1、1.2 概率定义及概率的性质一、概率的描述性定义 定义1.2.1 随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为发生的概率，记为( )P A二 、概率的统计定义 1.频率的概念对于一个随机试验来说，它发生可能性大小的度量是自身决定的，并且是客观存在的。概率是随机事件发生可能性大小的度量是自身的属性。一个根本问题是，对于一个给定的随机事件发生可能性大小的度量 概率，究竟有多大呢？例、历史上有人做过掷硬币的试验实验者蒲丰4040K皮尔逊K皮尔逊nnA( )nfA从上表可以看，不管什么人去抛，当试验次数逐渐增多时，)总是在0.5附近摆动而逐渐稳定于0.5。从这个例子可以看出，一个随机试验的随机事件，
2、在次试验中出现的频率，当试验的次数逐渐增多时，它在一个常数附近摆动，而逐渐稳定于这个常数。这个常数是客观存在的，“频率稳定性”的性质，不断地为人类的实践活动所证实，它揭示了隐藏在随机现象中的规律性。2概率的统计定义 返回 由于频率反映了事件发生的频繁程度，其大小也能用来度量一个事件发生的可能性的大小。基于频率的稳定性质，历史上曾在试验的基础上给出了概率的统计的定义。)(limAPnnAn)(limAPnnAnN, 0, 0NNn )(APnnA)(APnnANn 1( )P A nnA3频率的性质由频率的定义)(AfnAnnnnA0=，很快可以得到频率的性质:0)(Afn)(nfAB nfAB
3、)(Afn)(BfnBAnnn()nf BA )(Afn)(Bfn)(AfnijA A mji ,1ji )(1iminAf)(1ininAf三、概率的性质1.非负性：( )P A0AF，规范性：( )1P iA, 2 , 1i1()iiPA1()iiP A由概率的非负性、规范性和可列可加性，可以得出概率的其他一些性质：4) 不可能事件的概率为0，即()0P 证明 由于可列个不可能事件的和事件仍为不可能事件, 所以因为不可能事件与任何事件是互不相容的，故由( )( )( )( )PPPP 可列可加性得到从而由1)(P()()0PP ()0P 5) 概率具有有限可加性：即若iAjA nji1()
4、(1niiAP)(1niiAP)()()(21nAPAPAP12()()()()()nP AP AP APP A( )P A( )P AAAAA ( )P A+( )P A=12,nA AA 2121AAPAAAPn7）若AB P ABP AP B，则AB证: 因为, 则ABAB, 又()BABAB 所以( )( )()P AP BP A B()( )( )P ABP AP BBA( )( )P AP B( ) 1P A AABF()( )()P A BP AP AB()( )( )()P ABP AP BP AB()A BAB A()( )()( )( )()P A BP APB AP AP
5、BP AB()( )( )P ABP AP B()P AB()P AB()P AB()P AB()( )( ),P ABP AP Bpq()( )1,P ABP Ap ()0,P AB ()()( )(),P ABPB APBP ABq() 1() 1.PABPA Bp q ( ),( ),P Ap P Bq()P AB例1.2.2 设( ), ( ), (),P Ap P Bq P ABr()P AB(), ().P AB P AB解：由概率性质知()( )( )(),PABPA PB PA Bp q r ( )( )()(),PAB PA PABp p q r r q () 1() 1.P
6、 A BP ABp q r 例1.2.3 设, ,A B C为三个事件，且.ABC( )( )( ) 1.P AP BP C证明:证：由于ABC，所以()( )P ABP C又()( )( )(),P A BP AP BP AB故( )( )( )()1,P AP BP CP AB即( )( )( )1.P AP BP C()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC求至少有一个发生的概率解：由一般加法公式有ABCBC又，所以0()()0,P ABCP BC于是()0.P ABC例1.2.4 设0)()(,81)(,41)()()(ACPBCPABPCPBPAP从而有8581414141)(CBAP
