1、（新高考）2021-2022学年下学期高三4月月考卷数 学第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，若，则实数的取值组成的集合是（ ）ABCD【答案】D【解析】集合，当，即时，显然满足条件；当时，因为，所以或，即或，解得或，综上，实数的取值组成的集合是，故选D2i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）ABCz的虚部为Dz在复平面内对应的点在第三象限【答案】D【解析】由已知，所以，A错；，B错；的虚部是，C错；对应点坐标为，在第三象限，D正确，故选D3下列有关命题的说法错误的是（ ）A的增区间为B“”是
2、“”的充分不必要条件C若集合中只有两个子集，则D对于命题p：存在，使得，则任意，均有【答案】C【解析】A令，由，解得，由二次函数的性质知：t在上递增，在上递减，又在上递增，由复合函数的单调性知：在上递增，故正确；B当时，成立，故充分，当成立时，解得或，故不必要，故正确；C若集合中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程有一根，当时，当时，解得，所以或，故错误；D因为命题p：存在，使得是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即任意，均有，故正确，故选C4在等差数列中，为其前n项和若，则下列判断错误的是（ ）A数列递增BC数列前2020项和最小D【答案】C【解析】因为，即，所以，因为，所以，所以公
3、差，所以数列是递增数列，其前1010项和最小，所以C错误，故选C5若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意可得，令，则在上是单调增函数，又，所以，即，故选A6在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的个数为（ ）CN与QM共面；三棱锥的体积跟的取值无关；当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为；时，A1B2C3D4【答案】C【解析】在中，因为M，N为AC，AQ的中点，所以，所以CN与QM共面，所以正确；由，因为N到平面ABCD的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以正确；当时，取，连接，则，又，所以，所以共面，即
4、过A，Q，M三点的正方体的截面为ACHQ，由，则ACHQ是等腰梯形，且，所以平面截正方体所得截面的周长为，所以正确；当时，可得，取的中点分别为，连接，则，在直角三角形中，则，所以不成立，所以不正确，所以正确的命题个数是3个，故选C7设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（ ）A1BCD【答案】C【解析】因为，设，显然当时，；当时，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时，设，因为，所以，即，解得，由于，所以，即，由于，则，当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为，故选C8已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个
5、数为（ ）A3B2C1D0【答案】A【解析】因定义域为的单调递增函数满足：，有，则存在唯一正实数使得，且，即，于是得，而函数在上单调递增，且当时，因此，方程，于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数，在同一坐标系内作出函数与的图象如图，观察图象知，函数与的图象有3个公共点，所以方程的解的个数为3，故选A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照50，60）60，70）70，80）80，90）90，100分
6、成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）A图中的x值为B这组数据的极差为50C得分在80分及以上的人数为400D这组数据的平均数的估计值为77【答案】ACD【解析】由，可解得，故选项A正确；频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确；得分在80分及以上的人数的频率为，故人数为，故选项C正确；这组数据的平均数的估计值为：，故选项D正确，故选ACD10已知函数，则（ ）A的最小正周期为B是曲线的一个对称中心C是曲线的一条对称轴D在区间上单调递增【答案】ACD【解析】，A对；是曲线的一个对称中心，B错；，时，是的一条对称轴，C对；，在上单调递增
7、，D对，故选ACD11圆和圆的交点为，则有（ ）A公共弦所在直线方程为B为圆上一动点，则到直线距离的最大值为C公共弦的长为D圆上存在三个点到直线的距离为【答案】ABD【解析】圆的圆心，半径，选项A：由和两式作差得，则公共弦所在直线方程为，判断正确；选项B：圆心到直线的距离为，则圆上动点到直线距离的最大值为，判断正确；选项C：公共弦的长判断错误；选项D：圆心到直线的距离为，又圆的半径，则圆上存在三个点到直线的距离为判断正确，故选ABD12如图，圆是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，（，），则可以取值为（ ）ABCD1【答案】CD【解析】根据三角形面积公式
8、得到，可得到内切圆的半径为1；以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，可得到点的坐标为，故选项CD满足，故选CD第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13在中，角A，B，C的对边分别为a，且，则_【答案】或【解析】由，所以，因为，所以，所以，则，又，所以由余弦定理，即，解得或（舍去），由正弦定理得，即，所以，故答案为14设，则_【答案】1【解析】由题意令，可得，令，可得，所以，故答案为115某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？【答案】1
9、20【解析】由题设可得4种颜色必须全用上，1，5，6这三块共有种栽种方法，如果2与5或6同色，则2，3，4共有；如果2与5或6异色，则2，3，4共有；故不同的栽种方法总数为，故答案为12016有五个球编号分别为号，有五个盒子编号分别也为号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为_（用数字作答），记为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量的数学期望_【答案】，1【解析】恰有四个盒子的编号与球的编号不同，就是恰有1个编号相同，先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，不妨设5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为，1，4，3，4，4，1，
10、1，4，4，1，4，2，1，2，3，1，3，2，共9种，故恰好有一个球的编号与盒子的编号相同的投放方法总数为种；若恰有2个编号相同，先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内有种，剩下的三个球，不妨设编号为3，4，5，投放3号球的方法数为，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原理共有种；若恰有3个编号相同，先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，有种情况，剩下有2个盒子放2个球；其编号与球的编号不同，只有1种情况；由分步计数原理可知共有种；若恰有5个编号相同（不可能恰有4个相同），有1种方法，因为这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球共有种方法，所以0个编号相同的方法
11、为种，综上，可取的值为0，1，2，3，5，故答案为45，1四、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求A；（2）若D为BC上一点，且，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，因为，所以由正弦定理得，即因为，所以，即，因为，所以（2）在中，因为，所以由余弦定理得，即，解得（舍去）因为所以，即因为，所以，解得，所以的面积，即的面积为18（12分）如图，在三棱锥中，平面ABC，M为棱PC上的动点（1）证明：平面平面PAC；（2）若异面直线AM与BC所成角的余弦值为，求此时平面ABM与平面P
12、BC所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为平面ABC，平面ABC，所以，因为在ABC中，所以由余弦定理得，所以，所以，所以又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC又平面ABM，所以平面平面PAC（2）由（1）知直线AB，AC，AP两两垂直，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设，则，所以，设异面直线AM与BC所成的角为，则，即，解得，所以设平面ABM的一个法向量为，则，即，令，得，所以；设平面PBC的一个法向量为，则，即，令，得，所以，所以，所以平面ABM与平面PBC所成锐二面角的余弦值为19（12
13、分）已知数列满足，且，若，的前项和为（1）求证：为等比数列，并求的通项公式；（2）求，并求满足不等式的最小正整数的值【答案】（1）证明见解析，；（2），最小正整数【解析】（1），又，数列是以为首项，为公比的等比数列，（2）由（1）得：，则，两式作差得：，；，又，单调递增，又，满足不等式的最小正整数20（12分）1G和2G时代我们的听觉得以随时随地的延伸，掏出手机拨通电话，地球那头的声音近在咫尺到了3G时代，我们的视觉也开始同步延伸，视频通话随时随地，一个手机像一个小小窗口，面对面轻声闲聊笑靥如花，天涯若比邻4G时代，我们的思想和观念得以延伸，随时的灵感随时传上网，随手的视频随手拍和发，全球同步
14、可读可转可评，个人所有的思想和观点能够在全球的信息网络中延伸、保存、碰撞、交流，博客、微博、微信朋友圈、抖音等等这些我们生活中极其常见的社交网络正是延伸与交流之所现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位，百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图月份x123456收入y（百万元）6686161216333410（1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2
15、）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入；（结果保留小数点后两位）（3）从前6个月的收入中随机抽取2个，求恰有1个月的收入超过20百万元的概率参考数据：其中，设，参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，【答案】（1）；（2），7月份的5G经济收入；（3）【解析】（1）散点图中的点的分布不是一条直线，相邻两点在轴上的差距是增大的趋势故选用作为5G经济收入y关于月份x的回归方程更合适（2）由，取对数可得，设，所以，所以，所以，即，当时，（3）由题意可知1，2，3月的收入没有超过20百万，4，5，6月的
16、收入超过20百万从前6个月的收入中随机抽取2个，共有种不同的取法，其中恰有1个月的收入超过20百万元共有种取法，则从前6个月的收入中随机抽取2个，求恰有1个月的收入超过20百万元的概率21（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点，过点作直线与椭圆交于点，（点，异于点，），连接直线，交于点（1）求椭圆的方程；（2）当点位于第二象限时，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，又，所以，故椭圆的标准方程为（2）设直线PB倾斜角为，斜率为，直线AQ倾斜角为，斜率为，直线PQ的方程为，则，消去x，得，设，有，所以，即，则，因为点P位于第二象限，则，所以，故22（12分）已知函数，其中（1）当时，求函数在区间上的最大值；（2）若，证明对任意，恒成立【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）当时，则函数，其定义域为，则在上恒成立，所以在区间为单调递增函数，所以当时有最大值为（2）由函数，则，令，又，当时，所以在内是减函数，因为，不妨设，则，于是，等价于，即，令，因在内是减函数，故，从而在内是减函数，对任意，有，即，当时，对任意，恒成立
