1、1第十章第十章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程第十第十一一章章 动量定理动量定理第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理第十三章第十三章 动能定理动能定理第十四章第十四章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理第十五章第十五章 虚位移原理虚位移原理23 111 动量与冲量动量与冲量 112 动量定理动量定理 113 质心运动定理质心运动定理 第十一章第十一章 动量定理动量定理4 一、动量一、动量 1.1.质点的动量：质点的动量： mv质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kg m/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理
2、量。例例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 11-1 11-1 动量与冲量动量与冲量5 质点系的质量中心称为质心质点系的质量中心称为质心。质心质心是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。 mrmriiC则设,kzjyixrcccc mzmzmymymxmxiiCiiCiiC , ,质心C 点的位置： 2.2.质点系的质心质点系的质心imm 设有n个质点，第i个质点的质量为 mi，总质量为：6 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，
3、质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。7 3.3.质点系的动量：质点系的动量：iivmp质点系的动量等于质点系中所有各质点的动量的矢量和质点系的动量等于质点系中所有各质点的动量的矢量和。dtrdviiiirmdtdCiirmdtdrmdtdp mrmr iiC由质心位置公式： rmrm Cii则（质量不随时间变化）dtrdmvmpiiiiCCvmdtrdmp8 iivmp或：例:0p即：质点系的动量即：质点系的动量等于质点系的质量与其质心速度的乘积等于质点系的质量与其质心速度的乘积：CvmpvCl)(2lmpCvC)(Cmvp9 曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA
4、=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也为m。求求当 = 45时系统的动量。ivvvm vmvmvmpCCCCCC)cossin(321321)sincos(21jvvCC解解: 曲柄OA：lvmC21 , 1连杆AB： （ P为速度瞬心， ） ABlPC;252llvmABC2525 ,2例例1lvmC2 ,3滑块B：102122jiml)101252221()2103252221()sin2545cos21()2cos2545sin21(jimljllilllmp101sin103cos112变力：（包括大小和方向的变化）F元冲量元冲量：tddFI1常力
5、：)(12ttFIF二冲量二冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。21ttdtFI冲量冲量：12一质点的动量定理一质点的动量定理 Fdtvdmam质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）tFvmdd)(IdtFvmvmtt2112质点的动量定理质点的动量定理(1)微分形式微分形式：（动量的微分等于力的元冲量）(2)积分形式积分形式
6、：11-2 11-2 动量定理动量定理Fvmdtd)(13(3)投影形式：投影形式：xxFmvdtd)(yyFmvdtd)(zzFmvdtd)(2112ttxxxxdtFImvmv2112ttyyyydtFImvmv2112ttzzzzdtFImvmv(4)质点的动量守恒质点的动量守恒若，则常矢量，质点作惯性运动若，则常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动0F0 xFvmxmv14二质点系的动量定理二质点系的动量定理设质点系有n个质点，第i个质点的质量为mi，速度为vi，所受力有外力和内力：外力外力： 质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。)(eiF。 0)( 0)( ; 0)()()(i
7、ixiiOiiFMFMF对整个质点系来讲，内力系的主矢和内力系对任一点（或轴）的主矩均恒等于零。即：内力内力： 质点系内各质点之间相互作用的力。)(iiF15质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。)()(eiiiFvmdtd 质点系的动量定理质点系的动量定理 )0( )()()(iieiiiiiFFFvmdtd而对整个质点系：)()(eiiiFvmdtd 或)(eiFtpdd即：)()()(eiiiiiFFvmdtd对质点系内任一质点 i，质点系的动量定理：质点系的动量定理：)(iivmp16质点系动量的微分等于作用
8、在质点系上所有外力元冲量质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。的矢量和。在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和积分形式积分形式)(12eiIppeipieIdtF微分形式微分形式)()(dd17投影形式：投影形式：)(exXdtdp)(eyYdtdp)(ezZdtdp三、三、 质点系的动量守恒质点系的动量守恒若则常矢量。若则 常量。, 0)(eiF, 0)(eixFiivmpixixvmp只有外力才能改变质点系的动量，内力不能
9、改变整个质点系只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。)()()(ezozzeyoyyexoxxIppIppIpp18 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。0)(axmvvM解解：选选两物体组成的系统为研究对象。研究对象。受力分析受力分析， , 0)(exFxp水平方向常量。由水平方向动量守恒及初始静止由水平方向动量守恒及初始静止；则0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrxrvravvvv设大三角
10、块速度 ，小三角块相对大三角块速度为 ，则小三角块运动分析运动分析， mmMvvrx 例例2 mmMSSrx19例例11-3 p249vAB 物块A质量为mA，与地面无摩擦，小球质量为mB，杆长为l，质量不计，初始时静止，初始摆角0，释放后，以= 0cost的规律摆动，求物块A的最大速度。解： 受力分析和运动分析。vBAvBABvvv0 xp0)cos(BABAvvmvmtllvtBAsinsin00cossin 0tmmlmvBAB20cossin 0tmmlmvBAB最大。时，当vt 1cos , 1sin 最大，时， v0BABmmlmv0max 得：。，故有：时，当，00cos1sin
11、sco 0ttt21运动分析运动分析，设经过时间后，流体AB运动到位置ab， 流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。),m/s(,21vv)()(12aBAaBbaBABabppppppp1212 vtQvtQpppppAaBbaBaB)()(解：解： 取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。 受力分析受力分析如图示。由质点系动量定理；得RPPWvvQtpdtpdt21120 )(lim 例例11-2 P248 22静反力静反力 ， 动反力动反力)(21PPWR)( 12v
12、vQR计算 时，常采用投影形式 R)( 12xxxvvQR)( 12yyyvvQR与与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力 RRPPWvvQtpdtpdt21120)(lim)()(1221vvQPPWR即即23)( 12xxxvvQR)( 12yyyvvQRv2v1RxRy2 QvRx1 QvRy例：直角形弯管若进出口处管的横截面积分别为A1和A2，则有：2211vAvAQ2222 vAQvRx2111 vAQvRy24将 代入到质点系动量定理，得Cvmp )()(eiCFvmdtd若质点系质量不变，则)(eiCFam)(eiiCiFam11-3
13、质心运动定理质心运动定理 mrmriiC iiCrmrm iiCamam质心运动定理。251. 投影形式：投影形式：(1)直角坐标直角坐标)()()(eCzeCyeCxZmaYmaXma)()()(ezCieyCiexCiZamYamXamiii或：26(2)自然坐标自然坐标 , dd)(2)(enCeCFvmFtvm 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的无论它作什么形式的运动，运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想并设想把整个质点系的质量都
14、集中在质心这个点上，把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中所有外力也集中作用在质心这个点上作用在质心这个点上。 只有外力才能改变质点系质心的运动只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。的运动，但可以改变系统内各质点的运动。27 2. 质心运动守恒定律称为质心运动守恒定律称为 若，则 常矢量，质心作匀速直线运动；若开始时系统静止，即 则常矢量,质心位置守恒。 若则 常量，质心沿x方向速度不变；若存在 则 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。以上结论，称为质心运动守恒定律。 0)(eiFCCvoa , 00CvC
15、r,)( 0eXCxCxva , 000CxvCx 质心运动定理可求解两类动力学问题：质心运动定理可求解两类动力学问题： (1)已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。 (2)已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。28例例3asblm1gm1gm2gm2gx已知：a、b、l、m1 、 m2、不计水阻力，初时人、船均静止。求人走过船长时，船的位移s。解：当人向左走时，设船向右行驶距离s。21121mmbmamxC21122mmsbmslamxC)()(21CCxx212mmlms初时末时 系统水平方向无外力，且初时静止，质心守恒，即：29解解: 取整个电动机作为质点系研
16、究，分析受力: 受力图如图示运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。例例430机械端口机械端口转子转子定子绕组定子绕组定子铁心定子铁心电端口电端口ABC31 , 22teaxcos根据质心运动定理，有xxeixCixiNtemamFamcos ,2222)(gmgmNtemamFamyyeiyCiyi212222)( sin ,temgmg
17、mNtemNyxsin,cos222122 可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。a1=0，a2=e2teay 22sint当=0 时，gmgmNNyx21 0,32321332211321332211mmmxmxmxmmmmxmxmxm解：解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。0 iixP 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30时船的位移。受力分析如图示，且初始
18、时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。 0)(exF 0iixm例例533船的位移x，杆的位移, 2/)sin(sin2112lxx重物的位移lxx)sin(sin21130/ )sin(sin2/)sin(sin2113211211lxPlxPxP)sin(sin)(2221321321lPPPPPx)30sin60(sin8)2010200(220210m 318. 0计算结果为负值，表明计算结果为负值，表明船的位移水平向左。船的位移水平向左。0 iixP 0iixm34例例6匀质杆长为l ,质量为m,当细绳被突然剪断时，杆子的角加速度为，角速度为零，求支座A处的反力。ABlmgFAxFAy解：2; 0laaCyCxmgFlmFAyAx2 0 2 0lmmgFFAyAx35例例7均质圆盘质量为m，只滚不滑，其质心的加速度为 a ，求圆盘与地面之间的摩擦力大小。解：amgFNFSxyXmaCxsinmgFmaSmamgFSsin 36例例8ACBD已知：轮子A的质量为m1，物块B的质量为m2，三角块D放置在光滑面上，三角块D和轮子C的质量不计，物块B以加速度a 上升，求地面凸出处给三角块的水平作用力。m2gm1gFxFy解：XamamxCxC2211XmaCxaaxyxFmam0cos21cos 1amFx37
