1、2.1.2 空间中直线与直线的位置关系ABCD复习与准备：平面内两条直线的位置关系复习与准备：平面内两条直线的位置关系相交直线相交直线平行直线平行直线相交直线相交直线（有一个公共点）（有一个公共点）平行直线平行直线（无公共点）（无公共点）两路相交两路相交立交桥立交桥立交桥中立交桥中, 两条路线两条路线AB, CDaboab既不平行，又不相交既不平行，又不相交ABCD六角螺母六角螺母a与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab练习练习1：在教室里找出几对异面直线的
2、例子：在教室里找出几对异面直线的例子答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。它们可能异面，可能相交，也可能平行。 不同在不同在 一个平面内的两条直线叫做异面直线一个平面内的两条直线叫做异面直线。任何任何注注1两直线异面的判别一：两直线异面的判别一：两条直线两条直线 既不相交，又不平行。既不相交，又不平行。两直线异面的判别二：两直线异面的判别二：两条直线两条直线 不同在任何一个平面内。不同在任何一个平面内。注意注意：在不同平面内的两条直线在不同平面内的两条直线不一定不一定异面异面。按平面基本性质分按平面基本性质分：按公共点的个数分按公共点的个数分：有且只有一个公共点有且只有一个
3、公共点相交直线相交直线没有公共点没有公共点平行直线平行直线异面直线异面直线 相交直线相交直线 平行直线平行直线不同在任一平面内不同在任一平面内异面直线异面直线2.空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系在同一平面内在同一平面内 abaabb3.异面直线的画法异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现说明：画异面直线时，为了体现 他们不共面的特点。常借他们不共面的特点。常借 助一个或者两个平面来衬托。助一个或者两个平面来衬托。例例1.1.下图长方体中下图长方体中CDBA（1）说出以下各对线段的位置关系？）说出以下各对线段的位置关系？、EC与与BH是是 直线直线、BD与与FH是是
4、直线直线、BH与与DC是是 直线直线（2）与棱）与棱AB所在的直线异面的棱共有所在的直线异面的棱共有 条？条？分别是：分别是：CG、HD、GF、HEFEHG相交相交平行平行异面异面4例例2 如图是一个正方体的展开图，如果将它如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体还原成正方体，那么，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有这四条线段所在直线是异面直线的有 对？对？HGFEDCBA答：共有答：共有3对对HF(B)ADEG(C)4.平行线的传递性平行线的传递性 我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。在空间这一规律是否还成立呢？观察：将一
5、张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e, 之间有何关系？aedcba b c d e 公理公理4：在空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行-平行线的传递性平行线的传递性 在平面上在平面上, ,我们可以证明我们可以证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补”。在空间中。在空间中, ,结论是否仍然成立呢结论是否仍然成立呢? ?观察：如图观察：如图,ADC,ADC与与ADCADC、ADCADC与与ABCABC的两边分别的两边分别 对应平行，这两组角的大小关
6、系如何？对应平行，这两组角的大小关系如何？5. 等角定理等角定理答：从图中可以看出， ADC=ADC，ADC+ABC=180定理（等角定理）定理（等角定理）: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。那么这两个角相等或互补。6. 异面直线所成的角异面直线所成的角（1 1）复习回顾：）复习回顾： 在平面内，两条直线相交成四在平面内，两条直线相交成四个角，其中不个角，其中不大于大于9090度度的角称之为的角称之为它们的夹角。用以刻画两直线的错它们的夹角。用以刻画两直线的错开程度，如图开程度，如图o（2 2）问题提出：）问
7、题提出： 在空间，在空间，如图所示，正方体如图所示，正方体ABCD-EFGH中，异面直线中，异面直线AB与与HF的错开程度可以怎样来刻画呢？的错开程度可以怎样来刻画呢？AEBCFDHG思想方法：平移转化成相交直线所成的角，即空间图形问题转化为平面图形问题。思想方法：平移转化成相交直线所成的角，即空间图形问题转化为平面图形问题。异面直线所成角的定义：如图，已知两条异面直线异面直线所成角的定义：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点，经过空间任一点O O作直线作直线aaaa，bbbb，我们把，我们把aa与与bb所成的锐角（或直角）叫做所成的锐角（或直角）叫做异面直线异面直线a a，b b所成
8、的角所成的角（或夹角）。（或夹角）。 为了简便，点为了简便，点O O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b b上，然后经过上，然后经过点点O O作直线作直线aaaa，aa 和和b b所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a a与与b b所成的角。所成的角。想一想想一想:a:a与与bb 所成角的大小与点所成角的大小与点O O的位置有关吗的位置有关吗? ?(3)解决问题解决问题 在正方体在正方体ABCD-ABCD中，棱长为中，棱长为a，E、F分别是分别是棱棱AB，BC的中点，求：的中点，求：异面直线异面直线 AD与与
9、 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 BC与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 BD与与 EF所成角的大小所成角的大小.456090OGAC AC EF, OG BDBD 与与EF所成的角所成的角即为即为AC与与OG所成的角所成的角, 即为即为AOG或其补角或其补角.平移法平移法例例1 如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中, AB = , AD = , AE = 2 (1)求求BC 和和EG 所成的角是多少度所成的角是多少度? (2)求求AE 和和BG 所成的角是多少度所成的角是多少度?3232解答：解答：(1)GFBC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtEFG中，求得中，求得EGF = 45o(2) BFAE FBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,RtBFG中，求得中，求得FBG = 60o例例2ABGFHEDC32322 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
