个物体运动的瞬时速度关系是 （ ）A.A.甲大甲大 B.B.乙大乙大 C.C.相等相等 D.D.无法比较无法比较B B5.5.自由落体运动的运动方程为自由落体运动的运动方程为s= gts= gt2 2，计算，计算t t从从3s3s到到3.1 s3.1 s这段时间内的平均速度（位移的单位为这段时间内的平均速度（位移的单位为m m）. .解析：解析：设
24、在设在33，3.13.1内的平均速度为内的平均速度为v v1 1，则，则t t1 1=3.1-3=0.1(s).=3.1-3=0.1(s).s s1 1=s(3.1)-s(3)=0.5g=s(3.1)-s(3)=0.5g3.13.12 2-0.5g-0.5g3 32 2=0.305g(m).=0.305g(m).111s0.305gv3.05gm/s .t0.1（）所以所以122121()()yf xf xxxx1.1.平均变化率的定义平均变化率的定义: :2.2.平均变化率的平均变化率的几何意义是曲线几何意义是曲线 上经过，上经过，两点的直线的斜率两点的直线的斜率. .)(xfy 3.3.瞬时变化率的定义及求瞬时变化率的一般步骤：瞬时变化率的定义及求瞬时变化率的一般步骤：先求函数值的改变量先求函数值的改变量 求平均变化率求平均变化率求瞬时变化率求瞬时变化率 如果在胜利前却步，往往只会拥抱失败；如果在困难时坚持，常常会获得新的成功。
